Meccanica dei Fluidi. Prof. Giovanni Ianne. Prof Giovanni Ianne

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1 Meccanica dei Fluidi Prof. Giovanni Ianne Prof Giovanni Ianne 1

2 Meccanica dei Fluidi Che cos è un fluido? Prof Giovanni Ianne 2

3 Solidi, liquidi e gas In natura le sostanze possono trovarsi in tre stati di aggregazione: Prof Giovanni Ianne 3

4 Caratteristiche di un fluido FLUIDO sostanza senza forma propria (assume la forma del recipiente che la contiene) Liquido - volume limitato dalla superficie libera Gas - diffusione nell intero volume disponibile Un fluido può essere: omogeneo caratteristiche fisiche costanti per tutto il suo volume disomogeneo caratteristiche fisiche non costanti Fluido ideale : non comprimibile, omogeneo, senza attrito interno (non viscoso). Esempio: Sangue sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche omogeneo a livello macroscopico, disomogeneo a livello microscopico Prof Giovanni Ianne 4

5 La densità La densità d di un corpo è uguale al rapporto tra la sua massa m e il suo volume V. La densità d è direttamente proporzionale alla massa m e inversamente proporzionale al volume V. La densità è una grandezza derivata. La densità ha le dimensioni fisiche di una massa divisa per una lunghezza al cubo. Prof Giovanni Ianne 5

6 Meccanica dei Fluidi La pressione e le sue leggi Prof Giovanni Ianne 6

7 Perché i coltelli sono affilati? Prof Giovanni Ianne 7

8 La pressione La stessa forza può avere effetti diversi a seconda della superficie su cui agisce. Ad esempio chi cammina sulla neve: Prof Giovanni Ianne 8

9 La pressione La pressione è una grandezza scalare definita come il rapporto tra il modulo della forza (perpendicolare alla superficie) e l area di questa superficie. Prof Giovanni Ianne 9

10 La pressione Nel Sistema Internazionale l unità di misura della pressione è il pascal (Pa). Non conta la forza in se ma la sua componente perpendicolare Prof Giovanni Ianne 10

11 La pressione Esempio Una stanza ha il pavimento di dimensioni 3.5 m per 4.2 m e altezza di 2.4 m. Quant è il peso dell aria contenuta nella stanza alla pressione atmosferica? Soluzione Il peso dell aria è pari a mg dove m è la massa dell aria contenuta nella stanza. La massa è legata al volume dalla relazione m = rv. La densità dell aria a 1 bar è pari a 1.21 kg/m 3 per cui possiamo scrivere: P mg rvg (1.21 kg / m 3 )( ) m m / s N Prof Giovanni Ianne 11

12 La pressione della forza peso nei liquidi Ogni liquido è soggetto alla forza-peso, che determina una pressione data dalla legge di Stevino: La pressione dovuta al peso di un liquido è proporzionale sia alla densità del liquido che alla sua profondità. Prof Giovanni Ianne 12

13 Esempio Qual è la pressione della colonna d acqua a cui è sottoposto un sub che si trova a una profondità di 4 metri? In generale, alla pressione dovuta alla colonna d acqua, bisogna aggiungere la pressione atmosferica che agisce sulla superficie del mare: p 0 = 10,1 x 10 4 Pa. Prof Giovanni Ianne 13

14 La pressione della forza peso nei liquidi La densità del liquido è il rapporto tra la sua massa ed il suo volume: gdh è la pressione dovuta al peso della colonna d'acqua. Ad essa si deve sommare la pressione atmosferica p 0 : Prof Giovanni Ianne 14

15 Dimostrazione della legge di Stevino La pressione sulla superficie S è causata dal peso del liquido sovrastante, di volume V = Sh e massa m = d V = dsh. La pressione del liquido è: che nel caso più generale diventa: ossia Prof Giovanni Ianne 15

16 La pressione sul fondo di un recipiente Prendiamo tre recipienti di forma diversa, chiusi alla base da una membrana di gomma: La pressione del liquido non dipende dalla forma del recipiente. Prof Giovanni Ianne 16

