Cosa sono gli esoneri?

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1 Cosa sono gli esoneri? Per superare l esame di Istituzioni di Matematiche è obbligatorio superare una prova scritta. Sono previsti due tipi di prova scritta: gli esoneri e gli appelli. Gli esoneri sono più di uno (solitamente tre, ognuno dei quali riguarda una parte di programma e si svolgono ad intervalli di tempo regolari. Per iscriversi al primo esonero è sufficiente scrivere il proprio nome, cognome e corso di Laurea negli appositi foglietti fatti circolare dal docente durante le lezioni. L iscrizione agli esoneri successivi non è richiesta. Qualora lo studente non sia presente a lezione può farsi iscrivere da un compagno di corso o, in via del tutto eccezionale, può inviare un al docente. Agli esoneri il candidato dovrà portare con sé carta e penna in quantità sufficiente ed un valido documento di identità. Il candidato, durante lo svolgimento della prova, può utilizzare qualsiasi tipo di materiale cartaceo (libri, dispense, quaderno degli appunti ecc. e di calcolatrici non programmabili. NON È CONSENTITO l uso di computers, calcolatrici grafiche, telefonini ecc. Inoltre l esonero è una prova individuale e quindi, durante lo svolgimento della prova, è vietato comunicare con altri. L inosservanza di questa regola comporterà una penalizzazione. Gli esoneri consistono nell affrontare una prova a quiz del tipo esame per la patente di guida: i quesiti sono proposti nella forma seguente: Cognome: Nome: C.d.L.: A Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta Determinare la soluzione dell equazione 1 + x = 2 1 Risposta: A 2 B 0 C 1 D 2 E 3 C La lettera in grassetto situata in alto a destra (in questo caso A caratterizza il testo. Tale lettera deve essere tenuta a mente, o ricopiata in agenda, dal candidato: gli sarà utile per poter controllare se la correzione del proprio elaborato è avvenuta correttamente. Per rispondere ai quesiti non bisogna mettere crocette ma bisogna scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta (in questo caso C. Per tutta la durata della prova scritta non è consentito allontanarsi dall aula. Il docente può, a sua completa discrezione, permettere la consegna dell elaborato prima del termine: in questo caso la prova si considera conclusa e il candidato deve lasciare l aula. Durante lo svolgimento delle prove scritte, soprattutto all inizio ed alla fine, il docente comunica ad alta voce alcune disposizioni alle quali gli studenti devono attenersi per il corretto svolgimento della prova. Per non disturbare la concentrazione degli esaminandi, tali disposizioni sono comunicate una sola volta, è quindi necessario prestare la massima attenzione. Ad ogni esonero corrisponde un voto in trentesimi proporzionale al numero di quiz risolti correttamente, eventualmente decurtato delle penalità collezionate durante lo svolgimento della prova. Le risposte sbagliate non danno luogo a punteggi negativi. L esonero si intende superato se il voto non è inferiore a 15. Gli studenti che superano tutti gli esoneri sono ammessi a sostenere la prova orale. Gli studenti che hanno ottenuto negli esoneri un voto medio non inferiore a 18 sono esonerati dal sostenere la prova orale e possono verbalizzare tale voto direttamente.

2 Esonero del 15 Novembre 2001 Cognome: Nome: C.d.L.: A Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta Determinare le soluzioni dell equazione: x 2 +1= x +1 1Risposta: A 0 B 0, 1 C 1, 2 D 1 E 2 B Dati i vettori di R 3 X =(t, 1,t, Y =(t +1, 2t, 2; Per quali valori di t R sono paralleli? 2Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E -1 B Per quali valori di t R sono ortogonali? 3Risposta: A 0,-5 B 1,-5 C 0 D -5 E -1 A ( cos π Determinare il rango della matrice Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 B Determinare il prodotto righe per colonne 5Risposta: A ( ( 1 2 B ( 1 7 C 2 5 D B 6Calcolare il determinante Risposta: A 34 B 18 C -34 D -18 E 0 C 7Si consideri, al variare del parametro reale k, il sistema x + kz = k 2kx + ky =1 3x +2y +2z = k +1 icalcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema. Risposta: A 2k k 2 B 2k + k 2 C 2k + k 2 D k + k 2 E 0 A iiper quali valori di k NON si può applicare il teorema di Cramer? Risposta: A k =0, 1 B k =0, 2 C k = 1, 2 D nessuno E k =0, 2 E iiiper quali valori di k il sistema è impossibile? Risposta: A k =0, 2 B k =0, 2 C k =0 D k =1 E nessuno C ivper quali valori di k il sistema ammette infinite soluzioni? Risposta: A k =0, 2 B k =0, 2 C k =0 D k =2 E nessuno D

