Onde. ONDA: Perturbazione di una grandezza fisica che si propaga nello spazio.

Transcript

1 Onde ONDA: Perturbazione di una grandezza fisica che si propaga nello spazio. La propagazione di onde meccaniche aiene attraerso un mezzo materiale che ne determina caratteristiche e elocità. Esempi: Onde sulla superficie di un liquido (es. onde marine) Onde sonore nell aria (suono) o in un solido Onde in una corda tesa Le onde elettromagnetiche (es. luce, onde radio), che saranno trattate nei corsi successii, possono propagarsi anche nel uoto. Si tratta sempre di perturbazioni, in questo caso del campo elettrico e del campo magnetico A. Romero Scmat-Onde 1

2 Esempio: onda impulsia in una corda tesa Perturbazione = cambiamento di forma t La elocità di propagazione dipende dalle proprietà del mezzo: in questo caso, dalla tensione della corda e dalla sua densità lineare: = T ρ l A. Romero Scmat-Onde

3 Tipi di onde Onda longitudinale: perturbazione lungo la direzione di propagazione Esempio: onde sonore Direzione di propagazione Onda trasersale: perturbazione perpendicolare alla direzione di propagazione Esempio: corda tesa Direzione di propagazione Onda sia longitudinale che trasersale (onda marina): particelle di acqua hanno traiettoria ellittica con componente trasersale e longitudinale A. Romero Scmat-Onde 3

4 Il caso della corda tesa Per piccoli spostamenti ds: cosα 1 ; cosα 1 sinα α tgα ; sinα α tgα Considero un elemento di corda dl, con tensione T tg α ~ ds/dx F y è anche legata all accelerazione di dl dalla legge di Newton. Massa dell elemento dl: dm ~ ρ l dx perturbazione = spostamento ds forze risultanti: F x = T(cosα cosα) F y = T(sinα sinα) F x = 0 F y = T (tgα' tgα) = T (tgα) dx x s F y = T dx x s Fy = ( dm) ay = ρldx t s T s = uguaglio t ρ x l T Posto = : s s ρ l = 0 t x A. Romero Scmat-Onde 4

5 Equazione delle onde (di D Alembert): ξ t ξ x Equazione alida in generale per tutte le onde piane. ξ(x,t) rappresenta la perturbazione in un dato punto x al tempo t. Esempi: Spostamento s di un punto di una corda tesa dalla posizione di riposo Spostamento delle molecole d aria (o ariazione della pressione p) nel caso delle onde sonore = 0 Soluzioni: funzioni del tipo: ξ(x,t) = ξ(x t) ξ(x,t) = ξ(x + t) propagazione erso destra propagazione erso sinistra Queste rappresentano funzioni che traslano nel tempo lungo l asse x con elocità : t=0 y=ξ(x) (profilo dell onda) y' = y x' = x t tempo t: nel S.R. O : ho: y =ξ(x ) stessa forma A. Romero Scmat-Onde 5

6 Principio di sorapposizione La sorapposizione di due onde è ancora un onda che è, in ogni istante, la somma delle singole onde in ogni punto. Esempi: ξ (x,t) = ξ 1 (x t) + ξ (x + t) ξ 1 ξ Corda orizzontale, ma non a riposo! t t ξ ξ 1 A. Romero Scmat-Onde 6

7 Velocità di propagazione Dipende dalle proprietà elastiche ed inerziali del mezzo NON dipende dalla elocità della sorgente Corda tesa (onda trasersale, esempio precedente) = T ρl Tensione della corda (proprietà elastica del mezzo) Massa per unità di lunghezza (proprietà inerziale del mezzo) Sbarra metallica (onda longitudinale, di compressione) = E ρ Modulo di Young (proprietà elastica) Densità (proprietà inerziale) E = F S dl L Gas (onda longitudinale) = β ρ Modulo di compressione del gas, (proprietà elastica) Densità (proprietà inerziale) β = dp V dv A. Romero Scmat-Onde 7

