Test per una media - varianza nota

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1 Situazione Test per una media - varianza nota Popolazione N(µ,σ 2 ); varianza σ 2 nota. µ 0 numero reale fissato. Test di livello α per µ Statistica: Z n = X n µ 0 σ/ n. H 0 H 1 Rifiutiamo H 0 se p-value µ µ 0 µ > µ 0 z n > z 1 α Φ( z n ) µ µ 0 µ < µ 0 z n < z 1 α Φ(z n ) µ = µ 0 µ µ 0 z n > z 1 α 2 2 2Φ( z n ) dove z n = valore di Z n calcolato dal campione; z β = quantile β della N(0, 1).

2 Studiamo il test Perché funziona H 0 H 1 Rifiutiamo H 0 se p-value µ = µ 0 µ µ 0 z n > z 1 α 2 2Φ( z 2 n ) Osserviamo che se vale H 0 la v.a. Z n = X n µ 0 σ/ n, è una N(0, 1). Volendo rifiutare H 0 è naturale farlo quando la media aritmetica dei valori osservati è molto diversa da µ 0, cioè quando X n µ 0 è grande ; ovvero quando Z n è grande.

3 Il livello α Prendiamo un livello di significatività α piccolo: dovremo scegliere una regione di rifiuto del tipo: Z n grande, cioè Z n > K, per qualche K > 0, per cui se H 0 fosse vera la probabilità di rifiutarla sia (al massimo) pari ad α: dobbiamo determinare K in modo che l area colorata valga α 0,4 0,3 0,2 K 0,

4 Come trovare K Dobbiamo determinare K in modo che l area colorata valga α 0,4 0,3 0,2 K 0, Ognuna delle 2 parti azzurre vale α/2, quindi l area a sinistra di K vale 1 α/2. Per definizione di quantile: K = z 1 α 2.

5 z 1 α 2 Statistica e Il p-value Supponiamo che la statistica Z n assuma il valore z n e calcoliamo il p-value, cioè il più piccolo livello a cui rifiutiamo H 0. Il test rifiuta H 0 se z n cade sull asse delle x nella zona azzurra, cioè z n > z 1 α 2 : 0,4 0,3 0,2 0,1 z n Più α è piccolo, più z 1 α va a destra. Quindi il più piccolo α 2 per cui z n cade nella zona azzurra è ᾱ tale che z n = z 1 ᾱ. 2

6 Il p-value 0,4 0,3 0,2 0,1 z 1 α 2 z n Quindi il più piccolo α per cui z n cade nella zona azzurra è ᾱ tale che z n = z 1 ᾱ. 2 Allora l area a sinistra di z n vale 1 ᾱ 2. D altra parte l area a sinistra di z n vale Φ(z n ), quindi da ricaviamo ᾱ = 2(1 Φ(z n )). Φ(z n ) = 1 ᾱ 2

7 Ricordiamo: Test per una media - varianza nota H 0 H 1 Rifiutiamo H 0 se p-value µ µ 0 µ > µ 0 z n > z 1 α Φ( z n ) µ µ 0 µ < µ 0 z n < z 1 α Φ(z n ) µ = µ 0 µ µ 0 z n > z 1 α 2 2 2Φ( z n ) Analogamente a quanto appena visto si ricavano i due test per le altre due ipotesi (è un po più difficile perché la legge di Z n non è detto sia N(0, 1) e per α bisogna fare un sup sulle probabilità di rifiutare H 0 ). Si potrebbe anche mostrare che questo test (come quelli che vedremo in seguito) è il più potente test di livello α per la media con campioni provenienti da popolazioni normali.

8 Situazione Test per una media - varianza ignota Popolazione N(µ,σ 2 ); varianza σ 2 ignota. µ 0 numero reale fissato. Test di livello α per µ Statistica: T n = X n µ 0. Sn/n 2 H 0 H 1 Rifiutiamo H 0 se p-value=α tale che µ µ 0 µ > µ 0 t n > t 1 α (n 1) t 1 α (n 1) = t n µ µ 0 µ < µ 0 t n < t 1 α (n 1) t 1 α (n 1) = t n µ = µ 0 µ µ 0 t n > t 1 α 2 t 1 α/2(n 1) = t n dove t n = valore di T n calcolato dal campione; t β (n 1)= quantile β della t(n 1).

9 Perché funziona Se la popolazione è N(µ,σ 2 ) abbiamo visto che X n µ 0 σ/ n N(0, 1), se σ 2 è incognita questo fatto è inutilizzabile, ma abbiamo visto (negli intervalli di confidenza) che X n µ 0 S 2 n/n t(n 1), dove t(n 1) indica la v.a. di Student con n 1 gradi di libertà. Dopo di che si procede come nel test a varianza nota.