3 Esonero del 15 Novembre 2001 Cognome: Nome: C.d.L.: B Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta Determinare le soluzioni dell equazione: x 2 +1= x 1 1Risposta: A 0, -1 B 0, 1 C 1, 2 D 1 E 2 Dati i vettori di R 3 X =( t, 2,t, Y =(t, 1, 2t; Per quali valori di t R sono paralleli? 2Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E nessuno Per quali valori di t R sono ortogonali? 3Risposta: A 0,-5 B 1,-5 C 0 D 2 E ± 2 Determinare il rango della matrice ( cos π Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 Determinare il prodotto righe per colonne 5Risposta: A ( ( 1 2 B ( 1 7 C 2 5 D Calcolare il determinante Risposta: A -17 B 17 C -34 D 34 E 0 7Si consideri, al variare del parametro reale k, il sistema kx + ky + z =1 kx +2z =1 3x + ky +5z =1 icalcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema. Risposta: A 0 B 6k +2k 2 C 6k 2k 2 D 6k +2k 2 E 6k 2k 2 iiper quali valori di k NON si può applicare il teorema di Cramer? Risposta: A k =0, 3 B k =0, 2 C k =0, 3 D nessuno E k =0, 2 iiiper quali valori di k il sistema è impossibile? Risposta: A k =0, 2 B k =0, 3 C k =0, 2 D k =2 E nessuno ivper quali valori di k il sistema ammette infinite soluzioni? Risposta: A k =0, 3 B k =0, 2 C k =0 D nessuno E k =3

4 Esonero del 15 Novembre 2001 Cognome: Nome: C.d.L.: C Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta Determinare le soluzioni dell equazione: x 2 2x +2= x 1Risposta: A 0, -1 B 0, 1 C 1, 2 D 1 E 2 Dati i vettori di R 3 X =(t, 1,t, Y =(t 1, 2t, 2; Per quali valori di t R sono paralleli? 2Risposta: A 0 B 1 C 2 D -1 E nessuno Per quali valori di t R sono ortogonali? 3Risposta: A 0,-5 B 1,-5 C 0, 5 D -5 E -1 Determinare il rango della matrice ( cos π Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E Determinare il prodotto righe per colonne ( 5Risposta: A B ( C ( D Calcolare il determinante Risposta: A -16 B 17 C -17 D 0 E 16 7Si consideri, al variare del parametro reale k, il sistema ky 3z = k kx +3y =1 2x + y 3z = 1 icalcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema. Risposta: A 18 3k +3k 2 B 3k + k 2 C k +3k 2 D 6 6k +3k 2 E k +3k 2 iiper quali valori di k NON si può applicare il teorema di Cramer? Risposta: A k = 2, 3 B k =2, 3 C k =2, 3 D nessuno E k =0 iiiper quali valori di k il sistema è impossibile? Risposta: A k = 2, 3 B k =2, 3 C k = 2 D k =3 E nessuno ivper quali valori di k il sistema ammette infinite soluzioni? Risposta: A k =3 B k = 2, 3 C k =2, 3 D nessuno E k = 2

5 Esonero del 15 Novembre 2001 Cognome: Nome: C.d.L.: D Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta Determinare le soluzioni dell equazione: x 2 +2x +2= x 1Risposta: A 0, -1 B 0, 1 C 1, 2 D -1, -2 E 2 Dati i vettori di R 3 X =(t, 0, 1, Y =(t, t, t; Per quali valori di t R sono paralleli? 2Risposta: A -1 B 1 C 2 D 0 E nessuno Per quali valori di t R sono ortogonali? 3Risposta: A 0,-5 B 1,-5 C 0 D -5 E 0, -1 Determinare il rango della matrice ( cos π Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 Determinare il prodotto righe per colonne 5Risposta: A ( 1 2 B 7 5 ( C ( D Calcolare il determinante Risposta: A 0 B -32 C 32 D 30 E -30 7Si consideri, al variare del parametro reale k, il sistema x +2y z =1 x 2ky z =1 2kx 4y +2z =2k icalcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema. Risposta: A 4 8k +4k 2 B 8k +4k 2 C 4+8k D 4 4k 2 E 4+8k +4k 2 iiper quali valori di k NON si può applicare il teorema di Cramer? Risposta: A k =1 B k = 1 C k =1, 1 D nessuno E k =0 iiiper quali valori di k il sistema è impossibile? Risposta: A k = 1 B k =1 C nessuno D k =0 E k =1, 1 ivper quali valori di k il sistema ammette infinite soluzioni? Risposta: A k = 1 B k =1 C k =0 D nessuno E k =1, 1