17 La pressione sul fondo di un recipiente La pressione esercitata dal liquido dipende solo dal livello del liquido e non dalla quantità. Ad esempio, si può riuscire a spaccare una botte piena d'acqua aggiungendo solo un tubo sottile riempito d'acqua. Prof Giovanni Ianne 17

18 Vasi comunicanti I vasi comunicanti sono due o più recipienti uniti tra loro da un tubo di comunicazione. Esaminiamo cosa succede quando i vasi comunicanti vengono riempiti con uno stesso liquido. Prof Giovanni Ianne 18

19 Vasi comunicanti Un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti raggiunge in tutti i recipienti lo stesso livello. Prof Giovanni Ianne 19

20 Vasi comunicanti Caso generale: due liquidi diversi. Prof Giovanni Ianne 20

21 Vasi comunicanti Uguagliamo i valori della pressione nei due tubi, che sono dati da: Le altezze dei due liquidi sono inversamente proporzionali alle loro densità. Prof Giovanni Ianne 21

22 La legge di Pascal La pressione esercitata su una superficie qualsiasi di un liquido si trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il liquido. La superficie di cui si parla può essere posta in qualsiasi punto del liquido e inclinata in qualunque modo. Prof Giovanni Ianne 22

23 La legge di Pascal Il palloncino, posto nell'acqua, mantiene sempre la forma sferica. Questo è spiegato dalla legge di Pascal: La pressione esercitata su qualsiasi superficie di un liquido si trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il liquido. Prof Giovanni Ianne 23

24 Il torchio idraulico Legge di Pascal Prof Giovanni Ianne 24

25 Meccanica dei Fluidi Il principio di Archimede Prof Giovanni Ianne 25

26 La spinta di Archimede Spiega perché alcuni corpi in acqua affondano mentre altri galleggiano. Prof Giovanni Ianne 26

27 La spinta di Archimede Legge di Archimede: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto di intensità pari al peso del volume del fluido spostato. Prof Giovanni Ianne 27

28 dvg mg F Vg d g m S O H O H 2 2 g V d d F S R O H ) ( 2 O H O H O H d d d d d d corpo galleggia corpo in equilibrio corpo sprofonda Esempio: corpo immerso in acqua La spinta di Archimede Prof Giovanni Ianne 28

29 La spinta di Archimede: la mongolfiera La legge di Archimede vale anche per i gas. Quando l aria della mongolfiera viene riscaldata la sua densità diminuisce: che cosa bisogna fare dunque per Prof Giovanni Ianne 29 perdere quota?

30 La spinta di Archimede: sommergibili densità maggiore dell acqua densità minore dell acqua Prof Giovanni Ianne 30

31 Il galleggiamento dei corpi Quanto detto si verifica con un semplice esperimento, immergendo in acqua tre bottiglie diverse. Prof Giovanni Ianne 31

32 Meccanica dei Fluidi La pressione atmosferica Prof Giovanni Ianne 32

33 La pressione atmosferica Tutti gli oggetti sulla Terra sono sottoposti alla pressione esercitata dalla colonna d'aria che li sovrasta: la pressione atmosferica. Prof Giovanni Ianne 33

34 La pressione atmosferica Nel 1654 a Magdeburgo ebbe luogo un esperimento storico, in cui 16 cavalli non riuscirono a separare due semisfere metalliche tra cui era stato fatto il vuoto. La pressione atmosferica, agendo solo all'esterno delle semisfere, le rendeva inseparabili. Prof Giovanni Ianne 34

35 La pressione atmosferica Venne misurata da Evangelista Torricelli, che capovolse un tubo pieno di mercurio in una bacinella piena di mercurio. La pressione esercitata dalla colonna di mercurio deve uguagliare la pressione atmosferica sulla superficie libera. Al livello del mare h=76 cm e Prof Giovanni Ianne 35

