determina il valore del parametro corrispondente alla retta del fascio che individua sugli assi cartesiani un triangolo di area pari a 4.

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1 Compito di Matematica / Classe 3Dsa / 20-dicembre-17 / Alunno: ES. 1. Studia i fasci di rette dati dalle equazioni: α: kx + y + k 1 = 0, con k R; β: h + 1 x + 1 h y + h 1 = 0, con h R e determina l equazione della retta comune ai due fasci. ES. 2. Dopo aver determinato il centro C del fascio proprio di equazione x + hy 4 h + 1 = 0, h R determina il valore del parametro corrispondente alla retta del fascio che individua sugli assi cartesiani un triangolo di area pari a 4. ES. 3. Studia i fasci di rette dati dalle equazioni: α: k + 1 x + 2 k y k 4 = 0, con k R; β: h 1 x + h + 2 y 7h 2 = 0, con h R e determina l equazione della retta comune ai due fasci. ES. 4. Nel fascio di rette di equazione 3 k x k y 10 + k = 0, con k R determina la retta s passante per l origine e la retta r ad essa perpendicolare.

2 SVOLGIMENTO ESERCIZIO 1. Studia i fasci di rette dati dalle equazioni: α: kx + y + k 1 = 0, con k R; β: h + 1 x + 1 h y + h 1 = 0, con h R e determina l equazione della retta comune ai due fasci. Studio del fascio α kx + y + k 1 = 0 Riordino l equazione raggruppando in base al parametro: Le due generatrici sono: k(x + 1) + (y 1) = 0 x + 1 = 0 (retta mancante) y 1 = 0 (retta per k = 0) La prima generatrice è una retta verticale, mentre la seconda è una retta orizzontale. Non essendo rette parallele, il fascio è proprio. Per trovare il centro del fascio, studio l intersezione tra le due generatrici: Il centro del fascio è il punto C = ( 1; 1). x + 1 = 0 y 1 = 0 x = 1 y = 1 Per determinare il verso di rotazione del fascio, scrivo l espressione del coefficiente angolare in funzione del parametro: m = a b m k = k Per capire il verso di rotazione assegno valori a piacere a k e calcolo i corrispondenti coefficienti angolari: k m(k) Si vede che al crescere di k il valore di m decresce, quindi la retta del fascio ruota in verso orario. Studio del fascio β h + 1 x + 1 h y + h 1 = 0

3 Riordino l equazione raggruppando in base al parametro: Le due generatrici sono: h x y (x + y 1) = 0 x y + 1 = 0 (retta mancante) x + y 1 = 0 (retta per h = 0) Le due generatrici non sono parallele, in quanto hanno coefficienti angolari diversi, quindi il fascio è proprio. Per trovare il centro del fascio, studio l intersezione tra le due generatrici: Sommando le due equazioni ottengo: Sottraendo le due equazioni ottengo: Il centro del fascio è il punto D = (0; 1). x y + 1 = 0 x + y 1 = 0 2x = 0 x = 0 2y 2 = 0 y = 1 Per determinare il verso di rotazione del fascio, scrivo l espressione del coefficiente angolare in funzione del parametro: m = a b m h = h h posso scriverla meglio eliminando il segno meno davanti alla frazione e cambiando il segno del denominatore: m h = h + 1 h 1 Per capire il verso di rotazione assegno valori a piacere ad h e calcolo i corrispondenti coefficienti angolari: h m(h) 0-1 non esiste 3 2 Si vede che al crescere di h il valore di m decresce (passa da 0 a -1, poi salta, poi passa da 3 a 2), quindi la retta del fascio ruota in verso orario. Retta in comune tra i fasci α e β

4 La retta in comune tra i due fasci deve passare per entrambi i centri. Per trovare la sua equazione posso ad esempio scrivere l equazione del fascio α e imporre che passi per il centro del fascio β: kx + y + k 1 = 0 sostituisco le coordinate del centro del fascio β, D = (0; 1): e quindi: 1 + k 1 = 0 k = 0 L equazione della retta comune ai due fasci si trova riscrivendo il fascio α con k = 0: y 1 = 0