6 Esonero del 15 Novembre 2001 Cognome: Nome: C.d.L.: E Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta Determinare le soluzioni dell equazione: x 2 +2x +2= x +2 1Risposta: A 0, -1 B 0, 1 C 1, 2 D 1 E 2 Dati i vettori di R 3 X =(t, 0, 1, Y =(t, t, t; Per quali valori di t R sono paralleli? 2Risposta: A 0, 1 B 0 C 1 D -1 E nessuno Per quali valori di t R sono ortogonali? 3Risposta: A 0,-1 B 1,-5 C 0 D -5 E -1 Determinare il rango della matrice ( cos π Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 Determinare il prodotto righe per colonne 5Risposta: A ( ( 1 2 B ( 1 7 C 2 5 D Calcolare il determinante Risposta: A 0 B -12 C 12 D -16 E 16 7Si consideri, al variare del parametro reale k, il sistema ky + z =3 kx + y +2z = k kx +4y z = 2 icalcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema. Risposta: A 5k k 2 B 5k + k 2 C 5k k 2 D k k 2 E k 5k 2 iiper quali valori di k NON si può applicare il teorema di Cramer? Risposta: A k = 1, 5 B k =0, 1 C k =0, 5 D nessuno E k =0, 5 iiiper quali valori di k il sistema è impossibile? Risposta: A k =0, 5 B k =5 C nessuno D k =0 E k =0, 5 ivper quali valori di k il sistema ammette infinite soluzioni? Risposta: A k =5 B k =0, 5 C k =0 D nessuno E k =0, 5

7 Esonero del 15 Novembre 2001 Cognome: Nome: C.d.L.: F Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta Determinare le soluzioni dell equazione: x 2 2x +2= x 2 1Risposta: A 0, -1 B 0, 1 C 1, 2 D 1 E 2 Dati i vettori di R 3 X =(t, 1, 1, Y =(0,t,1; Per quali valori di t R sono paralleli? 2Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E nessuno Per quali valori di t R sono ortogonali? 3Risposta: A 0,-5 B 1, 0 C 0 D 1 E -1 Determinare il rango della matrice ( cos π Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E Determinare il prodotto righe per colonne ( 5Risposta: A B ( C ( D Calcolare il determinante Risposta: A 45 B -45 C 10 D -10 E 0 7Si consideri, al variare del parametro reale k, il sistema x ky + z =1 ky +2z = k x kz =2k icalcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema. Risposta: A k k 2 B 3k + k 2 C 3k + k 2 D 3k k 2 E 3k k 2 iiper quali valori di k NON si può applicare il teorema di Cramer? Risposta: A k =0, 1 B k =0, 3 C k =0, 3 D nessuno E k =1, 3 iiiper quali valori di k il sistema è impossibile? Risposta: A k =0, 1 B k =0, 3 C nessuno D k =0, 3 E k =1, 3 ivper quali valori di k il sistema ammette infinite soluzioni? Risposta: A k = 3 B k =0, 1 C k =0 D k =0, 3 E nessuno

8 Corsi di Laurea in Sc. Naturali e Sc. Ambientali - Facoltà di Scienze M.F.N. Esonero del 15 Novembre 2001 SOLUZIONI Testo\Domanda i 7ii 7iii 7iv A B B A B B C A E C D B A A E C C A E C B D C C D C C A E A A D E D D D E B D B E B C A E A B A C B E A E D A F B E D B A A D C D E a B A E C B A A A D E b A D C B C E A E C D c C B A C A C E C B D d D B A B D E D C D E e A E D B B A E B C A f B D E C A B A E D A

