() t. B = insieme di segnali. M = { s 1 (t),, s i (t),, s m (t) } 1 b 1 (t) = 0 ) 2 b 2 (t) = 0 ) Lo spazio dei segnali. Lo spazio dei segnali

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Ottavio Marchesi
6 anni fa
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1 Lo spazo e segnal Lo spazo e segnal Inroucao una rappresenazone veorale e segnal ella cosellazone M Serve a seplfcare proble n rcezone, ove nvece lavorare con le fore ona s (), è pù seplce lavorare con e veor. Proceeno:. Da segnal M s cosrusce una base oronorale B.. S lavora nello spazo e segnal S generao a B. 3. Ogn segnale S s può esprere coe cobnazone lneare e segnal B corrspone a un veore nuer real (coeffcen cobnazone lneare) Propreà ella base oronroale Cosruzone ella base B Daa la cosellazone M { s (),, s (),, s () } Cerchao una base B { b (),, b (),, b () } ( ) B nsee segnal. orogonal b () b() when. con energa unara b () 3. n nuero no e suffcene a poer scrvere ogn segnal M coe cobnazone lneare s () s b () s R Daa M, coe s cosrusce B? Per cosellazon seplc, non è ffcle rovare la base B In ogn caso, esse un algoro che consene sepre cosrure una base n oo sseaco: Algoro Gra-Sch Algoro Gra-Sch Algoro Gra-Sch M { s (),, s (),, s () } SEP Dao s (), cerchao l secono versore SEP Dao s () calcolao l pro versore efnao noralzzao b () s () Calcolao la prezone sul pro versore s s() b () efnao b () s () s b() b () b () ( se b () b () ) E( b ) Alla fne ell algoro, u b ugual a zero verranno elna noralzzao b () b () E( b ) ( se b () b () )

2 Algoro Gra-Sch Algoro Gra-Sch s s () b () S no che: b () s () s b() se b () (s () è proporzonale a b () ) b () e nessun nuovo versore vene rovao f b () (s () non è proporzonale a b () ) b () e s oene un nuovo versore Dao s () Calcolao la proezone su u versor cosru fno a quel oeno s s () b () o efnao 3 b () s () s b () SEP b () noralzzao b () ( se b () ) E( b ) b () Algoro Gra-Sch Algoro Gra-Sch s s () b () o S no che: b () s () s b () f b () (s () è oenble coe cobnazone lneare e versor cosru fno a quel oeno ) b () e nessun nuovo versore vene rovao f b () (s () non è una cobnazone lneare) b () e s oene un nuovo versore SEP Fnale S cancellano u segnal b () S rnuerano u quell vers a zero b () S ha la base B { b (),, b (),, b () } ( ) Esepo Esepo Daa la cosellazone Daa la cosellazone ( f ulplo nero /) M { s () + P (), s () P ()} M { s () + P ()cos( π f ), s () P ()cos( π f )} S cosrusca una base oronorale B. S cosrusca una base oronorale B. B b () + P () B b() + P ()cos( π f) S ulzz la propreà x sn x cos xx + 4

3 Eserczo Cosruzone ella base Daa la cosellazone M { s ( ) + AP ( )cos( π f ), s ( ) + AP ( )sn( π f )} Cosrure una base oronorale B. B b() P()cos( π f), b() P()sn( π f) Per cosellazon seplc, è spesso possble cosrure una base oronorale B per spezone rea, senza over rcorrere a Gra Sch. È suffcene rovare segnal che sosfano la efnzone base oronorale. orogonal. con energa unara 3. In nuero no e suffcene a poer scrvere ogn segnale M coe cobnazone lneare Inolre la base B non è unca (uava, aa una cosellazone M, ue le possbl bas B hanno la sessa ensone ) Eserczo Eserczo Daa la cosellazone M { s ( ), s ( ) + P ( )} Cosrure una base oronorale B. Daa la cosellazone M { s () + AP ()cos( π f ), s () + AP ()sn( π f ), s () AP ()cos( π f ), s () AP ()sn( π f )} 3 4 Cosrure una base oronorale B. B b () + P () B b() P()cos( π f), b() P()sn( π f) Lo spazo e segnal S Eserczo Daa la base B B { b (),, b (),, b () } lo spazo e segnal S generao a B è S a() ab() a R (nsee u segnal che s possono scrvere coe cobnazone lneare e versor B) Daa la base B B b () + P () Cos è lo spazo e segnal S? S nsee u segnal cosan nell nervallo [,[ 3