5 SVOLGIMENTO ESERCIZIO 2. Dopo aver determinato il centro C del fascio proprio di equazione x + hy 4 h + 1 = 0, h R determina il valore del parametro corrispondente alla retta del fascio che individua sugli assi cartesiani un triangolo di area pari a 4. Per trovare il centro del fascio trovo due rette qualsiasi appartenenti al fascio e determino il loro punto di intersezione. Fisso quindi due valori di h e scrivo le corrispondenti equazioni: h = 0 x 4 = 0 h = 1 x + y 8 = 0 Trovo il punto di intersezione tra queste due rette: Il centro del fascio è quindi il punto C = (4; 4). x 4 = 0 x + y 8 = 0 x = 4 y = 4 Per trovare i lati del triangolo formato dalla retta del fascio con i lati, trovo i punti di intersezione con gli assi: Intersezione con l asse y: x + hy 4 h + 1 = 0 x = 0 hy 4 h + 1 = 0 hy = 4 h + 1 y = 4 h + 1 h questa espressione rappresenta l ordinata del punto di intersezione fra la retta del fascio con l asse y. Dipende da h perché il punto è diverso per ogni retta del fascio. La lunghezza del lato del triangolo sull asse y è il valore assoluto di questo valore: Intersezione con l asse x: a = 4 h + 1 h x + hy 4 h + 1 = 0 y = 0

6 x 4 h + 1 = 0 x = 4 h + 1 questa espressione rappresenta l ascissa del punto di intersezione fra la retta del fascio con l asse x. Dipende da h perché il punto è diverso per ogni retta del fascio. La lunghezza del lato del triangolo sull asse x è il valore assoluto di questo valore: b = 4 h + 1 L area del triangolo individuato con gli assi è data da: A = a b 2 = h + 1 h 4 h + 1 Per trovare la retta del fascio che individua un triangolo di area 4 devo risolvere l equazione: h + 1 h 4 h + 1 = 4 che posso scrivere così: 16 h + 1 h h + 1 = 8 h + 1 N = 1 h 2 2 h + 1 N = h 2h N + 4h h + 2 = 0 Per eliminare il valore assoluto, distinguo i casi di h positivo e negativo: Per h 0 ho: 2h N + 4h h + 2 = 0 2h N + 3h + 2 = 0 Δ = 9 16 < 0 l equazione è impossibile. Per h < 0 ho: 2h N + 4h + h + 2 = 0 2h N + 5h + 2 = 0 Δ = = 9 l equazione ha due soluzioni:

7 h = 5 ± 3 = Sul file di GeoGebra puoi verificare che assegnando questi valori al parametro si trovano rettangoli di area 4.

8 SVOLGIMENTO ESERCIZIO 3. Studia i fasci di rette dati dalle equazioni: α: k + 1 x + 2 k y k 4 = 0, con k R; β: h 1 x + h + 2 y 7h 2 = 0, con h R e determina l equazione della retta comune ai due fasci. Studio del fascio α k + 1 x + 2 k y k 4 = 0 Riordino l equazione raggruppando in base al parametro: Le due generatrici sono: k(x y 1) + (x + 2y 4) = 0 x y 1 = 0 (retta mancante) x + 2y 4 = 0 (retta per k = 0) Le due generatrici non sono parallele, in quanto hanno coefficienti angolari diversi, quindi il fascio è proprio. Per trovare il centro del fascio, studio l intersezione tra le due generatrici: sottraendo le due equazioni ottengo: x y 1 = 0 x + 2y 4 = 0 3y 3 = 0 e quindi: y = 1 moltiplicando la prima equazione per 2 e sommando ottengo: e quindi: Il centro del fascio è quindi il punto C = (2; 1). 3x 6 = 0 x = 2 Per determinare il verso di rotazione del fascio, scrivo l espressione del coefficiente angolare in funzione del parametro: m = a b m k = k k

