Classe III Aritmetica e Algebra Dati e previsioni Geometria Geometria

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1 Classe III U. D. 1 Equazioni e disequazioni (ripasso) Aritmetica e Algebra Equazioni algebriche numeriche con δ 2. Disequazioni algebriche numeriche con δ 2. Sistemi di equazioni e/o disequazioni algebriche numeriche con δ 2. Equazioni con valori assoluti con δ 2. Disequazioni con valori assoluti con δ 2. Equazioni irrazionali con δ 2. Disequazioni irrazionali con δ 2. Dominio di una equazione. U. D. 2 Probabilità ed elementi di Statistica Dati e previsioni Distribuzioni semplici e condizionate. Dipendenza stocastica. Campione di dati. Correlazione e regressione di dati. U. D. 3 La retta e il piano cartesiano Geometria La retta orientata. La misura di un segmento. Ascissa di un punto. Il punto medio di un segmento. La distanza tra due punti su una retta. Il sistema di riferimento ortogonale. Biunivocità tra coppie di reali e i punti del piano. La distanza tra due punti sul piano. Il punto medio di un segmento sul piano. I punti notevoli di un triangolo. L equazione della retta passante per l origine. L equazione della retta parallela agli assi cartesiani. Il coefficiente angolare. Rappresentazione grafica della retta. L equazione generica di una retta sul piano. Forma esplicita e forma implicita. La condizione di appartenenza ad una retta. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità. L equazione di una retta di coefficiente angolare noto passante per un punto dato. L equazione di una retta passante per due punti noti. Intersezione tra due rette. Interpretazione algebrica: sistemi determinati, indeterminati, impossibili. La distanza punto- punto, punto- retta, tra rette parallele. L equazione dell asse di simmetria di un segmento. L equazione delle bisettrici tra due rette. I fasci di rette (propri e impropri). U. D. 4 La parabola Geometria La parabola come conica e come luogo geometrico piano. L equazione di una parabola con Vertice nell Origine e Direttrice parallela all asse delle ascisse. Le caratteristiche del coefficiente direttivo. L equazione di una parabola con direttrice parallela all asse delle ascisse. 1

2 Legame tra i parametri dell equazione e le coordinate del Vertice, del Fuoco, dell Asse di Simmetria e della Direttrice. L equazione di una parabola con direttrice parallela all asse delle ordinate. Condizione di appartenenza alla parabola. Posizione di una retta rispetto a una parabola. La condizione di tangenza e altri metodi per determinare l equazione di una retta tangente a una parabola. Posizione di un punto rispetto a una parabola. Condizioni per determinare l equazione di una parabola. Il segmento parabolico. Il Teorema di Archimede. Fasci di parabole. U. D. 5 La circonferenza Geometria La circonferenza come conica e come luogo geometrico piano. L equazione di una circonferenza. Legame tra i parametri dell equazione e le coordinate del centro e il raggio. Le condizioni di esistenza di una circonferenza. Condizione di appartenenza alla circonferenza. Posizione di una retta rispetto a una circonferenza. Definizione di interno ed esterno ad una curva. La condizione di tangenza e altri metodi per determinare l equazione di una retta tangente a una circonferenza. Posizione di un punto rispetto a una circonferenza. Condizioni per determinare l equazione di una circonferenza. La posizione reciproca di due circonferenze. L asse radicale. Fasci di circonferenze. U. D. 6 L ellisse Geometria L ellisse come conica e come luogo geometrico piano. L equazione di un ellisse con Centro nell Origine e fuochi sugli assi. L equazione di un ellisse traslata sul piano. Legame tra i parametri dell equazione e le coordinate dei Vertici, dei Fuochi e degli Assi. Condizione di appartenenza all ellisse. Posizione di una retta rispetto a un ellisse. Posizione di un punto rispetto a un ellisse. Condizioni per determinare l equazione di un ellisse. U. D. 7 L iperbole Geometria L iperbole come conica e come luogo geometrico piano. L equazione di un iperbole con Centro nell Origine e fuochi sugli assi. L equazione di un iperbole traslata sul piano. Legame tra i parametri dell equazione e le coordinate dei Vertici, dei Fuochi, degli Assi e degli asintoti. Condizione di appartenenza all iperbole. Posizione di una retta rispetto a un iperbole. Posizione di un punto rispetto a un iperbole. Condizioni per determinare l equazione di un iperbole. L iperbole equilatera. Equazione riferita agli assi ed equazione riferita agli asintoti. Le funzioni omografiche. 2