10 Test per la media di grandi campioni I due test per il valore atteso di popolazioni normali (varianza nota o ignota) si possono utilizzare anche per popolazioni che seguono altri modelli statistici, purché il campione sia sufficientemente numeroso da consentire l applicazione del Teorema del Limite Centrale.

11 Test su una frequenza (grandi campioni) Un caso particolare è quello del test per il parametro p di una popolazione B(p). Si vuole confrontare p con un numero p 0 (0, 1). Sia x 1,..., x n un campione estratto da quella popolazione e sia nx n 5 e n(1 x n ) 5. Test di livello α per p Statistica: Z n = X n p 0 p0 (1 p 0 )/n. H 0 H 1 Rifiutiamo H 0 se p-value p = p 0 p p 0 z n > z 1 α/2 2 2Φ( z n ) p p 0 p > p 0 z n > z 1 α Φ( z n ) p p 0 p < p 0 z n < z 1 α Φ(z n ) dove z n = valore di Z n calcolato dal campione; z β = quantile β della N(0, 1).

12 Test per due medie Vogliamo ora confrontare due medie: abbiamo un campione X 1,..., X n da una popolazione con valore atteso (ignoto) µ X ; e un altro campione Y 1,...,Y m da una popolazione con valore atteso (ignoto) µ Y.

13 Test per due medie Il test che cerchiamo dovrà darci una regola di decisione per le seguenti situazioni (δ è un numero reale fissato, può valere anche 0): H 0 H 1 µ X = µ Y + δ µ X µ Y + δ µ X µ Y + δ µ X > µ Y + δ µ X µ Y + δ µ X < µ Y + δ In tutti i test sui valori attesi supponiamo che le popolazioni seguano la legge normale (quindi anche le medie campionarie sono v.a. normali); oppure i campioni siano abbastanza numerosi da poter applicare il Teorema del Limite Centrale (quindi le medie campionarie sono approssimabili con v.a. normali).

14 Campioni accoppiati o indipendenti DEFINIZIONE di CAMPIONI ACCOPPIATI O INDIPENDEN- TI Distinguiamo due differenti situazioni: 1 i campioni sono accoppiati, cioè si tratta di osservazioni diverse effettuate sugli stessi individui; 2 i campioni sono indipendenti, cioè si tratta di osservazioni provenienti da popolazioni diverse.

15 Esempi accoppiati Esempi di campioni accoppiati: Si vuole stabilire se le rondini hanno in genere un ala più sviluppata dell altra: se ne prendono n e X i =lunghezza dell ala destra dell i-esimo individuo; Y i =lunghezza dell ala sinistra dell i-esimo individuo. Si vuole stabilire se un betabloccante è efficace: si prendono n pazienti e X i =battiti cardiaci al minuto dell i-esimo individuo prima della somministrazione del betabloccante; Y i =battiti cardiaci al minuto dell i-esimo individuo dopo la somministrazione del betabloccante.

16 Esempi di campioni indipendenti: Esempi indipendenti Si vuole stabilire se una cura per l otite è efficace: si prendono due gruppi di pazienti, uno lo si tratta con placebo, l altro col farmaco: X i =durata in giorni dell otite per l i-esimo individuo di un gruppo di pazienti trattati con placebo; Y i =durata in giorni dell otite per l i-esimo individuo di un gruppo di pazienti trattati col farmaco. Si vuole stabilire se due sottospecie di Iris sono distinguibili misurando la lunghezza dei petali: si prende un gruppo di piante della prima sottospecie e un gruppo dell altra sottospecie: X i =lunghezza di un petalo di fiore dell i-esimo individuo della prima sottospecie di Iris; Y i =lunghezza di un petalo di fiore dell i-esimo individuo della seconda sottospecie di Iris.

17 Test per due medie - campioni accoppiati Situazione Popolazione X con valore atteso µ X, accoppiata con la popolazione Y con valore atteso µ Y. Idea: basta considerare il nuovo campione Z 1,..., Z n definito come Z 1 = X 1 Y 1 ; Z 2 = X 2 Y 2 ;...;Z n = X n Y n. Si tratta del campione delle differenze: il test su due medie si riduce ad un test per una media!

18 Ipotesi da 2 ad 1 media Considerando Z = X Y le ipotesi si traducono in questo modo: H 0 per 2 medie H 0 per 1 media µ X = µ Y + δ µ Z = δ µ X µ Y + δ µ Z δ µ X µ Y + δ µ Z δ Conclusione Se si può supporre che la popolazione differenza Z segua la distribuzione normale, oppure se il campione è abbastanza numeroso da consentire l applicazione del Teorema del Limite Centrale, si utilizzano i test per 1 media già visti.

