CAPITOLO PRIMO LEGGI E REGIMI FINANZIARI 1. LEGGI FINANZIARIE

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1 CAPITOLO PRIMO LEGGI E REGIMI FINANZIARI SOMMARIO:. Legg fnanzare Regme fnanzaro dell neresse semplce e dello scono razonale Regme fnanzaro dell neresse e dello scono composo Tass equvalen Tass nomnal e ass sanane Convenzone lneare e convenzone esponenzale Regme fnanzaro dello scono commercale Confrono ra regm fnanzar Forza d neresse Scndblà delle legg fnanzare. -. Prncpo dell equvalenza fnanzara Scadenza meda e asso medo. - Quesonaro.. LEGGI FINANZIARIE La maemaca fnanzara ha per oggeo d sudo le operazon fnanzare, coè le operazon d scambo d monea conro monea n emp dvers. Il suo scopo prncpale è rasferre valor monear nel empo consenendo la loro comparablà, prescndendo da qualsas consderazone crca l poere d acquso d al valor che vara nel empo a causa d suazon d nflazone o d deflazone. Le operazon fnanzare sono: operazon d capalzzazone se valor monear sono rasfer avan nel empo; operazon d aualzzazone se valor monear sono rasfer ndero nel empo. Gl elemen fondamenal d una operazone fnanzara sono: mpor e scadenze. Sulla base d ques due elemen s effeua una prma dsnzone ra: operazon fnanzare cere che sono quelle cu mpor s rendono dsponbl a deermnae scadenze con cerezza; operazon fnanzare aleaore che sono quelle cu mpor s rendono dsponbl solo se s verfcano degl even aleaor. Per nrodurre la ermnologa usaa, s consder una operazone fnanzara semplce conssene nello scambo, ra due ndvdu, A e B, d due capal, rspevamene C e M (con M > C), n due successv san d empo, x e y: C M 0 x y Se l operazone d scambo dell mporo C all sane x conro l mporo M all sane successvo y, è acceaa da due ndvdu, s dce che C e M sono fnanzaramene equvalen ra loro per l prncpo dell equvalenza fnanzara che approfondremo nel corso d queso e de successv capol.

2 6 Capolo Prmo Avendo supposo x < y, s ha che: A è deo credore o muuane; B è deo debore o muuaaro; C è l capale mpegao, ancpao o nveso; M è l capale dovuo alla scadenza; x è la daa d nvesmeno; y è la scadenza; [x, y] è l perodo d mpego. Se nell operazone fnanzara l elemeno fondamenale è l capale C mpegao, allora M s dce monane, al empo y, del capale C mpegao al empo x. S dce neresse prodoo dal capale C nel perodo [x, y] la quanà: I M C (.) da cu: M C + I (.2) Se nell operazone fnanzara, nvece, l elemeno fondamenale è l capale M dovuo alla scadenza, allora C s dce valore auale al empo x del capale M dovuo al empo y. S dce scono sul capale M per l ancpo dal empo y al empo x, la quanà: D M C (.3) da cu: C M D (.4) Dalle relazon (.) e (.3) s evnce che I D. Per generalzzare calcol s assume C, e s usano le seguen noazon: è l asso effevo d neresse prodoo da un capale unaro, relavo al perodo consderao: I (.5) C r è l monane d un capale unaro, al ermne del perodo consderao: M r (.6) C che, dae le relazon (.2) e (.5), è uguale a: M C+ I C+ C r + (.7) C C C ed è deo faore d monane o faore d capalzzazone; d è l asso effevo d scono relavo al perodo consderao, ossa lo scono su ogn unà d capale dovua alla scadenza: d D (.8) M

3 Legg e regm fnanzar 7 v è l valore auale, all nzo del perodo per ogn unà d capale dovua al ermne del perodo: C v (.9) M che, dae le relazon (.4) e (.8), è uguale a: C M D M Md v d (.0) M M M ed è deo faore d scono o faore d ancpazone o faore d aualzzazone. Dalle relazon (.6) e (.9), poché le grandezze dae fanno rfermeno alla medesma operazone fnanzara, s ha che: e, rsolvendo rspeo a, v e d: r + v d (.) v d r v d (.2) v r + d (.3) r d r + v (.4) Le relazon ra, r, d e v sono ndcae nel prospeo seguene, la cu leura è mmedaa (nfa, ue le grandezze, r, d e v ndcae nella prma colonna sono espresse n funzone delle corrsponden grandezze ndcae nella prma rga): r d v r r + d d d v v v d + r r v v + r d