3 U. D. 8 Le affinità del piano Geometria La simmetria centrale. La simmetria assiale. La traslazione. La dilatazione. U. D. 9 Le coniche e le funzioni algebriche Geometria; Relazioni e funzioni L equazione generale di una conica. I luoghi geometrici. Il concetto di funzione. Classificazione delle funzioni. Caratteristiche delle funzioni: Dominio, Codominio, Insieme Immagine. Immagine e antiimmagine di un elemento. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni. La funzione inversa. Intersezione con gli assi cartesiani. Segno di una funzione. Grafico di una funzione. Le coniche come funzioni. U. D. 10 Funzioni esponenziali e logaritmiche Relazioni e funzioni Le potenze. Le funzioni esponenziali e loro proprietà. Le funzioni logaritmiche e loro proprietà. U. D. 11 Equazioni e disequazioni esponenziali - Aritmetica e Algebra; Relazioni e funzioni Proprietà degli esponenziali. Equazioni e disequazioni esponenziali. Studio di funzione esponenziale. U. D. 12 Equazioni e disequazioni logaritmiche - Aritmetica e Algebra; Relazioni e funzioni Proprietà dei logaritmi. Equazioni e disequazioni logaritmiche. Studio di funzione logaritmico. Classe IV U. D. 0 Funzioni algebriche, esponenziali e logaritmiche Relazioni e funzioni Studio di funzione algebrica. Studio di funzione esponenziale. Studio di funzione logaritmica. Semplici modelli di crescita esponenziale. U. D. 1 zeri approssimati di una funzione o di una equazione Aritmetica e Algebra Metodo di bisezione. Metodo di Newton. U. D. 2 Goniometria (funzioni goniometriche e loro proprietà) Relazioni e funzioni Angoli e loro misura. Archi e loro misura. Angoli orientati e loro misura. Seno, coseno, tangente, di un angolo orientato. Secante, cosecante e cotangente di un angolo orientato. 3

4 Arcoseno, arcocoseno, arcotangente. Periodicità e immagine delle funzioni goniometriche. Grafici delle funzioni goniometriche. U. D. 3 Goniometria (formule goniometriche) Aritmetica e Algebra Espressione di tutte le funzioni goniometriche di un dato angolo orientato mediante una sola di esse. Formule degli angoli associati. Riduzione al primo quadrante. Relazioni goniometriche tra angoli complementari, supplementari ed esplementari. Formule goniometriche di sottrazione, addizione, duplicazione, bisezione. Formule parametriche, di prostaferesi e di Werner. U. D. 4 Goniometria (equazioni e disequazioni) Aritmetica e Algebra; Relazioni e funzioni Identità goniometriche. Equazioni goniometriche. Disequazioni goniometriche. Studio di funzione goniometrico. U. D. 5 Trigonometria Aritmetica e Algebra; Geometria Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo. Teorema della corda. Teorema dei seni. Teorema delle proiezioni. Teorema del coseno. Risoluzione di triangoli. Problemi di varia natura risolvibili mediante formule trigonometriche. U. D. 6 Geometria euclidea nello spazio Geometria Concetti di punto, retta e piano nello spazio e relazioni fra loro. Concetto di parallelismo e perpendicolarità. Diedri e poliedri. Determinazione di aree e volumi. Solidi di rotazione. Determinazione di aree e volumi. Problemi relativi alla geometria spaziale risolvibili mediante formule trigonometriche. U. D. 7 Successioni e Modelli matematici Aritmetica e Algebra; Relazioni e funzioni Dal discreto al continuo. Concetto di successione. Progressioni aritmetiche e geometriche. Grafici di funzioni elementari: Af ( x + x 0 )+ B, 1 f ( x), f ( x), f n ( x), f ( x). Modelli per l economia, la biologia, l informatica e la fisica, matematizzabili con funzioni esponenziali, logaritmiche e goniometriche. U. D. 8 Topologia della retta reale Aritmetica e Algebra L insieme dei numeri reali R. Numeri algebrici e trascendenti. Cardinalità di un insieme. Il concetto di infinito: potenziale e attuale. Gli intorni di un punto. Intorno centrale, sinistro e destro. Gli intorni di infinito. Punti interni, esterni, di frontiera; punti isolati e di accumulazione. Concetto di limite di una funzione. Verifica di limiti di funzioni algebriche. Continuità delle funzioni algebriche. Punti di discontinuità. Calcolo di limiti di funzioni algebriche e loro interpretazione geometrica (asintoti). 4

5 Studio di funzione algebrico fino al calcolo dei limiti significativi e determinazione di eventuali asintoti. U. D. 9 Numeri complessi Aritmetica e Algebra Aritmetica dei numeri complessi (da R a R 2 ). Rappresentazione algebrica e trigonometrica di un numero complesso. Rappresentazione geometrica sul piano di Argand- Gauss. Le radici dell unità. L esponenziale complesso. Equazioni e disequazioni a coefficienti complessi. Semplici funzioni a variabile complessa. U. D. 10 Calcolo combinatorio e Probabilità Dati e previsioni Disposizioni semplici e con ripetizione. Combinazioni semplici e con ripetizione. Probabilità condizionata. Probabilità composta. Formula di Bayes e sue applicazioni. Argomenti a carattere storico: Da trattare i problemi classici dei greci (quadratura del cerchio, trisezione di un angolo, duplicazione del cubo), elementi di calcolo infinitesimale ( 600) e relative applicazioni alla fisica (alla fine della IV, col concetto di limite applicato ad esempio alla velocità e all accelerazione istantanee) e l estensione dell utilizzo di modelli matematici anche alle altre discipline scientifiche tipo economia, biologia (fine 800, primi del 900) con l introduzione del concetto di infinito attuale e cenni alle geometrie non euclidee (sempre alla fine del quarto anno). In compresenza con Filosofia si potrebbe pensare di affrontare il metodo induttivo e quello deduttivo, portando esempi di applicazione di entrambi i metodi nell ambito della Matematica (a metà del III anno con Aristotele, riprendendo poi al V anno con Popper). 5