36 La pressione atmosferica Unità di misura della pressione atmosferica: il pascal (Pa): 1 Pa = 1N/1m2; l'atmosfera: 1 atm = 1,01 x 105 Pa; il bar: 1 bar = 105 Pa (circa 1 atm) usato in meteorologia con il sottomultiplo mbar. La pressione diminuisce con l'altitudine perché la colonna d'aria che ci sovrasta è più bassa e più rarefatta. La diminuzione della pressione atmosferica è pari a circa 1300 Pa per ogni 100 m di innalzamento. Prof Giovanni Ianne 36

37 La pressione atmosferica Strumenti di misura della pressione atmosferica: barometri a mercurio; barometri metallici. In meteorologia si disegnano le curve in cui la pressione atmosferica ha lo stesso valore: le isobare. A: alta pressione (bel tempo) B: bassa pressione (maltempo). Prof Giovanni Ianne 37

38 p atm Manometro a liquido Misura differenze di pressione dgh1 p dgh 2 2 p patm dg h h ) dgh 2 ( 1 2 h 1 Esempio: h 2 misura invasiva della pressione arteriosa (pressione intramurale) La misura della pressione del sangue nelle arterie è sempre riferita alla P atm 120 mmhg ( ) mmhg Prof Giovanni Ianne 38

39 Sfigmomanometro p s = pressione sistolica p d = pressione diastolica p > p s silenzio p s > p > p d rumore pulsato p < p d rumore continuo Prof Giovanni Ianne 39

40 Fleboclisi Il flacone deve essere posto ad una altezza h sufficiente! Es: se p = 18 mmhg h > 25 cm! Prof Giovanni Ianne 40

41 Sifone Prof Giovanni Ianne 41

42 h Effetti della pressione idrostatica (cm) (mmhg) (valori medi) p v p a pressione venosa pressione arteriosa + La pressione nei diversi punti del corpo varia quando da sdraiati ci portiamo in posizione eretta posizione eretta p = p aorta + dg h Nota: h max = 130 cm h(cuore) = 0 attenti alle forti accelerazioni verso l alto!!!

43 Meccanica dei Fluidi Cenni di dinamica dei fluidi Prof Giovanni Ianne 43

44 La corrente di un fluido La corrente di un fluido è il movimento ordinato di un liquido o di un gas. La portata q è il rapporto tra il volume di fluido V che attraversa una sezione in un tempo t ed il tempo t stesso: Prof Giovanni Ianne 44

45 La corrente di un fluido La sezione trasversale di un fluido attraverso cui si misura la portata è una superficie immaginaria immersa nel fluido. Prof Giovanni Ianne 45

46 Correnti stazionarie Si dice stazionaria una corrente la cui portata attraverso qualsiasi sezione del conduttore è costante nel tempo. Prof Giovanni Ianne 46

47 L equazione di continuità La portata q di un fluido che scorre a velocità v in una conduttura di sezione S è data dalla formula: Quindi la portata è direttamente proporzionale sia alla sezione del tubo che alla velocità del fluido. Prof Giovanni Ianne 47

48 Sistema circolatorio circolazione polmonare POLMONI Portata circolo: Q 5 litri/min = 83 cm 3 /s VENA CAVA AORTA Aorta: r = 0.9 cm circolazione sistemica valvole VENE VENULE CUORE ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI S = pr 2 = 2.5 cm 2 v = Q/ S 33 cm/s Capillari: S = 2500 cm 2 v cm/s = 0.33 mm/s Prof Giovanni Ianne 48

49 La portata Prof Giovanni Ianne 49

50 Moto di un liquido in una conduttura Un liquido, a differenza di un gas, si può considerare incompressibile, cioè mantiene inalterato il proprio volume. In un tubo singolo: Prof Giovanni Ianne 50

51 L equazione di continuità Nel tubo singolo senza sorgenti e pozzi vale l'equazione di continuità: la portata del liquido in A e in B è costante; la sezione trasversale della conduttura e la velocità del liquido sono inversamente proporzionali. Prof Giovanni Ianne 51

52 L equazione di continuità La proporzionalità inversa tra sezione del tubo e velocità del liquido, S A v A = S B v B, significa che nelle strettoie il liquido fluisce più in fretta: se S si dimezza v raddoppia e viceversa. Quando si annaffia si blocca parzialmente la sezione del tubo con un dito per far sì che l'acqua, uscendo a v maggiore, arrivi più lontano. Prof Giovanni Ianne 52