9 posso scriverla meglio eliminando il segno meno davanti alla frazione e cambiando il segno del denominatore: m k = k + 1 k 2 Per capire il verso di rotazione assegno valori a piacere a k e calcolo i corrispondenti coefficienti angolari: k m(k) 0-1/2-2 non esiste Si vede che al crescere di k il valore di m decresce, quindi la retta del fascio ruota in verso orario. Studio del fascio β h 1 x + h + 2 y 7h 2 = 0 Riordino l equazione raggruppando in base al parametro: Le due generatrici sono: h x + y 7 + ( x + 2y 2) = 0 x + y 7 = 0 (retta mancante) x + 2y 2 = 0 (retta per h = 0) Le due generatrici non sono parallele, in quanto hanno coefficienti angolari diversi, quindi il fascio è proprio. Per trovare il centro del fascio, studio l intersezione tra le due generatrici: Sommando le due equazioni ottengo: x + y 7 = 0 x + 2y 2 = 0 3y 9 = 0 y = 3 Moltiplicando la prima equazione per 2 e sottraendo ottengo: Il centro del fascio è quindi il punto D = (4; 3). 3x 12 = 0 x = 4 Per determinare il verso di rotazione del fascio, scrivo l espressione del coefficiente angolare in funzione del parametro: m = a b m h = h 1 h + 2 posso scriverla meglio eliminando il segno meno davanti alla frazione e cambiando il segno del numeratore:

10 m h = 1 h h + 2 Per capire il verso di rotazione assegno valori a piacere ad h e calcolo i corrispondenti coefficienti angolari: h m(h) 0-1/4-1/2 Si vede che al crescere di h il valore di m decresce, quindi la retta del fascio ruota in verso orario. Retta in comune tra i fasci α e β La retta in comune tra i due fasci deve passare per entrambi i centri. Per trovare la sua equazione posso ad esempio scrivere l equazione del fascio α e imporre che passi per il centro del fascio β: k + 1 x + 2 k y k 4 = 0 sostituisco le coordinate del centro del fascio β, D = (4; 3): l equazione è impossibile (non ha soluzione). k k 3 k 4 = 0 4k k k 4 = 0 6 = 0 Significa che la retta in comune tra i due fasci è la retta mancante del fascio α (quella che non si ottiene per nessun valore di k) e quindi: x y 1 = 0 nel file di GeoGebra questa retta è disegnata in verde.

11 SVOLGIMENTO ESERCIZIO 4. Nel fascio di rette di equazione 3 k x k y 10 + k = 0, con k R determina la retta s passante per l origine e la retta r ad essa perpendicolare. Per trovare il centro del fascio trovo due rette qualsiasi appartenenti al fascio e determino il loro punto di intersezione. Fisso quindi due valori di h e scrivo le corrispondenti equazioni: k = 0 3x + y 10 = 0 k = 3 7y 7 = 0 Trovo il punto di intersezione tra queste due rette: dalla seconda trovo subito: sostituendo nella prima trovo: Il centro del fascio è quindi il punto C = (3; 1). 3x + y 10 = 0 7y 7 = 0 y = 1 3x 9 = 0 x = 3 Per trovare la retta s passante per l origine, impongo che il termine noto dell equazione del fascio: l equazione della retta è quindi: 10 + k = 0 k = x y = 0 7x + 21y = 0 s: x 3y = 0 Per trovare la retta del fascio perpendicolare ad s, trovo il coefficiente angolare di s: m = a b = 7 21 = 1 3 il coefficiente angolare della retta r perpendicolare ad s è: m U = 1 m = 3

12 Il coefficiente angolare della generica retta del fascio è: m k = 3 k 1 + 2k = k k cerco la retta del fascio con coefficiente angolare uguale a -3: la retta è quindi: k k = 3 k 3 = 3(1 + 2k) k 3 = 3 6k 7k = 0 k = 0 r: 3x + y 10 = 0