SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

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1 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. /32 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza Lucidi tratti dal libro C. Bonivento, C. Melchiorri, R. Zanasi: Sistemi di Controllo Digitale Capitolo 4: Sistemi a tempo discreto Si ringraziano gli autori

2 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 2/32 Sistemi a tempo discreto Sistemi a tempo continuo risposta dallo stato zero = integrale di convoluzione di ingresso e risposta impulsiva x(t) X(s) g(t) G(s) c(t) = t 0 C(s) = G(s) X(s) g(τ)x(t τ) dτ = t 0 g(t τ)x(τ) dτ Sistemi a tempo discreto risposta dallo stato zero = sommatoria di convoluzione di ingresso e sequenza ponderatrice k k m k = d i e k i = e i d k i e k E(z) d k D(z) i=0 i=0 M(z) = D(z) E(z) La relazione in-out è comunque un prodotto algebrico nel dominio della trasformata

3 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/32 Sommatoria di convoluzione x(t) x (t) y(t) G(s) δ T y (t) Poichè in ingresso c è una sequenza (pesata) di impulsi di Dirac x (t) = x(kt)δ(t kt) k=0 la risposta y(t) del sistema lineare G(s) è la somma delle risposte ai singoli impulsi y(t) = g(t)x(0) 0 t < T g(t)x(0) + g(t T)x(T) T t < 2T g(t)x(0) + g(t T)x(T) + g(t 2T)x(2T).... g(t)x(0) + g(t T)x(T) g(t kt)x(kt) δ T

4 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 4/32 Sommatoria di convoluzione 2 Poichè g(t) = 0, t < 0, si ha y(t) = g(t)x(0) + g(t T)x(T) g(t kt)x(kt) k = g(t ht)x(ht) 0 t < (k + )T h=0 Calcolando il valore di y(t) negli istanti di campionamento t = kt, k = 0,, 2,..., e tenendo conto che g(kt ht) = 0, h > k, si ha y(kt) = k g(kt ht)x(ht) = h=0 g(kt ht)x(ht) = g(kt) x(kt) h=0 Se la G(s) ha grado relativo n m =, allora la risposta del sistema alla successione di impulsi x (t) è discontinua negli istanti t = 0, T,...,kT e il valore fornito per t = kt è da intendersi come y(kt + ) Se invece n m 2, allora la risposta y(t) è continua

5 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 5/32 Funzione di trasferimento discreta Dalla Z-trasformata della sequenza in uscita y(kt) = g(kt ht)x(ht) si ha Y (z) = y(kt)z k = g((k h)t)x(ht)z k = k=0 h=0 m=0 h=0 k=0 h=0 g(mt)z m x(ht)z h = G(z)X(z) da cui G(z) = Y (Z). Analogamente al caso continuo, la funzione di trasferimento G(z) X(Z) è anche quello che si ottiene in uscita per un impulso discreto (X(z) = ) in ingresso X(z) G(z) Y (z) X(z) = Z[x(kT)] = Y (z) = G(z)

6 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 6/32 Funzione di trasferimento discreta Esempi con integratori ) G (s) = s G (z) = z z G 2 (s) = s 2 G 2 (z) = Tz (z ) 2 La risposta continua di G (s) al gradino X (s) = s è G (s)x (s) = s 2 La risposta continua di G 2 (s) all impulso X 0 (s) = è G 2 (s)x 0 (s) = G 2 (s) = s 2 (identica alla precedente) La risposta campionata Y (z) di G (s) al gradino campionato X (z) = z z Y (z) = G (z)x (z) = z 2 (z ) 2 è diversa dalla risposta campionata Y 2 (z) di G 2 (s) all impulso discreto X 0 (z) = Y 2 (z) = G 2 (z)x 0 (z) = G 2 (z) = Tz (z ) 2

7 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 7/32 Funzione di trasferimento discreta Altro esempio 2) G(s) = s(s + ) = s s + La sua risposta impulsiva e i relativi campioni a passo T sono g(t) = L [G(s)] = e t g(kt) = e kt k = 0,,... per cui la funzione di trasferimento discreta è G(z) = z k k=0 e kt z k = k=0 z z z z e T = z( e T ) (z )(z e T ) che è anche la risposta campionata all impulso discreto X 0 (z) = Y (z) = G(z)X 0 (z) = G(z) La G(z) ha lo stesso numero di poli di G(s) ma presenta uno zero aggiuntivo (nell origine) dovuto al campionamento!