53 L equazione di continuità Se il condotto si apre in più diramazioni, bisogna considerare la superficie totale. In ogni tratto si avrà sempre Q = v S. NOTA. Nell ultimo tratto conta la sezione totale dei canali! Prof Giovanni Ianne 53

54 Equazione di continuità Esempio di applicazione al flusso sanguigno Negli esseri umani il sangue fluisce dal cuore nell aorta, dalla quale passa nelle arterie maggiori. Queste si ramificano nelle piccole arterie (arteriole), che a loro volta si ramificano in miriadi di piccoli capillari. Il sangue ritorna al cuore attraverso le vene. Il raggio dell aorta è circa 1.2 cm e il sangue che vi scorre attraverso ha una velocità di circa 40 cm/sec. Un capillare tipico ha un raggio di circa cm e il sangue vi scorre attraverso ad una velocità di circa m/s. Stimare quanti capillari vi sono nel corpo. Prof Giovanni Ianne 54

55 Equazione di continuità Esempio di applicazione al flusso sanguigno Soluzione: Supponiamo che la densità del sangue non cambi significativamente dall aorta ai capillari. Per l equazione di continuità la portata di volume nell aorta deve essere uguale alla portata attraverso tutti i capillari. L area totale dei capillari è data dall area di un capillare moltiplicata per il numero N dei capillari. 2 Siano A 1 l area dell aorta e A 2 l area di tutti i capillari in cui fluisce il sangue. Allora A 2 = N πr cap dove N è il numero dei capillari e r cap cm è il valor medio stimato per il raggio di un capillare. Dall equazione di continuità abbiamo Quindi 2 2 v 1 A 1 = v 2 A 2 v 2 Nπr cap = v 1 πr aorta N = v 2 1 r aorta v 2 2 = r cap 0.40 m/s m/s m m Dell ordine di 10 miliardi di capillari. Prof Giovanni Ianne 55

56 Equazione di continuità Esempio di applicazione al flusso sanguigno Rappresentazione schematica della variazione di sezione totale e di velocità media del sangue nei vari distretti del sistema circolatorio. La velocità nei capillari è molto bassa dell ordine del millimetro al secondo. La bassa velocità è essenziale per i processi biochimici di scambio di sostanze necessari alla vita. Prof Giovanni Ianne 56

57 L equazione di Bernoulli Un fluido che scorre in un tubo a diametro variabile e piegato in direzione verticale è soggetto a diverse forze: oltre alla forza d'attrito. Prof Giovanni Ianne 57

58 L equazione di Bernoulli Per il fluido varia: la quota y, la velocità v e la pressione p a cui è sottoposto. Nelle ipotesi di: fluido incompressibile, corrente stazionaria e attrito inesistente, vale l'equazione di Bernoulli: Prof Giovanni Ianne 58

59 L equazione di Bernoulli L equazione di Bernoulli è una conseguenza diretta del principio di conservazione dell energia E E totale cinetica E potenziale costante Dividendo tutto per V e ricordando la definizione di densità possiamo scrivere E pressione mv1 mgh1 p1v mv2 mgh2 p2v 2 2 E totale V 1 2 rv rgh p 1 rv 2 rgh p costante Prof Giovanni Ianne 59

60 Esempio: aneurisma S 1 S 2 v v 2 1 Q = costante S 1 v 1 = S 2 v 2 S 2 > S 1 v 2 < v 1 Applicando il teorema di Bernoulli (h 1 = h 2 ): p 1 2 dv p 1 2 d v2 v 2 < v 1 p 2 > p 1 aneurisma tende a peggiorare Prof Giovanni Ianne 60

61 Esempio: stenosi S 1 v 1 S 2 h 1 = h 2 v 2 Q = costante S 1 v 1 = S 2 v 2 S 2 < S 1 v 2 > v 1 Applicando il teorema di Bernoulli (h 1 = h 2 ): p 1 2 dv p 1 2 d v2 v 2 > v 1 p 2 < p 1 stenosi tende a peggiorare Prof Giovanni Ianne 61