19 Test per due medie - campioni indipendenti Anzitutto osserviamo che se i campioni X 1,..., X n e Y 1,..., Y m sono indipendenti, può essere che n m. Situazione Popolazione X N(µ X,σ 2 X ); popolazione Y N(µ Y,σ 2 Y ).

20 Poiché il test diventa X n Y m δ N Campioni indipendenti - varianze note ( µ X µ Y δ, σ2 X n + σ2 Y m H 0 H 1 Rifiuto H 0 se p-value µ X µ Y = δ µ X µ Y δ z n > z 1 α/2 2 2Φ( z n ) µ X µ Y δ µ X µ Y > δ z n > z 1 α Φ( z n ) µ X µ Y δ µ X µ Y < δ z n < z 1 α Φ(z n ) ), dove z n = x n y m δ σ 2 X n + σ2 Y m

21 Situazione Campioni indipendenti - varianza ignota Popolazione X N(µ X,σ 2 ); popolazione Y N(µ Y,σ 2 ). Varianza σ 2 incognita ma uguale per le due popolazioni. Si potrebbe dimostrare che T n,m = X n Y m (µ X µ Y ) S 1 n + 1 m t(n + m 2) dove S = (n 1)SX 2 + (m 1)S2 Y. n + m 2

22 La varianza combinata Ricordando che SX 2 e S2 Y sono rispettivamente la varianza campionaria del campione X e quella del campione Y, S 2 = (n 1)S2 X + (m 1)S2 Y n + m 2 1 n = (X i X n ) 2 + n + m 2 i=1 m (Y j Y m ) 2 j=1 si interpreta come una combinazione delle due varianze campionarie. DEFINIZIONE DI VARIANZA COMBINATA S 2 è detta varianza combinata (pooled variance in inglese).

23 La statistica di riferimento è Campioni indipendenti - varianza ignota T = X n Y m δ t(n + m 2), S 1 n + 1 m di cui osserviamo il valore t. Poniamo k = n + m 2. Il test diventa H 0 H 1 Rifiuto H 0 se p-value: ᾱ tale che µ X µ Y = δ µ X µ Y δ t > t 1 α/2 (k) t 1 α/2 (k) = t µ X µ Y δ µ X µ Y > δ t > t 1 α (k) t 1 α (k) = t µ X µ Y δ µ X µ Y < δ t < t 1 α (k) t 1 α (k) = t

24 Confronto di due medie I test che abbiamo visto per il confronto di due medie valgono se le popolazioni in gioco seguono la distribuzione normale (e si può dimostrare che sono i test più potenti possibile). Se però i campioni sono sufficientemente numerosi da consentire l applicazione del Teorema del Limite Centrale, allora possiamo usare questi test anche per popolazioni non normali. Ricordiamo inoltre che abbiamo visto il confronto di due medie solo nel caso in cui le due varianze o sono note oppure sono incognite ma uguali fra loro. Esiste una formula anche per il caso in cui le due varianze sono incognite e diverse fra loro e anche altri test per campioni piccoli. Questi casi non l vediamo.

25 Confronto di due frequenze (grandi campioni) Vediamo invece un applicazione del test per confronto di medie al confronto di parametri di due popolazioni bernoulliane. Si usa il test z per campioni con varianze note, supponendo che i campioni siano abbastanza numerosi da consentire l applicazione del Teorema del Limite Centrale (dunque nx n 5, n(1 x n ) 5, my m 5, m(1 y m ) 5). Inoltre si sostituisce al posto di σ 2 X la quantità x n(1 x n ) e al posto di σ 2 Y la quantità y m (1 y m ).

26 Test per due medie Quello per due medie, campioni indipendenti e varianze note, ponendo δ = 0, era: H 0 H 1 Rifiuto H 0 se p-value µ X = µ Y µ X µ Y z n > z 1 α/2 2 2Φ( z n ) µ X µ Y µ X > µ Y z n > z 1 α Φ( z n ) µ X µ Y µ X < µ Y z n < z 1 α Φ(z n ) dove z n = x n y m σ 2 X n + σ2 Y m

27 Test per due frequenze Per due popolazioni, la X sia B(p 1 ) e la Y sia B(p 2 ) il test diviene: H 0 H 1 Rifiuto H 0 se p-value p 1 = p 2 p 1 p 2 z n > z 1 α/2 2 2Φ( z n ) p 1 p 2 p 1 > p 2 z n > z 1 α Φ( z n ) p 1 p 2 p 1 < p 2 z n < z 1 α Φ(z n ) dove z n = x n y m x n(1 x n) n + y m (1 y m ) m

28 Avvertenze Il test per le due non è quello riportato sul libro di Bramanti. Inoltre bisogna sempre far attenzione all applicabilità dell approssimazione normale, che richiede campioni piuttosto numerosi.

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