8 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 8/32 Funzione di trasferimento discreta Presenza di uno ZOH Si consideri una G(s) in cascata a un organo di tenuta di ordine zero con fdt H 0 (s) La risposta campionata ad una sequenza discreta in ingresso con passo di campionamento T avente trasformata X(z) si calcola come [ e st Y (z) = Z[H 0 (s)g(s)]x(z) = Z s = ( [ ] G(s) Z s [ G(s) = ( z )Z s [ st G(s) Z e s ] X(z) ]) X(z) ] G(s) X(z) per cui la funzione di trasferimento discreta associata a G(s)H 0 (s) è [GH 0 ](z) = GH 0 (z) = Y (z) X(z) = z z che porta ad una procedura sistematica di calcolo [ ] G(s) Z s

9 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 9/32 Funzione di trasferimento discreta Esempi con ZOH ) Si riconsideri nell esempio ) il caso di G (s). In presenza dell organo di tenuta di ordine zero, la funzione di trasferimento discreta si calcola come segue G (s) s = [ ] s 2 Z G (s) s = Tz (z ) 2 G H 0 (z) = z z 2 ) Si riconsideri la G(s) dell esempio 2). La procedura fornisce [ ] G(s) Z s [ = Z s 2 (s + ) da cui la funzione di trasferimento è GH 0 (z) = z z [ ] G(s) Z s ] [ = Z s 2 s + ] s + [ ] G (s) Z s = Tz (z ) 2 z z + = T (z ) z z e T = T (z ) + z z e T = (T + e T )z (Te T + e T ) (z )(z e T ) con gli stessi poli del caso senza ZOH, ancora con uno zero aggiuntivo ma spostato Nota: in generale, per la GH 0 (z) si otterranno sempre n poli, legati a quelli di G(s) dal mapping z = e st, e n oppure n zeri, quale che sia il loro numero in G(s)

10 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 0/32 Risposta a tempo discreto Esempio di confronto Siano G(s) = + s, x(t) = e t, T =. Consideriamo tre situazioni: (a) x(t) G(s) y(t) (b) x(t) x (t) y(t) G(s) (c) x(t) y(t) H 0 (s) G(s)

11 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. /32 Esempio di confronto (cont) Caso (a) campioni della risposta a tempo continuo Y a (s) = G(s)X(s) = s + s + = (s + ) 2 y a (kt) = ( L [Y a (s)] ) t=kt = ( t e t) t=kt = kt e kt (con T = ) (a) -- Risposta al segnale x(t)

12 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 2/32 Esempio di confronto (cont) Caso (b) campioni della risposta alla sequenza di campioni dell ingresso y b (t) = g(t)x(0) 0 t < T g(t)x(0) + g(t T)x(T) T t < 2T. g(t)x(0) + g(t T)x(T) g(t kt)x(kt) kt t < (k + )T In questo caso, g(t) = e t (anti-trasformata di G(s)) e quindi y b (t) = e t 0 t < T e t + e (t T) e T = 2e t T t < 2T. e t e (t kt) e kt = (k + )e t kt t < (k + )T y b (kt) = (k + )e kt (con T = )

13 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/32 Esempio di confronto (cont) Caso (b) (b) -- Risposta al segnale x* o o o 0. o 0o grado relativo di G(s) pari a n m = discontinuità negli istanti t = kt y b (kt) = y b (kt + )

14 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 4/32 Esempio di confronto (cont) Caso (c) campioni della risposta a sequenza di campioni dell ingresso tenuta con ZOH [ e st Y c (z) = G H0 (z)x(z) = Z s s + ]Z [ e t] = e T e T e T z ( e T z ) 2 con T = y c (kt) =.78 k e k, k = 0,, 2,..., (c) -- Risposta al segnale x l uscita del processo è continua in questo caso

15 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 5/32 Funzione di risposta armonica discreta Data una G(z), la risposta armonica discreta è definita ponendo z = e jωt G(e jωt ) definita per 0 ω π T = ω s 2 essendo periodica (nella pulsazione ω) per multipli di ω s G(e j(ω+kω s)t ) = G(e jωt ) e, per ω 0, con valori complessi coniugati rispetto al caso ω 0 G(e j( ω)t ) = G (e jωt ) Nota: la risposta armonica discreta è una funzione trascendente in ω non è possibile tracciarne i diagrammi di Bode con le regole del caso continuo si usa una particolare trasformazione conforme (dal piano z al piano w) per riottenere una rappresentazione razionale

