Esercitazione N. 1 (11 ottobre 2016)

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1 Esercitazione N. 1 (11 ottobre 2016) Un'urna contiene elementi. Vengono estratti di seguito elementi, ogni elemento una volta estratto è riposto nell'urna. Calcolare la probabilità dell evento: Problema dei compleanni Tra persone quale è la probabilità che almeno due festeggino il compleanno lo stesso giorno? (Si ipotizza che ogni persona ha probabilità 1/365 di nascere in uno qualsiasi dei giorni dell anno e si sono trascurati gli anni bisestili) Esercitazione N. 2 (25 ottobre 2016) Un produttore di birra afferma che il 10% al massimo delle sue lattine contiene meno birra di quanto dichiarato sull etichetta. Per verificare l affermazione, si scelgono a caso 16 lattine di birra e se ne pesa il contenuto: l affermazione è verificata se meno di 3 lattine contengono meno birra di quanto dichiarato. Determinare la probabilità che quanto dichiarato dal produttore venga confermato se la percentuale reale di lattine che contengono meno birra di quanto dichiarato in etichetta è: (a) 5%, (b) 10%, (c) 15%, (d) 20%. Un'urna contiene 3 palline rosse, 4 verdi e 5 blu. Si estraggono 3 palline (senza reinserimento). Determinare la probabilità che: (a) siano tutte di colore diverso. (b) Ve ne siano 2 blu e 1 verde. (c) Siano tutte rosse. Un'urna contiene 3 palline rosse e 5 blu. Si estraggono 3 palline in blocco (cioè tutte insieme). Se indichiamo con la v.a. discreta che conta il numero di palline rosse estratte (valori assunti da : 0, 1, 2, 3), determinare: (a) La massa di probabilità d. (b) La funzione di distribuzione di. (c) Il valore atteso di. (d) Generalizzare al caso in cui le palline totali nell urna sono, quelle rosse ed le palline estratte in blocco. Es. 4 (Lotto) Il gioco del lotto prevede l estrazione casuale, senza reinserimento, di cinque palline da un urna che contiene novanta palline numerate da 1 a 90. Un giocatore gioca al lotto e punta 10 sulla ruota di Roma scommettendo sui numeri 21, 36, 78. Calcolare la probabilità che ha di fare: (a) Ambo (escono due numeri tra quelli giocati); (b) Terno (escono i tre numeri giocati). Esercitazione N. 3 (3 novembre 2016) Sia una variabile aleatoria con densità di probabilità esponenziale: exp dove Considerata la trasformazione: 0 0, per la variabile aleatoria : (a) Ricavare il dominio di Y. (b) Determinare la probabilità dell evento 0. (c) Ricavare la funzione di distribuzione e farne un grafico qualitativo.

2 Sia una variabile aleatoria con densità di probabilità esponenziale: Considerata la trasformazione: exp 2 Ricavare: (a) La funzione di distribuzione di. (b) La funzione di densità e farne un grafico qualitativo. (c) La moda e la mediana di. (a) Dimostrare che la distribuzione Geometrica gode della proprietà di mancanza di memoria, cioè se è una v.a. Geometrica allora: (b) Un dado regolare è lanciato consecutivamente fino a che non esce la faccia con il 6 per la prima volta. Dato che il 6 non appare al primo lancio, qual è la probabilità che siano necessari più di 4 lanci? Esercitazione N. 4 (8 novembre 2016) Il numero di guasti settimanali di un apparato è una v.a. discreta che segue il modello di Poisson:! 0,1,2, (a) Ricavare il valore atteso di. (b) Se 4 calcolare la probabilità che vi siano almeno 5 guasti settimanali. (c) Mediante la diseguaglianza di Markov valutare la probabilità che vi siano 5 o più guasti settimanali. (d) Confrontare e commentare i risultati dei punti (b) e (c). La durata delle gomme per auto segue una distribuzione Gaussiana di media km e deviazione standard 8000 km. (a) Qual è la proporzione delle gomme che durano meno di km? (b) La pubblicità dichiara che il 90 % delle nostre gomme durano più di km. Qual è il valore di? La densità di probabilità della variabile aleatoria è data da: per 0 1, 0 altrove con e coefficienti positivi. (a) Se il valore atteso di è 3/5, ricavare e e disegnare la relativa funzione di densità. (b) Calcolare e disegnare la funzione di distribuzione. Es. 4 Una coppia, di variabili aleatorie ha densità congiunta, 1 ed è nulla altrove (a) Determinare la costante. (b) Determinare le densità di probabilità marginali e e farne un disegno indicativo. (c) Dire se e sono statisticamente indipendenti oppure no, giustificando la risposta.

