Studiare una trasformazione geometrica significa prendere in esame i cambiamenti che ha prodotto nella figura trasformata e ciò che invece

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2 Studiare una trasformazione geometrica significa prendere in esame i cambiamenti che ha prodotto nella figura trasformata e ciò che invece ha lasciato inalterato. Si chiama trasformazione geometrica un qualsiasi procedimento che permette di ottenere da una figura data F un altra figura F i cui punti sono in corrispondenza biunivoca con quella data. La figura F si dice trasformata o corrispondente nella trasformazione considerata. Le proprietà geometriche di una figura (forma, dimensioni e posizione) che in una trasformazione non cambiano prendono il nome di invarianti della trasformazione, quelle che invece cambiano prendono il nome di varianti della trasformazione.

3 Due figure sono congruenti se sovrapposte coincidono perfettamente. Figure congruenti Possiamo quindi dire che: Due figure congruenti hanno le stesse misure, cioè: due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza; Due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza; Due figure piane congruenti hanno la stessa estensione. La congruenza è una relazione fra due figure piane che mantiene invariate la forma e l estensione. Essa mantiene quindi uguale la lunghezza dei segmenti e l ampiezza degli angoli corrispondenti, ma ne varia la posizione.

4 La congruenza è una particolare trasformazione geometrica che non varia la forma e le dimensioni delle figure ma ne varia la posizione. Congruenza invarianti Forma Dimensione varianti Posizione Tutte le trasformazioni geometriche che, come la congruenza, hanno come invarianti la forma e le dimensioni delle figure prendono il nome di trasformazioni isometriche o isometrie.

5 Per verificare che due figure sono congruenti, basta spostarne una sull altra. Spostamenti di questo tipo sono detti movimenti rigidi delle figure e possono essere: Traslazioni Rotazioni Simmetrie

6 Possiamo considerare due diversi tipi di movimenti rigidi in grado di produrre isometrie: 1. Quelli che si compiono sul piano stesso dove giace la figura, cioè la traslazione e la rotazione, che vengono detti movimenti diretti. 2. Quelli che si compiono uscendo dal piano in cui giacciono le figure, cioè le simmetrie, che vengono detti movimenti inversi.

7 Consideriamo un segmento orientato, che indicheremo con u; esso ha una lunghezza precisa (modulo), una direzione e un verso di percorrenza. Un segmento di questo tipo si chiama vettore. u modulo verso direzione Dato un punto A e un vettore u, disegniamo il corrispondente A di A secondo il vettore u nel seguente modo: Con origine nel punto A disegniamo un segmento uguale, in modulo, direzione e verso, al vettore u; L estremo di questo segmento è il punto A, corrispondente di A. La traslazione è un movimento diretto individuato da un vettore che ne stabilisce modulo, direzione e verso di spostamento nel piano. A u A

8 La rotazione è un movimento diretto individuato da un punto fisso O, detto centro di rotazione, e da un angolo orientato che ne stabilisce l ampiezza e il verso di spostamento nel piano. Il punto A si dice corrispondente di A nella rotazione R. Data la rotazione R, individuata dal centro O e dall angolo α di ampiezza 90, proviamo ora a costruire la figura F, corrispondente di una figura F assegnata, secondo la rotazione R. Una rotazione stabilisce fra i punti del piano una corrispondenza biunivoca che dà origine a una isometria. Due figure ottenute per rotazione sono direttamente congruenti. A C F B 90 O C F A B

9 La simmetria assiale è un movimento inverso individuato da una retta a, detta asse della simmetria Sa. Data una figura F e un asse, proviamo a disegnare la figura F corrispondente di F nella simmetria assiale di asse a. Se proviamo a spostare con il mouse la figura F per sovrapporla alla figura F, ci accorgiamo che per farle coincidere perfettamente dobbiamo ribaltare la F, F ed F sono quindi inversamente congruenti. Possiamo allora dire che: Una simmetria assiale stabilisce fra i punti del piano una corrispondenza biunivoca che dà origine a una isometria. Due figure ottenute per simmetria assiale sono inversamente congruenti. A a D D F F C C B B A

10 Figura Nome Assi di simmetria Figura Nome Assi di simmetria Triangolo isoscele 1 Rettangolo 2 Triangolo equilatero 3 Quadrato 4 Trapezio isoscele 1 Rombo 2

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