9 Esonero del 10 Gennaio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: A Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Determinare il ite x 3 +2x 3 x 1 x 2 2x +1 Risposta: A 0 B 1 C + D E Il ite non esiste 2 Determinare il ite e 6x cos(x x 0 x + x 2 Risposta: A 2 B 6 C + D E Il ite non esiste ( x +1 3 Calcolare la derivata nel punto x = 0 della funzione log x 2 +1 Risposta: A 0 B 1 C -1 D 2 E 2 4 Calcolare il ite x + (ex x 2 x 3. Risposta: A B + C 0 D 1 E non esiste 5 Si consideri la funzione f(x =2 x 2 + log(2x +2. i Determinare l insieme di definizione di f(x. Risposta: A x > 1 B x < 1 C x 1 D x 1 E 0 < x < 1 ii Calcolare il ite per x + di f(x. Risposta: A 0 B 1 C + D non esiste E iii Calcolare la derivata f (x dif(x. Risposta: A 1 2x 2x2 1 x B 2x 2x2 1+x C 1 2x 2x2 1+x D 1+2x+2x2 2+2x E 1+2x 2+2x iv Quali sono i punti di massimo relativo di f(x? Risposta: A B C 0 D 2 E nessuno v Quali sono i punti di minimo relativo di f(x? Risposta: A B C 0 D 2 E nessuno vi Dei grafici disegnati nel foglio allegato, quale si avvicina di più a quello di f(x? Risposta: A B C D F G H L M N

10 Esonero del 10 Gennaio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: B Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Determinare il ite x 3 +2x 3 x 1 + x 2 2x +1 Risposta: A 0 B 1 C + D E Il ite non esiste 2 Determinare il ite 1 e 2x x 0 x 2 x Risposta: A 2 B 6 C + D E Il ite non esiste ( sen(x+1 3 Calcolare la derivata nel punto x = 0 della funzione log x +1 Risposta: A 0 B 1 C -1 D 2 E 2 4 Calcolare il ite x + (x2 e x x. Risposta: A B + C 0 D 1 E non esiste 5 Si consideri la funzione f(x =x 2 + log(3 x. i Determinare l insieme di definizione di f(x. Risposta: A x > 3 B x < 3 C x 0 D x < 0 E 3 < x < 3 ii Calcolare il ite per x di f(x. Risposta: A 0 B 1 C + D non esiste E iii Calcolare la derivata f (x dif(x. Risposta: A 1 6x 3+x B 1 6x 2x2 3+x C 1+6x 2x2 3 x iv Quali sono i punti di massimo relativo di f(x? D 1+6x 2x2 3 x E 2x 3+x Risposta: A B C 0 D E nessuno v Quali sono i punti di minimo relativo di f(x? Risposta: A B C 0 D E nessuno vi Dei grafici disegnati nel foglio allegato, quale si avvicina di più a quello di f(x? Risposta: A B C D F G H L M N

11 Esonero del 10 Gennaio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: C Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Determinare il ite x 2 4x +4 x 2 x 4 16 Risposta: A 0 B 1 C + D E Il ite non esiste 2 Determinare il ite log(x x 0 + x 2 + x Risposta: A 2 B 6 C + D E Il ite non esiste 3 Calcolare la derivata nel punto x = 0 della funzione log ( cos(x x 2 +1 Risposta: A 0 B 1 C -1 D 2 E 2 4 Calcolare il ite x + (ex e 3x x 5. Risposta: A B + C 0 D 1 E non esiste 5 Si consideri la funzione f(x =2x + log(x +5. i Determinare l insieme di definizione di f(x. Risposta: A x > 0 B x 5 C x < 5 D x > 5 E x 5 ii Calcolare il ite per x + di f(x. Risposta: A 0 B 1 C D non esiste E + iii Calcolare la derivata f (x dif(x. Risposta: A 2x+11 x+5 B 2x 11 x+5 C 10x 1 x 5 D 1 x+5 E 2x2 1 x+5 iv Quali sono i punti di massimo relativo di f(x? Risposta: A B C 0 D E nessuno v Quali sono i punti di minimo relativo di f(x? Risposta: A B C 0 D E nessuno vi Dei grafici disegnati nel foglio allegato, quale si avvicina di più a quello di f(x? Risposta: A B C D F G H L M N