4 8 Capolo Prmo Se s esprme r n funzone delle due varabl x e y che rappresenano, rspevamene, la daa nzale e la daa fnale del perodo d nvesmeno [x, y], s ha che r x, y è la funzone o legge d capalzzazone ed esprme l monane alla daa y del capale unaro nveso alla daa x. Dalle (.2), (.3) e (.4) s oengono le corrsponden legg: (x,y) è la legge dell neresse; v(x,y) è la legge del valore auale; d(x,y) è la legge dello scono. che sono dee legg a due varabl. Se s ene fsso x e, n corrspondenza, s fa varare y, s può porre y x, oenendo una legge a una varable che rappresena la duraa dell nvesmeno. Ad esempo: r(x, y) r() Nella praca, faor d monane e d scono sono specfca da espresson maemache che l esprmono come funzon del empo e d un alro paramero che generalmene è rappresenao dal asso d neresse o d scono. Guardandole come funzon del solo empo (fssando qund l valore del paramero asso) le caraersche d al funzon sono espresse d seguo. CARATTERISTICHE DEL FATTORE DI MONTANTE. r() per 0; 2. r() per 0; 3. r2 r del denaro. ( ) ( )per 2, ossa la funzone è crescene per l cosddeo posulao del rendmeno CARATTERISTICHE DEL FATTORE DI SCONTO. v() per 0; 2. 0 v() per 0; 3. v2 v ( ) ( ) per 2, ossa la funzone è decrescene. Una vola specfcaa la funzone maemaca del faore d monane o del faore d scono espress n funzone del empo e del asso d neresse, s dce che s è dao un regme fnanzaro. Se s fssa l valore del asso, le funzon che esprmono l faore d monane o l faore d scono, espresse uncamene n funzone del empo, s dcono legg fnanzare del regme consderao. Due regm r(, ) e v(, ), rspevamene d capalzzazone e d aualzzazone, s dcono conuga se: r(, ) v(, ) Il prospeo d pagna seguene ndca regm fnanzar d capalzzazone e corrsponden regm d aualzzazone a ess conuga che andremo a sudare.

5 Legg e regm fnanzar 9 Regm d capalzzazone Ineresse semplce Ineresse composo Ineresse ancpao Regm d aualzzazone Scono razonale Scono composo Scono commercale 2. REGIME FINANZIARIO DELL INTERESSE SEMPLICE E DELLO SCONTO RA- ZIONALE 2. Ineresse semplce Nel regme fnanzaro dell neresse semplce l neresse s calcola sul capale, proporzonalmene al empo. Assumendo come unà d msura del empo l anno, sa l asso effevo annuo d neresse, ossa l neresse prodoo da un capale unaro n un anno, allora, l neresse prodoo dopo l empo per ogn unà d capale mpegao è: () (2.) Dalle (.), (.3) e (.4) s oengono le seguen legg: r() + (2.2) v () + (2.3) d () (2.4) + Sa C l capale mpegao, dalla (2.) s ha che l neresse prodoo da C nel empo è: I() C (2.5) da cu le formule nverse: I I I C () ; () ; C C Analogamene, dalla (2.2), s ha che l monane M prodoo dal capale C è: M() C()r() C()( + ) (2.6) da cu le formule nverse: M M C C () () + C M C C

6 0 Capolo Prmo Ineressane è l calcolo del empo occorrene perché un dao capale C, mpegao n regme d capalzzazone semplce, dven M mc, con m numero reale posvo, dverso da. La erza delle formule nverse appena vse, sosuendo a M l valore mc, dvene: mc C ( m ) C m C C da cu, se s vuole oenere un monane M par a 2 vole l capale nzale C, ossa M 2C, s ha: 2 Pracamene, l empo occorrene a un capale per raddoppars è par al recproco del asso d neresse. APPLICAZIONI Operazon fnanzare con scadenza non superore all anno. Se s esprme l empo n gorn (g), anzché n ann, s ha che commercale. g 360, dove 360 è l anno ESEMPIO Un capale d 900,43 è mpegao n regme semplce al asso annuo effevo d neresse del 6%. Calcolare gl neress e l monane prodo dopo anno e 3 mes n regme d neresse semplce. Dalla (2.5) s ha che l neresse prodoo da 900,43 al asso 0,06 e per un empo 5 2 ammona a: I 900, 43 0, , Il monane è uguale a: M 900, ,53 967,96 ESEMPIO 2 S mpegano per 7 mes a neresse semplce 2/3 d un capale al asso annuo 0,06 e l rmanene /3 al asso annuo ' 0,07, oenendo dal prmo mpego 850,9 n pù rspeo al secondo. Qual è l capale complessvamene mpegao? Sa C l capale mpegao, l neresse prodoo dal prmo mpego d C è: 2 I C ,, C