3 Esercitazione N. 5 (15 novembre 2016) Data la coppia X, Y di variabili aleatorie indipendenti ed uniformi in (0, a), si consideri la trasformazione. (a) Ricavare la funzione di densità e di distribuzione di Z. (b) Fare i grafici per 2. Date le v.a. e indipendenti, Gaussiane con 100, 20, e 1, 0.2, definita, ricavare: (a) Il valore atteso e la deviazione standard. (b) Il coefficiente di correlazione. (c) La densità congiunta di e. (d) La retta di regressione di dato. Esercitazione N. 6 (22 novembre 2016) (a) Mostrare che il modello esponenziale è un modello senza memoria, cioè: xt f x X t e U xt f x t. X Il tempo che intercorre tra l arrivo di un utente ed il successivo ad uno sportello è una v.a. X con distribuzione esponenziale di valore atteso 1.4. (b) Calcolare la probabilità che ci sia un arrivo entro i primi 30 secondi. dall attivazione del servizio. (c) Se non ci sono stati arrivi entro i primi 3 minuti, quale è la probabilità che ci sia un arrivo entro i prossimi 30 secondi X Sia, una coppia di variabili aleatorie con densità congiunta: 3, , (a) Verificare che si tratta di una funzione di densità congiunta. (b) Calcolare le densità marginali di e di. (c) Ricavare il coefficiente di correlazione tra e. (d) Calcolare la retta di regressione di dato. (e) Calcolare la curva di regressione.

4 La v.a. X denota il numero di macchine fotografiche digitali vendute nel giorno di sabato in un negozio. La massa di probabilità di X è data dalla tabella: Il 60 % degli acquirenti aggiungono all acquisto anche l estensione della garanzia, sia Y la v.a. che definisce il numero di tali acquirenti. (a) Calcolare la 4,2. (b) Determinare la massa di probabilità congiunta:,, 0,1,2,3,4. (c) Calcolare la massa di probabilità marginale. (d) Calcolare la probabilità dell evento. Una moneta regolare viene lanciata volte. Esercitazione N. 7 (1 dicembre 2016) (a) Mediante la diseguaglianza di Chebyshev, mostrare che la probabilità che la frequenza relativa di teste sia compresa tra e è almeno (b) Mediante il teorema di De moivre Laplace calcolare la probabilità che il numero di teste sia compreso tra e Siano,,, variabili aleatorie uniformemente distribuite in (0,1) ed indipendenti. Definita la variabile aleatoria (media campionaria), valutare quanto deve essere grande per avere Sono date due variabili aleatorie, con variabile aleatoria Gaussiana Standard e dove e sono coefficienti reali e è una v.a. Gaussiana con valore atteso η e deviazione standard σ. e sono in generale correlate con coefficiente di correlazione. (a) Determinare la covarianza tra X e Y ed il coefficiente di correlazione. (b) Mostrare l andamento di al variare di σ nei casi in cui 0 e 1. Fare un grafico indicativo. (c) Commentare il risultato del punto (b).

5 Esercitazione N. 8 (6 dicembre 2016) Es.1 La frequenza condizionata dei guasti di un sistema vale: (a) Disegnare e spiegarne il significato. (b) Ricavare l affidabilità. (c) Disegnare per 0.25 e calcolare il valore di per cui l affidabilità si riduce al 10 %. La probabilità che domani piova, se oggi è piovuto, è pari a 0,1, mentre la probabilità che domani sia bel tempo, dato che oggi è stato bel tempo, è pari a 0,1. (a) Disegnare il grafo rappresentativo della catena di Markov che modellizza lo stato meteorologico. (b) Determinare la matrice di transizione della catena di Markov. (c) Calcolare la matrice di transizione a due passi. (d) Dire, giustificando la risposta, se la catena è regolare. (e) Determinare il vettore limite delle probabilità di stato. Una scuola elementare ha 50 bambini e cinque aule allineate lungo lo stesso corridoio. Si propone ai bambini il seguente gioco: tutti i bambini si vanno a sedere inizialmente nella prima aula. Ad ogni intervallo di cinque minuti succede che: i bambini che sono nella prima aula si spostano nella seconda, quelli che sono nella seconda o nella terza o nella quarta aula si trasferiscono con probabilità nell aula di destra e con probabilità 1 in quella di sinistra. I bambini che sono nell ultima aula decidono indifferentemente di rimanervi oppure di tornare nella quarta aula. Descrivere il processo attraverso una catena di Markov e calcolare dopo 15 minuti il numero di bambini nelle varie aule.