12 Esonero del 10 Gennaio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: D Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Determinare il ite x 10 3 x + x Risposta: A 0 B 1 C + D E Il ite non esiste 2 Determinare il ite x 0 + log(x x 2 + x 4 Risposta: A 2 B 6 C + D E Il ite non esiste ( 2 x 3 Calcolare la derivata nel punto x = 0 della funzione log 1+e x Risposta: A 0 B 1 C -1 D 2 E 2 4 Calcolare il ite x + (x3 +1e 2x. Risposta: A B + C 0 D 1 E non esiste 5 Si consideri la funzione f(x =1 x 2 log(6 2x. i Determinare l insieme di definizione di f(x. Risposta: A x > 3 B x 0 C x < 0 D 3 < x < 3 E x < 3 ii Calcolare il ite per x di f(x. Risposta: A 0 B 1 C D non esiste E + iii Calcolare la derivata f (x dif(x. Risposta: A 1 6x x B 1 3 x C 1 6x+2x2 3+x D 1+6x+2x2 3 x E 1 6x+2x2 3 x iv Quali sono i punti di massimo relativo di f(x? Risposta: A B 7 2 C 0 D E nessuno v Quali sono i punti di minimo relativo di f(x? Risposta: A B 7 2 C 0 D E nessuno vi Dei grafici disegnati nel foglio allegato, quale si avvicina di più a quello di f(x? Risposta: A B C D F G H L M N

13 Esonero del 10 Gennaio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: E Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Determinare il ite x 3 + x 2 x x 2 2x Risposta: A 0 B 1 C + D E Il ite non esiste 2 Determinare il ite x 0 x 2 x 3 1 cos x Risposta: A 2 B 6 C + D E Il ite non esiste 3 Calcolare la derivata nel punto x = 0 della funzione log ( cos(x 1+2x Risposta: A 0 B 1 C -1 D 2 E 2 4 Calcolare il ite ( e 1 x + 1 x+1 + x. Risposta: A B + C 0 D 1 E non esiste 5 Si consideri la funzione f(x =3x log(x 2. i Determinare l insieme di definizione di f(x. Risposta: A x 0 B x 0 C x 0 D x>0 E x<3 ii Calcolare il ite per x + di f(x. Risposta: A 0 B 1 C D non esiste E + iii Calcolare la derivata f (x dif(x. Risposta: A 3+ 2 x B 3 1 x 2 C 1 x D 3 2 x E 3 2x iv Quali sono i punti di massimo relativo di f(x? Risposta: A 3 2 B 3 C 2 3 D 3 2 E nessuno v Quali sono i punti di minimo relativo di f(x? Risposta: A 3 2 B 3 C 2 3 D 3 2 E nessuno vi Dei grafici disegnati nel foglio allegato, quale si avvicina di più a quello di f(x? Risposta: A B C D F G H L M N

14 Esonero del 10 Gennaio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: F Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Determinare il ite x 2 x 2 3x +2 x 3 2x 2 3x +6 Risposta: A 0 B 1 C + D E Il ite non esiste 2 Determinare il ite sen(6x + x 2 x 0 x + x 2 Risposta: A 2 B 6 C + D E Il ite non esiste 3 Calcolare la derivata nel punto x = 0 della funzione log ( 1+2x cos(x Risposta: A 0 B 1 C -1 D 2 E 2 4 Calcolare il ite x + e 2x x 4 + x 3. Risposta: A B + C 0 D 1 E non esiste 5 Si consideri la funzione f(x = log(4 + x+2x 2. i Determinare l insieme di definizione di f(x. Risposta: A x < 4 B x > 4 C x < 4 D x > 4 E x 0 ii Calcolare il ite per x + di f(x. Risposta: A 0 B 1 C D non esiste E + iii Calcolare la derivata f (x dif(x. Risposta: A 16x x+4 B 1 x+4 C 4x2 +16x+1 4+x D 16x+1 4 x iv Quali sono i punti di massimo relativo di f(x? E 4x2 16x 1 4+x Risposta: A B 15 2 C 0 D E nessuno v Quali sono i punti di minimo relativo di f(x? Risposta: A B 15 2 C 0 D E nessuno vi Dei grafici disegnati nel foglio allegato, quale si avvicina di più a quello di f(x? Risposta: A B C D F G H L M N

15 Allegato all'esonero del 10 gennaio Istituzioni di Matematiche (Sc. Nat. e Amb. A B C D H F G L M N

16 Corsi di Laurea in Sc. Naturali e Sc. Ambientali - Facoltà di Scienze M.F.N. Esonero del 10 Gennaio 2002 SOLUZIONI Testo\Domanda i 5ii 5iii 5iv 5v 5vi A D B B B A E C A E B B C A A A B C D B D N C A D A B D E A E E H D B D C C E C E A D G E D A E D C E D E C A F B B D B B E C A D D a D A A B B C D B D N b C D B A D E A E E H c A B A B A E C A E B d B A D C C E D E C A e D B C D B E C A D D f B D E B E C E A D G