4 Eserczo Eserczo Daa la base B B b() + P ()cos ( π f) Cos è lo spazo e segnal S? Daa la base B B b() P()cos( π f), b() P()sn( π f) Cos è lo spazo e segnal S? S nsee u segnal po coseno con frequenza f, fase nzale nulla, apezza qualsas e uraa [,[ S nsee u segnal snusoal frequenza f con fase nzale qualsas, apezza qualsas e uraa [,[ Rcorano che ( ) ( ) Acos( π f ϑ) Acosϑ cos( π f) + Asnϑ sn( π f) Rappresenazone veorale Rappresenazone veorale Fssaa la base B, per ogn segnale a() S abbao a () ab () Il segnale a() corrspone qun n oo unco a un veore reale con coponen ( coeffcen a ella cobnazone lneare), e vceversa: a ( ) a ( a,..., a,..., a) scrura unca. Dal veore a al segnale a() a ( a,..., a,..., a ). Dal segnale a() al veore a a () a a() b() a ( a,..., a,..., a ) a () ab () Proezone sul versore b () Rappresenazone veorale ella cosellazone Rappresenazone veorale ella cosellazone Ceraene abbao M S Ogn segnale s () S corrspone n oo unco a un veore reale con coponen, e vceversa: s ( ) s ( s,..., s,... s ) Cosellazone M coe nsee segnal Cosellazone M coe nsee veor M { s (),, s (),, s () } M { s,, s,, s }. Dal veore s al segnale s () s ( s,..., s,..., s ). Dal segnale s () al veore s s () s s () b () s ( s,..., s,..., s ) s () s b () Proezone sul versore b () 4

5 Rappresenazone veorale ella cosellazone Rappresenazone veorale ella cosellazone Meoo alernavo, spesso possble: per spezone rea, senza calcolare esplcaene le proezon. Scrveno s ( ) s b( ) s b ( ) +... s b ( ) I segnal b () ella base sono no. Esplcano le espresson el segnale s (), spesso s resce a nvuare un nsee coeffcen s che sosfa l equazone. La soluzone è unca. Lo spazo S è soorfo allo spazo Eucleo R (nsee u veor con coponen real) Lo possao segnare coe uno spazo Caresano Se, S R e può essere segnao coe una lnea -D Se, S R e può essere segnao coe un pano -D If 3, S R 3 e può essere segnao coe uno spazo 3-D Rappresenazone veorale ella cosellazone Esepo La cosellazone M, nesa coe nsee veor, conce qun con un soonsee R Esepo cosellazone -D (PAM) (ovvero un nsee pun nello spazo Eucleo R ) Scrvereo M R Esepo Energa e segnal Esepo cosellazon -D Dao un segnale a() S La sua energa è aa alla ( ) ( ) E a a PSK QAM Daa la sua rappresenazone veorale a ( ) ( a,..., a,... a) è facle osrare che (enà Parseval) Ea ( ) a 5

6 Energa e segnal Energa ella cosellazone Infa, poché a () ab () Daa una cosellazone con { },...,,..., M s s s R s ( s,..., s,..., s ) E( a) a () [ a b ()] a b () a Dove abbao usao la propreà orogonalà b () b() se abbao: s Es ( ) L energa ea ella cosellazone è efna coe: Es Ps ( ) Es ( ) ove P(s ) è la probablà raseere s Energa ella cosellazone Energa per b nforazone Sequenze bnare nforazone: rano eal Veor bnar v H k equprobabl Il labelng è un appng uno-a-uno I segnal ella cosellazone ( ) Ps s M e: Hk M sono equprobabl L energa ella cosellazone è seplceene: Es Es ( ) Energa ea necessara per raseere un b nforazone eane M ES Eb k Esepo Esepo Daa la cosellazone Dsegnare la cosellazone. M { s () + P (), s () P ()} Daa la cosellazone M { s() + P()cos( π f), s() + P()sn( π f), s () P ()cos( π f ), s () P ()sn( π f )} 3 4 Dsegnare la cosellazone Calcolare E s e E b 6

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