16 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 6/32 Significato fisico della risposta armonica discreta E analogo al caso continuo: dato un sistema G(z) asintoticamente stabile, la risposta a regime permanente ai campioni di un ingresso sinusoidale sin(ωkt) di ampiezza unitaria è ancora una sinusoide A sin(ωkt + ϕ), con ampiezza A e ϕ fase A = G(e jωt ) ϕ = Arg[G(e jωt )] Infatti, dalla trasformata del segnale sinusoidale si ha z sinωt X(z) = Z[sin(ωt)] = z 2 (2 cosωt)z + = ( ) z 2j z e jωt z z e jωt Y (z) = G(z) X(z) = Y 0 (z) + G(ejωT ) 2j ( e jϕ z z e jωt e jϕ z z e jωt = termine transitorio Y 0 (z) che si annulla asintoticamente, dato dai poli stabili di G(z) + termine permanente sinusoidale di ampiezza A = G(e jωt ) e fase ϕ = Arg[G(e jωt )] )

17 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 7/32 Composizione di schemi a blocchi Caso ) x(t) x (t) y(t) G(s) X(z) y (t) Campionatore fittizio δ T Y (z) Y (s) = G(s)X (s) Y (s) = [G(s)X (s)] = G(s) X (s) (teorema della convoluzione) Y (z) = G(z)X(z) Caso 2) x(t) X(s) G(s) y(t) Y (s) Y (s) = G(s)X(s) Y (s) = [G(s)X(s)] (non si definisce la X(z) mancando il suo campionamento) Y (z) = Z[G(s)X(s)] = GX(z) G(z) X(z) (del caso precedente)

18 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 8/32 Blocchi in cascata con/senza campionatore intermedio x(t) x (t) u(t) u (t) y(t) δ T s+a G(s) δ T s+b H(s) (a) x(t) x (t) y(t) δ T s+a s+b (b) G(s) H(s) Caso (a) Y (z) X(z) [ ] [ ] = G(z) H(z) = Z Z s + a s + b Caso (b) Y (z) X(z) [ = Z[G(s) H(s)] = Z s + a ] s + b

19 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 9/32 Esempio Sia a = b = 0 a p. 8 doppio integratore con/senza campionamento intermedio Nel caso (a) [ ] [ ] Y (z) X(z) = Z Z s s = ( ) 2 z z Nel caso (b) [ ] Y (z) X(z) = Z s 2 = Tz (z ) 2 Se, nel caso (b), si aggiunge un organo ZOH in ingresso (dopo il campionatore), si ha Y (z) X(z) = z z [ ] Z s 3 =... tabelle... = z z T 2 z(z + ) = T 2 (z + ) 2(z ) 3 2(z ) 2 Ritroviamo ora quest ultimo risultato facendo riferimento a un caso di natura cinematica e alle relative equazioni alle differenze

20 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 20/32 Interpretazione cinematica dell esempio Nel caso (b) con ZOH, sia l uscita y del secondo integratore una posizione p(t), l uscita del primo integratore una velocità v(t) e l ingresso x un accelerazione di comando a(t) che varia solo negli istanti di campionamento t = kt. Posizione e velocità iniziali sono p(0) = p 0 e v(0) = v 0. Grazie allo ZOH, si ha in ingresso al primo integratore a(t) = a(kt) = a k t [kt, (k + )T) Si avrà v k+ = v((k + )T) = v k + p k+ = p((k + )T) = p k + (k+)t kt (k+)t kt a(t)dt = v k + a k T da cui, tenendo conto del teorema della traslazione in avanti v(t)dt = p k + v k T + 2 a kt 2 Z[V (z) v 0 ] = V (z) + A(z)T V (z) = T z A(z) + zv 0 z Z[P(z) p 0 ] = P(z)+V (z)t+ 2 A(z)T 2 P(z) = T 2 (z + ) 2(z ) 2 A(z)+zv 0T + p 0 z(z )) (z ) 2

21 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 2/32 Composizione di blocchi con retroazione R(s) E(s) E (s) G(s) C(s) H(s) E(s) = R(s) H(s) C(s) C(s) = G(s) E (s) E(s) = R(s) H(s) G(s) E (s) campionando C fuori dall anello { E (s) = R (s) GH (s) E (s) C (s) = G (s) E (s) C (s) = G (s) R (s) + GH (s) C(z) = G(z) R(z) + GH(z) La funzione di trasferimento discreta del sistema in retroazione è C(z) R(z) = G(z) + GH(z)

22 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 22/32 Composizione di blocchi con retroazione 2 Alcune configurazioni tipiche di sistemi di controllo discreti in retroazione R(s) C(s) G(s) C(z) H(s) C(z) = G(z) R(z) + GH(z) R(s) C(s) G(s) C(z) H(s) C(z) = G(z) R(z) + G(z)H(z)

