Cose da sapere - elettromagnetismo

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1 Cose da sapere - elettromagnetismo In queste pagine c e` un riassunto di relazioni e risultati che abbiamo discusso e che devono essere conosciuti. Forza di Lorentz agente su una carica q in moto con velocita` v in presenza di un campo magnetico B e di un campo elettrico E Contributo infinitesimo al campo magnetico prodotto da un elemento di circuito lineare dl percorso da una corrente i in un punto che si trova nella posizione r visto da dl (prima legge elementare di Laplace) Elemento di forza che agisce su un elemento di corrente idl immerso in un campo magnetico B (seconda legge elementare di Laplace) Intensita` del campo magnetico a distanza r da un filo rettiline infinito (praticamente molto lungo) percorso da una corrente i (la direzione del campo e` tangenziale alla circonferenza con centro sul filo, perpendicolare al filo, e di raggio r; il verso del campo e la direzione della corrente sono legati dalla regola della mano destra). Intensita` del campo magnetico nel centro di una spira di raggio r percorsa da una corrente i. F = q E + q v B d B = µ 0 4 i d l r = µ 0 r 3 4 i d l ˆr r 2 d F = id l B B = B(r) = µ 0 i 2 r µ 0i B = 2r Intensita` del campo magnetico nel vuoto all interno di un solenoide percorso dalla corrente i con n spire per unita` di B = µ 0 ni

2 lunghezza Legge di Gauss per il magnetismo (Σ rappresenta una superficie chiusa) Legge di Ampere Momento magnetico di una spira piana di area S e versore normale n percorsa da una corrente i Momento della forza (momento meccanico) che agisce su un dipolo magnetico di momento m immerso in un campo magnetico esterno B Energia di un dipolo magnetico di momento m in un campo esterno B Campo magnetico statico espresso in termini di un potenziale vettore A Equazione per il potenziale vettore (nel gauge in cui A = 0 ) ( B) = $ B # nda = 0 (forma integrale) % # B = 0 (forma locale o differenziale) # B d r = µ 0 i k (forma integrale) C k - concatenata $ % B = µ 0 J (forma differenziale) m = is n M = m B U = m B B = A (invarianza di gauge: lo stesso B deriva da A' = A + f ) A = µ 0 J Soluzione per A µ A( r ) = 0 4 Induzione elettromagnetica: legge di Faraday-Lenz (in un circuito la fem indotta e` data dalla derivata rispetto al tempo del flusso del campo magnetico concatenato con il circuito il concetto di circuito concatenato e` possibile grazie al fatto che il campo magnetico e` a divergenza nulla) Legge di induzione elettromagnetica in forma locale e integrale Dati 2 circuiti 1 e 2 accoppiati, il coefficiente di mutua induzione M 12 =M 21 fornisce il flusso del J ( r ') r r ' dv ' indotta = d#( B) E = # $ B $t = E d r = # C 2 ( B 1 ) = M 12 i 1 $ B $t nda %(C )

3 campo magnetico concatenato a un circuito dovuto a una corrente che circola nell altro circuito f.e.m. indotta tra due circuiti accoppiati Coefficiente di autoinduzione (induttanza) f.e.m. di autoinduzione Induttanza di un solenoide lungo l, con N spire (n spire per unita` di lunghezza), ciascuna di area A (V=volume del solenoide) Serie di n induttanze disaccoppiate (coefficienti di mutua induzione trascurabili rispetto alle induttanze) Parallelo di n induttanze disaccoppiate (coefficienti di mutua induzione trascurabili rispetto alle induttanze) = M di ( B) = Li = L di AN 2 L = µ 0 = µ l 0 Al n 2 = µ 0 Vn 2 L serie = -1 L parallelo n k=1 n L k = L Energia magnetica di una induttanza U = 1 2 Li 2 Densita` di energia magnetica nel vuoto (energia magnetica per unita` di volume) Corrente di spostamento (aggiunta alla corrente di conduzione impone la validita` dell equazione di continuita` della carica elettrica) k=1 1 u B ( r ) = 1 2µ 0 B( r ) 2 J S = 0 E t Equazioni di Maxwell % B E = # E = $ 0 %t Campi elettrico e magnetico in termini dei potenziali scalare e vettore Invarianza di gauge (i campi elettrico e magnetico non cambiano se si trasformano i potenziali scalare e vettore B = 0 E = # $ A $t B = % A A A' = A + f # #' = # $ %f %t k # B & % E ) = µ 0 ( J ' %t *

4 secondo questa regola: f e` una funzione arbitraria purche` derivabile del tempo e del punto nello spazio) Equazioni dei potenziali (derivate dalle equazioni di Maxwell) Soluzione (potenziali ritardati) Equazione delle onde per i potenziali (nel vuoto, in regioni in cui densita` di carica e correnti di conduzione sono nulle) valida nel gauge di Lorentz, nel quale i potenziali soddisfano la relazione: A #$ + µ 0 0 #t =0 Equazione delle onde per i campi nel vuoto, in assenza di cariche e correnti Onda piana Frequenza, Periodo Numero d'onda, lunghezza d'onda Velocita` di fase A # 2 A µ 0 0 #t = µ J (corrente di conduzione) 2 0 $ µ 0 0 # 2 $ #t 2 = 0 A( r,t) = µ 0 4 #( r,t) = µ 0 4 A µ 0 0 # 2 A $ µ 0 0 # 2 $ E µ 0 0 # 2 E B µ 0 0 # 2 B c 2 = 1 µ 0 0 c $ 3 %10 8 m/s E( r,t) = E 0 e i(t k r ) B( r,t) = B 0 e i(t k r ) = 2#, T = 1 k = k, = 2 k c = T = k r r ' J ( r ',t dv ' c r r ' #( r ',t dv ' r r ' r r ' c ) )

5 Le onde sono trasversali (rispetto alla direzione di propagazione) e i campi e la direzione di propagazione formano una terna destrorsa Vettore di Poynting k E = 0 ( E = 0) k B = 0 ( B = 0) k E = B ( E = B t ) E B S = Conservazione dell'energia: il campo elettromagnetico trasporta energia. La densita` di energia e` data da u( r,t) = 0 2 E B 2. 2µ 0 µ 0 Intensita` dell'onda I S u t + S + J E # $ = 0 Dimensione fisica di S: [S]/L = E/L 3 T ==> [S]=Energia/(Superficie x Tempo) J/m 2 s