17 Esonero del 1 febbraio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: A Per le domande 1-6 itarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Quale delle seguenti funzioni è una primitiva della funzione f(x = 2 log(x x per x>0? Risposta: A log 2 (x B log(x 2 C log(2x D x log(x E log(x/x 2 Calcolare l integrale indefinito (x cos(xdx. Risposta: A x sen(x B x 2 sen(x+2x cos(x C 2x sen(x x 2 cos(x D sen(x x cos(x 3 Calcolare l integrale definito 1 0 (6x3 x +1dx. Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 F 5 4 Calcolare l integrale definito 1 0 4e3 x dx. Risposta: A 4(e 3 e 2 B 2(e e 1 C 2(e 4 e 2 D 4(e 9 e 8 E 4(e 4 e 5 F 2(e 3 e 2 5 Solo una delle seguenti equazioni differenziali NON è lineare omogenea. Indicare quale: Risposta: A y = yt 2 B y = y 2 1 C y = ye t D y = ty E y = sen(ty 6 Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = ty. Risposta: A y = C + e t2 B y = Ce t2 C y = Ce t2 /2 D y = Ce t E y = Ct 2 7 Risolvere il Problema di Cauchy ( 2 y = t 1 y y(1 = e. Scrivere qui di seguito SOLTANTO la soluzione ottenuta (e non i calcoli eseguiti per ottenerla:

18 Esonero del 1 febbraio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: B Per le domande 1-6 itarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Quale delle seguenti funzioni è una primitiva della funzione f(x = 2 x per x>0? Risposta: A log 2 (x B log(x 2 C log(2x D x log(x E log(x/x 2 Calcolare l integrale indefinito x cos(xdx. Risposta: A x sen(x + cos(x B x 2 sen(x+2x cos(x C 2x sen(x x 2 cos(x D sen(x 3 Calcolare l integrale definito 1 0 (6x3 xdx. Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 F 5 4 Calcolare l integrale definito 1 0 4e2x+1 dx. Risposta: A 4(e 3 e 2 B 2(e e 1 C 2(e 4 e 2 D 4(e 9 e 8 E 4(e 4 e 5 F 2(e 3 e 5 Solo una delle seguenti equazioni differenziali NON è lineare omogenea. Indicare quale: Risposta: A y = e y B y = ty y C y = ye t D y = ty E y = sen(ty 6 Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = cos(2t y. Risposta: A y = Ce sen(2t B y = C sen(2t C y = Ce sen(2t/2 D y = Ce sen(2t/2 E y = Ct 2 7 Risolvere il Problema di Cauchy y = t +1 y 2t y(1 = e 1/2. Scrivere qui di seguito SOLTANTO la soluzione ottenuta (e non i calcoli eseguiti per ottenerla:

19 Esonero del 1 febbraio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: C Per le domande 1-6 itarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Quale delle seguenti funzioni è una primitiva della funzione f(x = log(x + 1 per x > 0? Risposta: A log 2 (x B log(x 2 C log(2x D x log(x E log(x/x 2 Calcolare l integrale indefinito (x sen(xdx. Risposta: A x sen(x + cos(x B x 2 sen(x C 2x sen(x x 2 cos(x D sen(x x cos(x 3 Calcolare l integrale definito 1 0 (6x3 x +4dx. Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 F 5 4 Calcolare l integrale definito 1 0 4ex+8 dx. Risposta: A 4(e 3 e 2 B 2(e e 1 C 2(e 4 e 2 D 4(e 9 e 8 E 4(e 4 e 5 F 2(e 3 e 2 5 Solo una delle seguenti equazioni differenziali NON è lineare omogenea. Indicare quale: Risposta: A y = t 2 y B y = y C y = y ye t D y = t sen(y E y = sen(ty 6 Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = y t. Risposta: A y = C/t B y = Ct C y = C/t 2 D y = Ce t E y = Clog t 7 Risolvere il Problema di Cauchy y = t 1 y t y(1 = e 2. Scrivere qui di seguito SOLTANTO la soluzione ottenuta (e non i calcoli eseguiti per ottenerla:

