Statistica descrittiva I. La frequenza

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1 Statistica descrittiva I. La frequenza Supponiamo di ripetere n volte un esperimento che può dare esito 0 o 1, il numero di uni su n ripetizioni è detto frequenza di 1: f 1,n = #{esperimenti con esito 1}. Più in generale supponiamo che X i sia l esito di un esperimento che possa assumere valori x 1,..., x K (ad esempio {1, 2, 3, 4, 5, 6} nel lancio di un dado), possiamo considerare la frequenza di ogni numero su n esperimenti, ossia f k,n = #{i: X i = x k } Ad esempio, nel caso del lancio ripetuto di un dado, possiamo considerare f 6,n = #{i: X i = 6}

2 Esempio 1. Si osservano i seguenti valori 5, 1, 5, 3, 5, 9, 7, 5, 5, 5 Determinare le frequenze relative e assolute. Esempio 2. Si osservano i seguenti valori 5, 1, 3, 7, 5, 9, 1, 7, 9, 3 Determinare le frequenze relative e assolute.

3 Esempio 1 x i f i,n f i,n /n Esempio 2 x i f i,n f i,n /n

4 Ritorno alla probabilità. Teorema: legge dei grandi numeri (I) Si faccciano n esperimenti indipendenti con probabilità di successo p. Sia X i la variabile aleatoria che vale 1 se l i esimo esperimento ha dato esito positivo (successo) 0 se ha dato esito negativo. Allora, se f 1,n è il numero di successi su n esperimenti, ossia f 1,n = n i=1 X i, si ha N.B. p = P{X i = 1}. { P lim n + f 1,n n } = p = 1.

5 Attenzione sul libro non è scritta in modo preciso. In particolare l ipotesi che gli eventi (esperimenti) siano indipendenti è fondamentale.!!! Si noti che questo è un teorema non la definizione di probabilità!!!

6 simulazione con R n=1000 p=0.6 y=sample(c(0,1), n, replace = TRUE,prob=c(1-p,p)) yy=cumsum(y)/cumsum(rep(1,n)) y2=sample(c(0,1), n, replace = TRUE,prob=c(1-p,p)) yy2=cumsum(y2)/cumsum(rep(1,n)) plot(yy, col= blue ) points(yy2,col= red )

7 Statistica descrittiva II. L istogramma Supponiamo di avere delle osservazioni di un dato fenomeno (numerico) x 1, x 2,..., x n (con eventuali possibili valori ripetuti!). Ad esempio i millilitri di pioggia caduti in n = 100 stazioni meteo. Fissiamo a 0 < a 1 < a 2 < < a M in modo che tutte le osservazioni cadano in [a 0, a M ) e determiniamo f 0,n = numero osservazioni in [a 0, a 1 ) sul totale di n f 1,n = quante osservazioni in [a 1, a 2 ) sul totale di n...

8 Statistica descrittiva II. L istogramma Abbiamo calcolato le frequenze assolute. Possiamo anche calcolare le frequenze normalizzate (anche dette relative), dividendo le frequenze assolute per il numero di osservazioni: f k,n n. Con le frequenze (meglio quelle relative) possiamo costruire l istogramma (guardare sul libro).

9 Istogramma

10 E la probabilità? Posso interpretare la frequenza relativa come una probabilità: che probabilità ho, scegliendo a caso con probabilità uniforme un osservazione, di trovare un numero compreso fra [a k, a k+1 )? Esattamente f k,n /n. Posso anche interpretare le x i come realizzazioni di variabili aleatorie indipendenti con la stessa legge di probabilità. Che rapporto c è fra frequenza relativa f k,n /n e la probabilità che X i assuma valori in [a k, a k+1 ), ossia P{X 1 [a k, a k+1 )}?

11 Legge dei grandi numeri (II) Teorema Siano X 1, X 2,... variabili aleatorie indipendenti e con la stessa distribuzione. Allora, posto T n = numero di X i che appartengono ad [a, b) nelle prime n e si ha { P p = P{X 1 [a, b)}, lim n + } T n n = p = 1.

12 Media o valore atteso Baricentro P{X = 4} = 0.25, = P{X = 2} = 0.25, P{X = 4} = 0.5 E[X ] = ( ) + ( ) + (4 0.5) = 0.5

13 Media o valore atteso Media La media di una v.a. discreta è E[X ] := x x P{X = x} = x x p x La media di una v.a. continua è E[X ] := x f (x)dx N.B. nel libro si usa la notazione X al posto di E[X ].

