Margini di stabilità. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica. Controlli AutomaticiL. Schema a blocchi di un sistema di controllo

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1 Margini distabilità - 1 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Controlli Automatici L Margini di stabilità DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Margini distabilità - 2 Schema a blocchi di un sistema di controllo disturbo di attuazione disturbo sull uscita regolatore attuatore sistema Replica dinamica sensore disturbo di misura dinamica sensore Nota: il riferimento viene filtrato da una replica della dinamica del sensore per ottenere un riferimento compatibile con la dinamica dell uscita retroazionata Elaborazione schema a blocchi reale Margini distabilità - 3 1

2 . Elaborazione schema a blocchi reale Margini distabilità - 4 Anche partendo da uno schema in retroazione più aderente alla realtà (presenza di dinamiche di sensore/attuatore) possiamo ricondurci al seguente schema ideale: Disturbo di misura Disturbo uscita + attuatore Dinamica equivalente regolatore Funzione ad anello aperto Dinamica equivalente plant Margini distabilità - 5 Disaccoppiamento in frequenza degli ingressi Nella grande maggioranza delle applicazioni di interesse ingegneristico si ha che le bande dei segnali di riferimento e dei disturbi di uscita sono spettralmente disgiunte rispetto alla banda che caratterizza disturbi di misura problemi termici nei componenti elettronici accoppiamenti con campi e.m. in aria (telefonini, radio TV,..) accoppiamento campo e.m a 5Hz (314 rad/s) dovuto alle correnti che scorrono sulla rete di alimentazione Segnali di riferimento e disturbi sull uscita normalmente confinati a frequenze basse Disturbi di misura normalmente confinati a frequenze elevate Funzioni di sensitività Margini distabilità - 6 Uscite di interesse: Ingressi significativi: Errore di inseguimento Uscita controllata Sforzo di controllo Riferimento (set point) Disturbi sull uscita (ingresso) Disturbi di misura Le funzioni di sensitività rappresentano le funzioni di trasferimento tra gli ingressi significativi e le uscite di interesse 2

3 .Funzioni di sensitività Margini distabilità - 7 Funzione di sensitività Funzione di sensitività complementare Funzione di sensitività del controllo Alcune considerazioni Margini distabilità - 8 Le funzioni dipendono congiuntamente da e (funzione di anello) tranne la funzione di sensitività del controllo in cui la fdt del regolatore entra singolarmente Il denominatore (e in particolare i poli) di tutte le funzioni di sensitività e lo stesso. Si può quindi parlare di stabilità del sistema in retroazione indipendentemente dal particolare ingresso Poli del sistema retroazionato radici dell equazione caratteristica Sistema in retro asintoticamente stabile caratteristica a parte reale minore di zero. Sistema in retro asintoticamente stabile limitati (stabilità BIBO) tutte le radici dell equazione uscite limitate a fronte di ingressi..alcune considerazioni Margini distabilità - 9 Notare che strutturalmente. In pratica questo significa che non e possibile imporre, attraverso il progetto del regolatore, specifiche arbitrarie. Esempio: Cancellazione del disturbo Cancellazione del disturbo Esempio: Inseguimento del riferimento Cancellazione del disturbo sull uscita sull uscita con sull uscita No! No! 3

4 Studio di stabilità del sistema in retro Margini distabilità - 1 Obiettivo: dedurre conclusioni sulla stabilità robusta del sistema in retro dallo studio nel dominio della frequenza della funzione ad anello aperto Importanza del risultato: Criterio di Bode (caso particolare del criterio di Nyquist) 1. Dalla lettura di un solo punto del diagramma di Bode di si deduce la stabilità o meno del sistema chiuso in retro 2. Possibilità di ottenere misure sulla robustezza della stabilità del sistema in retro a fronte di incertezze sul diagramma dei moduli e delle fasi di Margine di Fase e di Ampiezza Margini distabilità - 11 Margine di fase: dove Margine di ampiezza: dove Margini distabilità - 12 Margine di Fase e di Ampiezza: casi patologici Intersezioni multiple Patologia: Presenza di una coppia di poli cc poco smorzati (alto picco di risonanza) che Intervengono ad una frequenza successiva a quella di un poli (in questo caso nell origine)