8 Onde Armoniche Una funzione d onda particolarmente importante: ξ(x,t) = A sin k(x t) Definita pulsazione ω = k si scrie anche: k si definisce numero d onda A si definisce ampiezza ξ(x,t) = A sin (kx ωt) Funzione periodica sia nel tempo che nello spazio: Ha periodicità spaziale λ lunghezza d onda; cioè ξ(x,t) = ξ(x+λ,t) kλ = π k = π/λ Ha periodicità temporale T periodo; cioè ξ(x,t) = ξ(x,t+t) ωt = π ω = π/t πν ν=1/τ si definisce frequenza dell onda Relazioni fra λ, ν,t e : λ = T (λ è il percorso nel tempo T) λν = A. Romero Scmat-Onde 8

9 Onde Armoniche ξ(x,t) = A sin (kx ωt) Fissato t, ξ(x) = A sin (kx cost.) è il profilo dell onda nello spazio, in quell istante t: sinusoide di ampiezza A e periodo λ ξ A Fissato x, ξ(x) = A sin k(cost. ωt) rappresenta il moto di un singolo punto nel tempo: moto armonico ξ x A. Romero Scmat-Onde 9

10 Fronti d ondad L argomento della funzione d onda φ(x,t) = kx ωt si chiama fase dell onda. Fronti d onda : insieme di tutti i punti dello spazio in cui l onda ha la stessa fase In 1D sono punti In D sono circonferenze In 3D sono superfici sferiche Onde sulla superficie di un liquido A grande distanza: Fronti d onda lineari Fronti d onda piani A. Romero Scmat-Onde 10

11 Propagazione dell energia energia Un onda trasporta ENERGIA senza trasportare materia Si hanno solo oscillazioni locali intorno alla posizione di equilibrio La potenza media trasportata (energia che fluisce per unità di tempo) è proporzionale al quadrato della pulsazione ω e dell ampiezza A: P m Intensità dell onda: energia media trasportata nell unità di tempo attraerso l unità di area normale alla direzione di propagazione I Sorgente puntiforme di potenza P, che emette onde sferiche in 3D: ad una distanza r, la potenza è distribuita sulla superficie Σ= 4 π r I 1/r ω A ( E / t) media P = (W/m ) Σ Σ = m A. Romero Scmat-Onde 11

12 Onde sonore armoniche Vibrazione di un diaframma con moto armonico: s s = spostamento (longitudinale cioè sull asse x) delle molecole d aria dalla posizione d equilibrio Schematizzazione: Posizione a riposo Effetto dello spostamento Densità risultante p Onda di pressione sfasata di 90 A. Romero Scmat-Onde 1

13 Intensità del suono Intensità del suono: I = 1 ρω s 0 I s 0 Caratteristiche dell orecchio umano Soglia di udibilità: I 0 = 10-1 W/m (p 0 = Pa) Soglia del dolore: I = 1 W/m (p 0 =.9 Pa) (1 atm= 1, Pa) Liello sonoro in decibel (db): A. Romero Scmat-Onde 13

14 Intensità delle onde sonore A. Romero Scmat-Onde 14

15 Esempio Un cane abbaia con potenza sonora P = 1 mw. Supponendo una distribuzione uniforme di potenza, quale liello di intensità sonora ho a 5 m di distanza? Soluzione: Alla distanza r = 5 m, Σ = 4πr I = P/4πr = 10 3 W/(4π 5 m ) = 3, W/m β = 10 log(3, /10 1 ) = 65 db A. Romero Scmat-Onde 15

16 Effetto Doppler La sorgente ferma emette un onda di lunghezza d onda λ 0 che si propaga a elocità Il rielatore fermo ede le onde arriare con le stesse λ 0 e, quindi rilea la frequenza: ν R = = λ 0 ν 0 λ 0 + s T λ 0 s T Sorgente in moto erso il riceitore con elocità S La elocità dell onda continua ad essere. In un periodo T, la sorgente si sposta di S T la lunghezza d onda dienta λ R = λ 0 S T Il rielatore fermo ede le onde arriare con λ R e, quindi rilea la frequenza: ν R = λ A. Romero Scmat-Onde 16 R = λ 0 S T = S ν 0

17 Effetto Doppler R Sorgente ferma, riceitore in moto con elocità R La elocità dell onda continua ad essere ; ma nel S.R. dell osseratore in moto è R Il rielatore in moto ede le onde arriare con λ 0 e R, quindi rilea la frequenza: ν R = λ 0 R = R ν 0 Formula generale: R 0 ν = R S ν A. Romero Scmat-Onde 17