20 Esonero del 1 febbraio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: D Per le domande 1-6 itarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Quale delle seguenti funzioni è una primitiva della funzione f(x = 1 x per x>0? Risposta: A log 2 (x B log(x 2 C log(2x D x log(x E log(x/x 2 Calcolare l integrale indefinito x sen(xdx. Risposta: A x sen(x + cos(x B x 2 sen(x+2x cos(x C x 2 cos(x D sen(x x cos(x 3 Calcolare l integrale definito 1 0 (6x3 x 1dx. Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 F 5 4 Calcolare l integrale definito 1 0 4e4 2x dx. Risposta: A 4(e 3 e 2 B 2(e e 1 C 2(e 4 e 2 D 4(e 9 e 8 E 4(e 4 e 5 F 2(e 3 e 2 5 Solo una delle seguenti equazioni differenziali NON è lineare omogenea. Indicare quale: Risposta: A y = yt 2 B y = ty +2y C y = e ty D y = ty E y = sen(ty 6 Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = 8 y. Risposta: A y = C + e 8t B y = Ce 8t C y = Ce 8t D y =8t E y = Ce 4t 7 Risolvere il Problema di Cauchy y = (1+ 1t 2 y y(1 = 2. Scrivere qui di seguito SOLTANTO la soluzione ottenuta (e non i calcoli eseguiti per ottenerla:

21 Esonero del 1 febbraio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: E Per le domande 1-6 itarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Quale delle seguenti funzioni è una primitiva della funzione f(x = log(x2 x per x>0? Risposta: A log 2 (x B log(x 2 C log(2x D x log(x E log(x/x 2 Calcolare l integrale indefinito (2 + x cos(xdx. Risposta: A (2 + x sen x cos(x B (2 + x sen x + cos(x C (2 + x sen x D sen(x cos(x 3 Calcolare l integrale definito 1 0 (6x3 x +3dx. Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 F 5 4 Calcolare l integrale definito 1 0 4ex 5 dx. Risposta: A 4(e 3 e 2 B 2(e e 1 C 2(e 4 e 2 D 4(e 9 e 8 E 4(e 4 e 5 F 2(e 3 e 2 5 Solo una delle seguenti equazioni differenziali NON è lineare omogenea. Indicare quale: Risposta: A y = yt 2 B y = y y 2 C y = ye t D y = ty E y = sen(ty 6 Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = 6t y. Risposta: A y = C + e 6t2 B y = Ce 3t2 C y = Ce 6t D y = Ce 3t2 E y = Ct 2 7 Risolvere il Problema di Cauchy y = 1 2t t 2 y y(1 = 2. Scrivere qui di seguito SOLTANTO la soluzione ottenuta (e non i calcoli eseguiti per ottenerla:

22 Esonero del 1 febbraio 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: F Per le domande 1-6 itarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta 1 Quale delle seguenti funzioni è una primitiva della funzione f(x = 1+x x per x>0? Risposta: A log 2 (x B log(x 2 C log(2x D x log(x E log(x+x 2 Calcolare l integrale indefinito (6 4xe 2x dx. Risposta: A (3 2xe 2x B (4 2xe 2x C (6 2xe 2x D 6e 2x 3 Calcolare l integrale definito 1 0 (6x3 x +2dx. Risposta: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 F 5 4 Calcolare l integrale definito 1 0 4e2x 1 dx. Risposta: A 4(e 3 e 2 B 2(e e 1 C 2(e 4 e 2 D 4(e 9 e 8 E 4(e 4 e 5 F 2(e 3 e 2 5 Solo una delle seguenti equazioni differenziali NON è lineare omogenea. Indicare quale: Risposta: A y = yt 2 B y = e t y C y = y ye t D y = ty E y = t log(y 6 Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = 1 t 2 y. Risposta: A y = C + e et B y = Ce 1/t C y = Ce t2 /2 D y = Ce t E y = Ce 1/t 7 Risolvere il Problema di Cauchy y = 2t2 +1 t y(1 = e. y Scrivere qui di seguito SOLTANTO la soluzione ottenuta (e non i calcoli eseguiti per ottenerla:

23 Corsi di Laurea in Sc. Naturali e Sc. Ambientali - Facoltà di Scienze M.F.N. Esonero del 1 febbraio 2002 SOLUZIONI Testo\Domanda A A B C A B C B B A B F A D C D C F D D A D C D A C C B E A B E E B D F E B D B E E a A A F D B D b B C C A A A c D B B F D C d C B D B C D e A B A C B E f E D E E E B SOLUZIONI DEL SETTIMO ESERCIZIO. COMPITO A: y(t =e 2+2 log t t = t 2 e 2 t COMPITO B: y(t =e t/2+log t 1/2 = t e t/2 COMPITO C: y(t =e 1+t log t = e t+1 /t COMPITO D: y(t = 2e t 1/t COMPITO E: y(t =2e 1 1/t 2 log t =2e 1 1/t /t 2 COMPITO F: y(t =e t2 +log t = t e t2 COMPITO a: y(t =e 1+t log t = e t+1 /t COMPITO b: y(t =e 2+2 log t t = t 2 e 2 t COMPITO c: y(t =e t/2+log t 1/2 = t e t/2 COMPITO d: COMPITO e: y(t =e t2 +log t = t e t2 y(t = 2e t 1/t COMPITO f: y(t =2e 1 1/t 2logt =2e 1 1/t /t 2

