Distribuzioni discrete

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Niccolina Mazzoni
8 anni fa
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1 Distribuzioni discrete Esercitazione 4 novembre 003 Distribuzione binomiale Si fa un esperimento (o prova): può manifestarsi un certo evento A con probabilità p oppure no (con probabilità q = p). La distribuzione binomiale descrive la probabilità che su N prove indipendenti si ottenga x volte l evento A è perciò: N P N,p (x) = p x x ( p) N x. Il valor medio della distribuzione, cioé il numero medio di eventi di tipo A, è µ = E(x) = x xp N,p (x) = Np. La deviazione standard, che dà una misura dell errore statistico, è σ = E((x µ) ) = Np( p). Si dice che si stima il valor medio al x% se σ µ = x%. Poiché nel caso della distribuzione binomiale σ = Npq µ la stima si fa sempre più precisa. Np = Npq (Np) = q Np, se N Esempio (equivalenza tra metodo classico e prescrizione binomiale) Qual è la probabilità che in 3 lanci di una moneta esca due volte croce? Le possibili terne sono 3 : TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCC CCT, avendo indicato con C croce e con T testa. Di queste 3 contengono la coppia CC: TCC CTC CCT. La probabilità richiesta è pertanto casi favorevoli casi possibili = 3 3. Analogamente si può procedere con la formula della distribuzione binomiale. In questo esempio l esperimento (o prova) è il lancio, l evento A è l uscita di croce (C), N = 3, x = e la probabilità p associata ad A è. L evento complementare, cioè testa, T, ha la stessa probabilità, q = p. Usando la formula della distribuzione binomiale, la probabilità richiesta è P 3, () = ( 3 ). Per segnalazioni di errori, critiche e suggerimenti, scrivere a mancinelli@fis.uniroma3.it. Nota che la stima è l equivalente statistico dell errore relativo.

Il valor medio della distribuzione, cioé il numero medio di eventi di tipo A, è µ = E(x) = x xp N,p (x) = Np.

2 Esempio (fortuna e pregiudizio) Si gioca con un dado, che è stato truccato a nostra insaputa faccia probabiltà Qual è la probabilità di vincere almeno una volta su 3 scommesse, puntando sempre sul 6? Come posso rendermi conto di essere stato truffato (anche se a mio favore)? La probabiltà che esca 6 è p = 0.3, che non esca q = 0.7. Posso vincere una, due o tre volte su tre scommesse, la probabilità di tale evento (disgiunzione di eventi indipendenti) è 3 P 3,0.3 () + P 3,0.3 () + P 3,0.3 (3) = = Se il dado non fosse stato truccato tale probabilità sarebbe stata ( 3 P 3, ()+P 6 3, ()+P 6 3, (3) = ) = 0.4 Alla fine delle tre scommesse, forse, potrò dire di essere stato fortunato, ma non che il dado è truccato perchè su tre prove c è, chiaramente, un disaccordo tra frequenze sperimentali e probabilità teoriche (la situazione più equa sarebbe, comunque, che uscissero tre facce diverse, allora queste tre avrebbero frequenza /3 e le altre tre frequenza 0?!), cioé potrò avanzare sospetti solo dopo un numero consistente di scommesse (e non è detto che, in generale, mi convenga!). Osservazione Cosa significa numero consistente di prove? Sarà molto probabile che, per N sufficientemente grande, il numero medio di volte in cui è uscito 6 sia nell intervallo [µ σ, µ + σ ]. Se per il dado truccato p = 0.3 e quindi µ = Np e σ = Np ( p ), per il dado regolare p = 0.67 e µ = Np e σ = Np( p). I due intervalli in cui può cadere il numero medio di 6 sono, rispettivamente, [µ σ, µ + σ ] e [µ σ, µ+ σ ]. Se i due intervalli sono disgiunti (e lo diventeranno al crescere di N in quanto il valor medio è stimato con precisione via via maggiore) allora sarà ragionevole dire che il dado è truccato. Questo corrisponde alla condizione Nel caso in esame se N > 40. µ + σ < µ ( ) pq + p q σ = N >. p q

La probabiltà che esca 6 è p = 0.3, che non esca q = 0.7. Posso vincere una, due o tre volte su tre scommesse, la probabilità di tale evento (disgiunzione di eventi indipendenti) è 3 P 3,0.

3 Distribuzione poissoniana Esistono fenomeni in cui non si possono numerare le prove e testare se in ognuna si è verificato un certo evento o meno. L unica informazione data è un qualche numero medio di eventi (in un certo intervallo di tempo) m. Pensate ad esempio al decadimento del carbonio 4 di cui si conosce solo la vita media e non ha senso parlare né di numero di prove N né di probabilità p. m è perciò l unico parametro da cui può dipendere la distribuzione di probabilità associata a questa categoria di fenomeni. La distribuzione poissoniana descrive la probabilità che, dato m numero medio di eventi di un certo tipo, se ne verifichino x di quel tipo è m mx P m (x) = e x!. In questo caso il valor medio è, per ipotesi, µ = E(x) = x xp m(x) = m, la deviazione standard è σ = E((x µ) ) = m. Può darsi sia dato il numero medio di eventi in un certo periodo T e vengano richieste informazioni relative ad un altro periodo di tempo T. Occorre allora passare per il flusso (numero di eventi nell unità di tempo) φ, che è legato a m dalla m T = µ T = σt = φt da cui φ = m T T, da cui m T = µ T = σt = φt T = m T. Se T > T allora T la stima al tempo T sarà migliore di quella al tempo T: σ T µ T = φt > φt = σ T. µ T Esempio 3 Il numero di telefonate che ricevo in mesi e il numero di quelle in cui hanno sbagliato a digitare il numero è: mesi GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC n telefonate n t. sbagliate Quante telefonate sbagliate mi aspetto di ricevere in un mese di 3 giorni? Qual è la probabilità di ricevere non più di telefonate sbagliate in una settimana? Ricevo nei mesi 36 telefonate di cui sbagliate. Il numero medio di telefonate sbagliate in un mese di 3 giorni è perciò n 3 = 3653 =.0 Il numero medio di telefonate sbagliate in una settimana è m = 3657 = 0.3. La probabilità di ricevere non più di telefonate sbagliate in una settimana è dunque: ( ) Pr{0 t.sb} + Pr{ t.sb} + Pr{ t.sb} = e = 0.998