23 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 23/32 Composizione di blocchi con retroazione 3 R(s) G (s) C(s) G 2 (s) C(z) H(s) C(z) = G (z) G 2 (z) R(z) + G (z) G 2 H(z) R(s) G (s) C(s) G 2 (s) C(z) H(s) C(z) = G 2(z) G R(z) + G G 2 H(z)

24 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 24/32 Composizione di blocchi con retroazione 4 R(s) C(s) G(s) C(z) H(s) C(z) = GR(z) + GH(z) Conclusioni: in tutti gli esempi precedenti, è sempre possibile calcolare l espressione dell uscita C(z) in termini di Z-trasformata. negli ultimi due esempi, non si può definire una funzione di trasferimento discreta C(z)/R(z) (in assenza del campionamento in ingresso su R(s) a monte o a valle dell organo di confronto)

25 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 25/32 Z-Trasformata modificata Serve a continuare a operare nel dominio della Z-trasformata anche quando è presente un ritardo finito τ < T (mod T) nel processo, o quando questo ritardo viene introdotto dall elaborazione della legge di controllo digitale X(s) X (s) X(z) Y (s) Y (s) G(s) e sτ G(z, m) (a) Y (z, m) X(z) Y (z, m) G(z, m) Si introduce il parametro m = τ T (b) con 0 < m ( τ = ( m)t )

26 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 26/32 Z-Trasformata modificata 2 L uscita y (t) ritardata di τ = ( m)t al tempo t = kt è uguale all uscita non ritardata y(t) all istante t = kt ( m)t, k =, 2, 3,... y(t) y (t) mt τ = ( m)t mt T t

27 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 27/32 Z-Trasformata modificata 3 Ricordando che [ ] G (s) = L[g (t)] = L g(kt)δ(t kt) si definisce la funzione di trasferimento discreta modificata G(z, m) come k=0 Z m [G(s)] = G(z, m) = G (s, m) s= T ln z = L[g (t ( m)t)] s= T ln z = L[g (t T + mt)] s= T ln z = z L[g (t + mt)] s= T ln z Per m 0 si ha quindi che G(z) = lim m 0 z G(z, m)

28 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 28/32 Z-Trasformata modificata 4 Vale la proprietà Y (z, m) = G(z, m)x(z) = y 0 (mt)z + y (mt)z 2 + dove il valore y k (mt) vale Esempio: f(t) = e at y k (mt) = y((k + m)t) Z m [e a t ] = Z [ e a(t τ) h(t τ) ] = e a(k T τ) h(k T τ) z k ( τ = ( m)t ) k=0 = e a m T z ( + e a T z + e 2a T z ) + = e a m T z e a T z

29 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 29/32 Z-Trasformata modificata 5 Verifica grafica su una generica f(t), con T = s, τ = 0.8 s (quindi, m = 0.2).6 (a) f(t) e campioni.6 (b) f(t-d) e campioni (c) f(t), f(t-d) e campioni.6 (d) f(t) e campioni tra istanti di campionamento

30 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 30/32 Esempio di uso della Z-Trasformata modificata H 0 (s) G(s) R(z) E(z).5 U(z) e s T e 0.4 s C(s) T = T = s s + C(z) C(z) R(z) =.5 H 0G(z) +.5 H T = 0 G(z) [ e s T e 0.4 s ] [ ] e H 0 G(z) = Z = ( z 0.4 s )Z s s + s(s + ) [ ] = ( z )Z m m = τ s(s + ) T = 0.6 [ z = ( z ) z e m T z ] e T z = z ( z ) z = C(z) U(z) c n = c n u n u n 2

31 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/32 Calcolo dell uscita tra istanti di campionamento Esempio R(z) C(z, m) P(z) H 0 (s) G(s) e τ s c(t τ) C(z) Con P(z) =.5, G(s) = s + e T = s, si ha C(z, m) R(z) = P(z) H 0G(z, m) + P(z) H 0 G(z) H 0 G(z, m) = z [ ( e m T ) + (e m T e T )z ] e T z H 0 G(z) = ( e T )z e T z C(z, m) R(z) =.5 z [ ( e m T ) + (e m T e T )z ] z

32 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 32/32 Calcolo dell uscita tra istanti di campionamento 2 Simulazione con riferimento in ingresso pari a un gradino unitario R(z) = z C(z, m) =.5 z [ ( e m T ) + (e m T e T )z ] 0.42 z 0.58 z 2 C(z, m) =.5( e m T )z +.5(0.58 e m T )z Uscita del sistema e uscita ritardata (a) (b) (c) t (s) (a) τ = 0 (b) τ = 0.3 s (c) τ = 0.7 s