14 Media empirica di n variabili aleatorie La media empirica delle variabile aleatorie X 1,..., X n è il numero (aleatorio) m n := X X n. n Non confondetelo con E[X 1 ]!!

15 Media o valore atteso Esercizio. (a) Supponiamo che X sia una variabile aleatoria discreta che può assumere i valori 1, 2, 3, 4 con probabilità p 1 = 0.3, p 2 = 0.2, p 3 = 0.1, p 4 = 0.4. Calcolare E[X ]. Soluzione. Si ha E[X ] = = 2.6

16 Media o valore atteso Esercizio. (b) Supponiamo di osservare il valore di n = 6 variabili aleatorie con legge descritta in precedenze, supponiamo che X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 1, X 5 = 4, X 6 = 3. Qual è il valore della media empirica delle prime 6 osservazioni in corrispondenza ai risultati descritti? Soluzione = 2. 6

17 Legge dei grandi numeri (III) Teorema Siano X 1, X 2,... variabili aleatorie indipendenti e con la stessa distribuzione. Allora, si ha { P lim n + X X n n } = E[X 1 ] = 1.

18 Media o valore atteso Esercizio. Si supponga che la distribuzione del vettore aleatorio discreto (X, Y ) sia data da Calcolare E[X ] e E[Y ]. Soluzione. Si ha X /Y E[X ] = = 1 E[Y ] = = 3.9

19 Valore atteso di una funzione di una v.a. Sia g una funzione reale a valori reali allora e X una variabile aleatoria discreta, allora E[g(X )] = x g(x)p{x = x} Se X è una v.a. continua E[g(X )] = g(x)f (x)dx.

20 Valore atteso di una funzione di una v.a. Esercizio. Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori 1, 0, 1 con probabilità 1/4, 1/4, 1/2. Si calcoli E[X ] e E[X 2 ]. Soluzione. E[X ] = 1 1/ / /2 = 1/4. E[X 2 ] = ( 1) 2 1/ / /2 = 3/4.

21 Linearità del valore atteso Il valore atteso è un integrale (o una somma). Ricordandoci la proprietà di linearità di somme e integrali abbiamo che se (X, Y ) sono v.a. e a e b sono costanti, allora E[aX + by ] = ae[x ] + be[y ] E[aX + b] = ae[x ] + b,

22 Linearità del valore atteso Esercizio. Si supponga che la distribuzione del vettore aleatorio discreto (X, Y ) sia data da X /Y Calcolare E[3X + Y ]. Soluzione. Abbiamo visto che E[X ] = = 1 e E[Y ] = = 3.9 quindi E[3X + Y ] = 3E[X ] + E[Y ] = = 5.9.

23 La media è un modo di riassumere alcune caratteristiche di una variabile aleatoria in un solo numero. Attenzione: non sempre la media dice tutto

24 Ci sono 1000 persone, una persona viene estratta a caso e vince euro, gli altri nulla. Scelgo una persona a caso e guardo quanto ha vinto. Sia X = vincita della persona scelta a caso. Si ha e dunque P{X = 0} = 999/1000, P{X = } = 1/1000 E[X ] = 0 999/ /1000 = 100. La vincita media è 100 euro. Vuol dire molto?

25 Varianza Varianza La varianza di una v.a. discreta è Var(X ) := E[(X m) 2 ] = x (x m) 2 p x con m = x xp x. La varianza di una v.a. continua è Var(X ) := E[(X m) 2 ] = (x m) 2 f (x)dx con m = xf (x)dx.

26 Varianza Varianza piccola= distribuzione concentrata attorno alla media Varianza grande= distribuzione sparpagliata

27 Esercizio. Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori 1, 1 con probabilità 1/2, 1/2 e Y una variabile aleatoria discreta che assume valori 10, 10 con probabilità 1/2, 1/2. Calcolare Var(X ) e Var(Y ). Soluzione. Prima di tutto si osservi che E[X ] = E[Y ] = 0 (farlo), quindi Var(X ) = ( 1 0) 2 1/2 + (1 0) 2 1/2 = 1. Var(Y ) = ( 10 0) 2 1/2 + (10 0) 2 1/2 = 100.