62 Esercizio In una casa l acqua calda circola in un impianto di riscaldamento. Se l acqua viene pompata ad una velocità di 0.5 m/sec attraverso un tubo del diametro di 4.0 cm nello scantinato ad una pressione di 3 atm, quali saranno la velocità di flusso e la pressione in un tubo di 2.6 cm al secondo piano situato 5 m sopra? Soluzione: Usiamo l equazione di continuità a densità costante per determinare la velocità del flusso al secondo piano e, successivamente, l equazione di Bernoulli per determinare la pressione. Prima calcoliamo la velocità di flusso al secondo piano, che indicheremo con v 2, essendo nota la velocità di flusso nel seminterrato (v 1 ), utilizzando l equazione di continuità. Ricordando che le aree sono proporzionali al quadrato del raggio (A = πr 2 ) otteniamo v 2 = v 1A 1 = v 2 1πr 1 A 2 = 2 πr m/s 0.020m m 2 = 1.2 m/s Per trovare la pressione al secondo piano usiamo l equazione di Bernoulli P 2 = P 1 + ρg y 1 y ρ(v 1 2 v 2 2 ) = Nm kgm ms 2 5.0m kgm ms ms 1 2 = Nm 2 = 2.5 atm Il termine dovuto alla velocità in questo caso contribuisce molto poco.

63 L attrito nei fluidi L'attrito viscoso si oppone al moto degli oggetti nei fluidi. 1) Attrito con le pareti della conduttura. In condizione laminare (senza vortici) le lamine di fluido a contatto con la parte risentono dell'attrito e lo trasmettono in parte al resto del fluido. Prof Giovanni Ianne 63

64 Attrito con le pareti della conduttura Si verifica sperimentalmente che vale la legge: F: forza necessaria per mantenere in moto il fluido a velocità v; S: area dello strato di fluido; d: distanza dalla parete; : coefficiente di viscosità (dipende dal fluido). Prof Giovanni Ianne 64

65 Attrito con le pareti della conduttura Unità di misura (nel sistema MKS): N s/m 2 = Pa s Coefficienti di viscosità per diversi fluidi: Prof Giovanni Ianne 65

66 Legge di Poiseuille L equazione di Poiseuille mette in relazione la differenza di pressione, condizione essenziale per il moto di un fluido, con le caratteristiche geometriche del condotto, la viscosità del liquido e la portata che risulta direttamente proporzionale alla differenza di pressione: Q 4 pr 8 L P 1 P 2 La velocità è maggiore al centro del condotto e decresce a mano a mano che ci si avvicina alle pareti secondo un profilo parabolico. Il moto avviene in regime laminare. Prof Giovanni Ianne 66

67 Attrito su un corpo in moto nel fluido 2) Attrito su un corpo in moto nel fluido. Un automobile accelera partendo da ferma. Prof Giovanni Ianne 67

68 Attrito su un corpo in moto nel fluido Nel caso più semplice di una sfera di raggio r che si muove in un fluido di viscosità a velocità v la forza F V di attrito viscoso è data dalla legge di Stokes: Prof Giovanni Ianne 68

69 Attrito su un corpo in moto nel fluido Un paracadutista è soggetto alla: forza-peso F P diretta verso il basso; forza d'attrito viscoso F V diretta verso l'alto e che aumenta al crescere della velocità di caduta v. A un certo istante Prof Giovanni Ianne 69

70 Attrito su un corpo in moto nel fluido Quando F tot = 0 il paracadutista scende a v=costante (I principio dinamica) fino alla fine: è chiamata velocità limite. Per una massa di 100 kg attaccata ad un paracadute di diametro di 10 m, la velocità limite è circa 3 m/s. Prof Giovanni Ianne 70

71 Attrito su un corpo in moto nel fluido Si ha F tot = 0 quando F P = F V. Uguagliando la formula di Stokes alla forza-peso otteniamo: che dà una velocità limite Prof Giovanni Ianne 71