Pensate ad esempio al decadimento del carbonio 4 di cui si conosce solo la vita media e non ha senso parlare né di numero di prove N né di probabilità p.

4 Esempio 4 Una sorgente emette un flusso φ di 40.5 particelle al minuto. per conoscere il numero di particelle all %? Quanti minuti devo aspettare Il numero medio di particelle emesse in t minuti è N t = tφ. Il rapporto tra deviazione standard e numero medio di particelle è N t N t = Nt. Quindi t = φ(%) = 47min. Esempio 5 Se conosco al % il numero medio di incidenti in un mese dopo mesi di osservazioni, per quanti mesi devo registrarne il numero per avere una stima all %? Il rapporto tra deviazione standard e numero medio di incidenti al mese m nei mesi è m mesi = %, da cui m = 0.0. Dopo x mesi si raggiunge una stima all % se m x mesi = %, da cui x = 0.0 m. Sostituendo in quest ultima m si ottiene x = 48 mesi = 4 anni.

5 Approssimazione di una binomiale con una poissoniana Si considerino N prove indipendenti in cui può verificarsi un certo evento A con probabilità p. Il numero totale( di eventi ) A, detto x, su N prove è distribuito secondo N la legge binomiale P N,p (x) = p x x ( p) N x. Si dimostra che, nel limite di N e p 0, con m = Np finito e non nullo, la distribuzione binomiale tende ad una distribuzione poissoniana di parametro m e argomento x: m mx P N,p (x) P m (x) = e x!. Esempio 6 In media provette su 00 prodotte da una fabbrica di vetri risultano fallate. Per i 0 studenti di una classe di laboratorio, l università ne acquista. Qual è la probabilità che tutti gli studenti ne abbiano una? Tutti gli studenti ne hanno una se al massimo sono rotte, quindi la probabilità è: ( P r(rotte)+p r(rotta)+p r(0rotte) = ) = Proviamo ad approssimare con la distribuzione poissoniana. Il numero medio di provette rotte su è m = Np = % = 0.4. In questo schema P r(rotte) + P r(rotta) + P r(0rotte) = 0.4 e 0.4 ovvero l approssimazione è molto buona.! e 0.4! e 0.4 0! = , Ciò che si vede in generale è che l approssimazione funziona se: p 0. e m = pn 5. Osservazione Data una distribuzione poissoniana, specificata da un parametro m, è vicersa impossibile individuare univocamente N e p tali che m = Np e fare una trattazione binomiale del problema. Per illustrare un possibile errore torniamo all esempio 3, che NON si può trattare con una distribuzione binomiale. Non ha senso pensare: la probabilità di ricevere una telefonata sbagliata in un giorno è p = 365 ; in 7 giorni posso ricevere 0, o, al massimo, telefonate sbagliate, quindi la probabilità richiesta è p 0 ( p) 7 + p ( p) 6 + p ( p) 5, perchè tale procedimento funzionerebbe solo 0 qualora sapessi di ricevere 7 telefonate nei 7 giorni, e questo non è specificato nel testo.

Si dimostra che, nel limite di N e p 0, con m = Np finito e non nullo, la distribuzione binomiale tende ad una distribuzione poissoniana di parametro m e argomento x: m mx P N,p (x) P m (x) = e x!

6 Esercizio Un passaggio a livello si abbassa ogni 30 minuti per 5 minuti. Qual è la probabilità di trovarlo abbassato sempre, transitandovi una volta a giorno per 5 giorni? E di trovarlo abbassato per 5 giorni consecutivi almeno una volta al giorno, passandovi due volte al giorno? Perché non è possibile risolvere l esercizio usando la distribuzione poissoniana?[r %. Perché p > 0..] Esercizio Una comitiva di 4 persone va ad una sala da booling dove ci sono 8 piste. Il n medio di piste occupate a quell ora è 6. Qual è la probabilità che debbano aspettare? E se le piste occupate fossero in media 8 e le comitive, quale sarebbe la probabilità che entrambe debbano aspettare?[r. 0.3%.9.5%.] Esercizio 3 In una popolazione, la percentuale di portatori sani di una certa caratteristica genetica è 0.8%. Su un campione di 0000 individui, qual è la probabilità che almeno siano portatori?[r. (P 80 (0) + P 80 ()).]

0.6%. Perché p > 0..] Esercizio Una comitiva di 4 persone va ad una sala da booling dove ci sono 8 piste. Il n medio di piste occupate a quell ora è 6. Qual è la probabilità che debbano aspettare?

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