24 Esonero del 14 Novembre 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: A Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta Determinare l insieme delle soluzioni della disequazione: x Risposta: A {x 2} {2 x} B [ 2, 2] C {0} D {x 2} {0} {2 x} E {x < 2} {2 <x} {0} Dati i vettori di R 3 X =(t +1,t 2, 3t, Y = ( t, t+1 4, 3 2 ; Per quali valori di t R sono paralleli? 2 Risposta: A 0 B 1 C 0,1 D nessuno E 1, 1 2 Per quali valori di t R sono ortogonali? 3 Risposta: A 5 ± 3 2 B nessuno C 0 D 0,1 E 0, 5 ± 3 2 Una sola delle seguenti applicazioni tra spazi vettoriali è lineare; quale? 4 Risposta: A f(x, y, z = (x, y, z 2 B f(x, y, z =x +2y + log(1 + z C f(x, y =(x, xy, y D f(x 1,x 2,x 3,x 4 = ( x 1 x 2, 6x 3 + x 4, log [ e (x1 x4] Determinare il prodotto righe per colonne 5 Risposta: A B ( cos π ( C ( D Calcolare il determinante Risposta: A 2 B -5 C 12 D 1 E 6 F 10 7 Si consideri, al variare del parametro reale k, il sistema x + y +(3 kz =1 kx + y + kz =2 kx + kz =2 i Calcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema. Risposta: A 2k k 2 B 2k + k 2 C 2k + k 2 D k + k 2 E 0 ii Per quali valori di k NON si può applicare il teorema di Cramer? Risposta: A k =0, 1 B k =0, 2 C k = 1, 2 D nessuno E k =0, 2 iii Per quali valori di k il sistema è impossibile? Risposta: A k =0, 2 B k =0, 2 C k =0 D k =1 E nessuno iv Per quali valori di k il sistema ammette infinite soluzioni? Risposta: A k =0, 2 B k =0, 2 C k =0 D k =2 E nessuno

25 Esonero del 14 Novembre 2002 Cognome: Nome: C.d.L.: B Limitarsi a scrivere nella colonna destra, all altezza della freccia, la lettera corrispondente alla soluzione corretta Determinare l insieme delle soluzioni della disequazione: 8 x 2 < 8 1 Risposta: A { 4 <x<4} B {x 4} {4 x} {0} C {x 0} D [ 4, 4] \{0} E { 4 <x<0} {0 <x<4} Dati i vettori di R 3 X =(2t, 1 t, 2, Y = ( t, 3 2 t, t 1 ; Per quali valori di t R sono paralleli? 2 Risposta: A 0 B 1 C 2 D 2,-1 E nessuno Per quali valori di t R sono ortogonali? 3 Risposta: A nessuno B 7 ± 65 2 Una sola delle seguenti applicazioni tra spazi vettoriali è lineare; quale? 4 Risposta: A f(x, y = ( y, y, y 2 B f(x, y, z =( x2,y,z C 0 D 1 E 7 ± 65, 0 2 C f(x, y, z =x +2y + 3 log (e z D f(x 1,x 2,x 3,x 4 = ( e (x1+x2+x3+x4 1, 0, 0 Determinare il prodotto righe per colonne 5 Risposta: A B ( senπ 2 ( ( 1 3 C 2 2 D Calcolare il determinante Risposta: A 2 B 5 C 12 D 1 E 6 F 10 7 Si consideri, al variare del parametro reale k, il sistema (2 + kx +2y + z =1 2x + y +2z =1 k 3x +2y +(2 kz =3 i Calcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema. Risposta: A 0 B k + k 2 C k k 2 D 1+k 2 E 1 k 2 ii Per quali valori di k NON si può applicare il teorema di Cramer? Risposta: A k =0, 1 B k =0, 1 C k =0 D nessuno E k =1, 1 iii Per quali valori di k il sistema è impossibile? Risposta: A k =0 B k = 1 C k =1 D k =2 E nessuno iv Per quali valori di k il sistema ammette infinite soluzioni? Risposta: A k =0 B k = 1 C k =1 D k =2 E nessuno