18 Onda d urto Se la sorgente è più eloce della elocità dell onda ( S > ), supera le onde che produce. Non c è effetto Doppler ma: Iniluppo dei fronti = onda d urto In un tempo t si ha che: la sorgente si è spostata di S 1 S = S t il fronte d onda prodotto in S 1 ha percorso il tratto S 1 S 1 = t = S 1 S cosθ cosθ = s Esempi: Aerei supersonici (=343 m/s =135 km/h) Scia a V generata da un motoscafo A. Romero Scmat-Onde 18

19 Interferenza di Onde Armoniche Due sorgenti identiche S 1 ed S emettono onde armoniche. in un punto P le due onde sono: s 1 (x,t) = A sin (kx 1 ωt) s (x,t) = A sin (kx ωt) L onda risultante è, per il principio di sorapposizione: s (x,t) = s 1 (x,t) + s 1 (x,t) = A [sin (kx 1 ωt) + sin (kx ωt)] Dalle formule di prostaferesi: s (x,t) = k(x1 x ) Acos x1 + x sin k ωt Ampiezza risultante nel punto P dipende dalla differenza delle fasi di s 1 ed s : φ = φ 1 φ = (kx 1 ωt) - (kx ωt) = k(x 1 x ) k(x1 x ) φ s0 = Acos = Acos A. Romero Scmat-Onde 19

20 Interferenza di Onde Armoniche Ampiezza risultante s 0 k( x1 x) φ = Acos = Acos x Onde in fase si sommano: s 0 = A Interferenza costruttia φ = πn, n = 0, 1, Oero: x = nλ Onde in opposizione di fase: s 0 = 0 Interferenza distruttia φ = (m+1) π, m = 0, 1, λ Oero: x = (m + 1) A. Romero Scmat-Onde 0 x

21 Interferenza di onde bidimensionali A. Romero Scmat-Onde 1

22 Onde stazionarie Considero la somma di onde con la stessa ω che si propagano in direzione opposta. Esempio: onda riflessa all estremo fisso di una corda tesa ONDA INCIDENTE s I (x,t) = A sin (kx ωt) ONDA RIFLESSA s R (x,t) = A sin (kx + ωt) ONDA RISULTANTE s (x,t) = s I (x,t) + s R (x,t) = A sin kx cos ωt Oscillazioni armoniche di ampiezza A sin kx. Non ho più propagazione Nodi: sin kx = 0 kx = nπ x = n n = 0, 1,, λ Ventri: sin kx = 1 π λ kx = ( m + 1) x = (m + 1) 4 m = 0, 1,, A. Romero Scmat-Onde

23 Corda con estremi fissi ν 1 ν ν 3 ν 4 ν 5 Entrambi gli estremi deono essere nodi: λ L = n = n ν ν n = n L n = 1,, Solo alcune frequenze sono possibili: Serie armonica L Onda stazionaria: effetto di riflessioni multiple + interferenza è confinata in regione di spazio limitata Energia localizzata, non si propaga ma staziona in regioni ben definite A. Romero Scmat-Onde 3

24 Onde stazionarie in una colonna di gas Canna d organo aperta: deo aere entri dell onda di spostamento ai estremi Nodi dell onda di pressione (sfasata di π/) : analogo della corda ν n = n L n = 1,, Canna d organo chiusa: deo aere nodo dell onda di spostamento all estremo chiuso entre dell onda di pressione: kl = (m + 1) π ν m = (m + 1) m = 0,1,, A. Romero Scmat-Onde 4 4L

25 Battimenti Interferenza di due onde con frequenze icine: fissato un punto dello spazio, ho composizione di oscillazioni armoniche (edi lezione su Oscillazioni) = A ( t ) ( t ) = A ( ω t ) s1 ( t ) sin ω 1 s sin s ( t ) = s1 ( t ) + s ( t ) = A( t ) sen ω t = A cos Ω t ω ω 1 + ω 1 ω Ω = ω = sen ω t Risultato: suono di frequenza ν = (ν 1 +ν )/ di intensità che aria nel tempo: I = I max cos Ωt frequenza di battimento ν = ν 1 ν T b 1 = ν 1 ν Esempio: accordatura di una chitarra con il diapason A. Romero Scmat-Onde 5