5 . Margine di fase e di ampiezza: casi patologici Margini distabilità - 13 Assenza di intersezioni Patologia: guadagno statico <1 e alternanza poli-zeri in modo che non ci sia mai una amplificazione delle ampiezza tale da compensare il guadagno basso Margine di fase e di ampiezza: casi patologici Margini distabilità - 14 Margine e Patologia: presenza di zeri a fase non minima (amplificazione + sfasamento negativo) che intervengono a frequenze più basse rispetto ai poli zeri a fase non minima che governano nell intorno della pulsazione negativo zoom positivo 1. Margine di fase e di ampiezza: casi patologici Margini distabilità - 15 Margine e Patologia: Analogo al caso precedente ma con guadagno statico più basso zoom positivo negativo Usualmente (ovvero a parte i casi patologici) è lecito aspettarsi che e (segni concordi) 5

6 Criterio di Bode Margini distabilità - 16 Ipotesi: Stabilità asintotica di (ipotesi restrittiva, ma non troppo.) Guadagno statico di positivo ( ) Tesi: Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema in retro sia asintoticamente stabile (radici di tutte a parte reale <) è che il margine di fase di sia positivo Motivazione intuitiva: Frequenza critica : (se l ingresso ha una componente frequenziale Allora questa componente viene sfasata dal sistema di e quindi entra in fase con ) Condizione di Bode (suff.): se (e quindi anche, tralasciando i ca si patologici) allora la componente a frequenza viene smorzata dal sistema Condizione di Bode (necc.): se (e quindi anche, tralasciando i casi patologici) allora la componente a frequenza viene amplificata dal sistema Margini distabilità - 17 Importanza del criterio per la stabilità robusta Incertezze sulla fdt che si riflettono in incertezze sul diagramma delle ampiezze (per esempio incertezze sul guadagno statico) 5 Gm = 4.8 db (at 3.16 rad/sec), Pm = 83.7 deg (at.995 rad/sec) 5 Gm = 17.3 db (at 3.16 rad/sec), Pm = 38.1 deg (at 1.4 rad/sec) 5 Gm =.285 db (at 3.16 rad/sec), Pm =.54 deg (at 3.16 rad/sec) Dalla definizione il margine di ampiezza rappresenta la massima incertezza tollerabile sul guadagno statico che non pregiudica la stabilità Importanza del criterio per la stabilità robusta Margini distabilità - 18 Incertezze sulla fdt che si riflettono in incertezze sul diagramma delle fasi (per esempio incertezze sull entità del ritardo) 5 Gm = 4.8 db (at 3.16 rad/sec), Pm = 83.7 deg (at.995 rad/sec) 5 Gm = 5.93 db (at.194 rad/sec), Pm = 43.8 deg (at.995 rad/sec) 5 Gm =.392 db (at.14 rad/sec), Pm = 3.94 deg (at.995 rad/sec) Dalla definizione il margine di fase è legato alla massima incertezza tollerabile sul ritardo che non pregiudica la stabilità. Infatti 6

7 Importanza del criterio per la stabilità robusta Ricordando che il diagramma di Bode di un ritardo : È costante a db nelle ampiezze Sfasa di nelle fasi Si ha che: La pulsazione rimane invariata al variare del ritardo Margini distabilità - 19 Lo sfasamento negativo introdotto dal ritardo di entità alla frequenza risulta E quindi, essendo il margine di fase del sistema, il massimo ritardo tollerabile è: Esempio precedente: Importanza del criterio per la stabilità robusta Margini distabilità - 2 I due margini sono quindi indicatori di robustezza della stabilità del sistema in retroazione (il margine di fase è indice di robustezza rispetto ad incertezze sul diagramma delle fasi, il margine di ampiezza rispetto ad incertezze sul diagramma delle ampiezze) Più elevati sono i margini più la stabilità del sistema in retro è garantita anche in presenza di grosse incertezze (sia di fase che di ampiezza) I due margini valutati separatamente potrebbero non essere indicatori affidabili di robustezza. Esempio significativo: 2 Gm = 2.5 db (at 1 rad/sec), Pm = 88.2 deg (at 15.4 rad/sec) -4-6 Coppia poli ccpoco smorzata Nonostante il margine di fase sia molto elevato la stabilità del sistema in retro non è robusta a causa del basso margine di ampiezza. Margini distabilità - 21 Studio delle caratteristiche statiche e dinamiche del sistema in retro Obiettivo: dedurre conclusioni sulle proprietà statiche e dinamiche del sistema in retro dallo studio della funzione ad anello aperto Importanza dello studio: Studio delle funzioni di sensitività in relazione a 1. Individuare proprietà che la deve avere in modo che le funzioni di sensitività del sistema chiuso in retro abbiano certe caratteristiche Studio utile in vista della sintesi del regolatore 7