7 Legg e regm fnanzar L neresse prodoo dal secondo mpego è: Segue che, essendo: s ha: Rsolvendo rspeo a C: I2 C ,, C I I , 9 084, 049, I C C +850, C 850, , 049, ( ) , 2.2 Scono razonale Nel regme fnanzaro consderao, l faore d scono è espresso dalla (2.3). La formula del asso d scono per un operazone d duraa è la (2.4); volendolo esprmere n funzone del asso effevo d scono annuo d, enendo presene la (.2), esso dvene: da cu: d d d () + d + d d d () + d ( ) (2.7) che, rfero a capale dovuo M è: Md D () + d ( )

8 2 Capolo Prmo RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE. Funzone: r () + Supposa defna la funzone per un empo connuo, la sua rappresenazone grafca è la seguene: r() r() + - O Fg. La funzone è rappresenaa da una rea d coeffcene angolare par a e che nerseca l asse delle ascsse nel puno, 0 e l asse delle ordnae nel puno (0,) e per queso è dea legge lneare. Fnanzaramene è valda solo per 0. Essendo l coeffcene angolare d ale rea posvo e par a, la funzone è crescene (l monane è nfa funzone crescene del empo e del asso d neresse). 2. Funzone: () () () O Fg. 2 È una rea passane per l orgne degl ass con coeffcene angolare posvo par a, per cu la funzone è crescene. Per 0 è () 0, qund l grafco della funzone passa per l orgne degl ass. Ovvamene, anche ale funzone è fnanzaramene valda solo per 0.

9 Legg e regm fnanzar 3 3. Funzone: v () + Supposa defna la funzone per un empo connuo, la sua rappresenazone grafca è la seguene: v() v() + - O Fg. 3 La v() rappresena un perbole che ha per asno la rea la funzone è fnanzaramene valda solo per 0. e l asse delle ascsse, nolre S può dre che per 0 la funzone assume valore menre per v() 0 s ha: Inolre, se calcolamo la dervaa prma della funzone v(): v'( ) 2 ( + ) s ha che v'() < 0 per ogn non negava; qund la funzone è decrescene.. 3. REGIME FINANZIARIO DELL INTERESSE E DELLO SCONTO COMPOSTO 3. Ineresse composo Nel regme fnanzaro dell neresse composo, l perodo d mpego d un capale è dvso n nervall, de perod d capalzzazone, al ermne d cascun perodo gl neress maura sono aggun al capale e fruano anch ess nel perodo successvo. S realzza, n al modo, la capalzzazone degl neress. Consderamo un capale unaro mpegao ad neresse composo con capalzzazone annua e al asso annuo unaro ; l monane del suddeo capale dopo un anno è: r +

10 4 Capolo Prmo Durane l secondo anno, l capale messo a fruo non è l capale nzale (unaro), ma è r, per cu l monane d alla fne del secondo anno è: r 2 r ( + ) (+ )(+ ) (+ ) 2 S dmosra, per nduzone, che l monane composo d un capale unaro alla fne del esmo anno è: r() (+ ) (3.) Dalle (.2), (.3) e (.4) s oengono le seguen legg: () (+ ) (3.2) v () v ( + ) ( + ) (3.3) d () v d ( + ) ( ) (3.4) Sa C l capale mpegao, dalla (3.2) s ha che l neresse prodoo da C nel empo è: I() C() C[(+ ) ] (3.5) Analogamene, dalla (3.), s ha che l monane M prodoo dal capale C è: da cu le formule nverse: M() C( + ) (3.6) M M M C C () () ( + ) log log ; C ; log( + ) Dalla erza delle formule nverse appena vse (n cu log sa a ndcare l logarmo decmale, anche se è possble usare logarm d qualunque base) s può oenere l empo occorrene perché un dao capale C, mpegao n regme d capalzzazone composa, dven m C, con m numero reale posvo, dverso da ; nfa, se s vuole un monane M par a 2 vole l capale nzale C, ossa M 2C, s ha: 2C log log M logc log2c logc C log2 log( + ) log( + ) log( + ) log( + ) In generale, per un monane M mc, s ha: log M logc log mc logc log m log( + ) log( + ) log( + )