FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale
|
|
- Alessandra Sasso
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al più un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : = 1 associo il suo inverso). (ad un numero reale 4 2 2/3... e... 0 = 1/ 1/4 1/ 2 3/2... 1/e...? c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 1
2 Def. L insieme degli X a cui f associa uno e un solo elemento Y è detto dominio di f e si indica con dom(f). Si ha dom(f) X e si scrive: f : dom(f) X Y. dom(f) X Y N.B. dom(f) è l insieme degli X per i quali la corrispondente sta in Y. Es. f() = 1/ con X = Y = R. Se 0 = 1/ R 1 MA R, QUINDI dom(f) = R\{0} = (,0) (0,+ ). 0 Oss. dom(f), f associa ad uno e un solo elemento Y. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 2
3 Immagine Def. L unico elemento Y associato ad un elemento dom(f) si dice immagine di attraverso f e si scrive = f() (oppure f : = f()). im(f) X dom(f) Y = f() Def. Dato A dom(f), l insieme B = { Y : A : = f()} è detto immagine di A attraverso f e si può scrivere B = f(a). Def. L insieme im(f) = { Y : dom(f) : = f()} è detto immagine di f. Si ha l inclusione: im(f) Y. Es. f() = 1/ con X = Y = R. = 1/4 è l immagine di = 4 mediante f. L insieme immagine è: im(f) = R\{0}. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 3
4 Def. L insieme G(f) = {(,) dom(f), e = f() im(f)} X Y è detto grafico di f. Es. f() = 1/ con X = Y = R. X Y = R R = R 2 = piano cartesiano. G(f) = {(,) R 2 : = 1/} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 4
5 Def. Una funzione si dice reale se Y = R. Def. Una funzione si dice a variabile reale se X = R. Il grafico di una funzione reale a variabile reale è l insieme dei punti (,) del piano cartesiano tali che = f(). Es. f : R R: f() = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 5
6 Esempi di grafici A sinistra è rappresentato il grafico di una funzione = f(): ad una corrisponde un solo punto del grafico e quindi una ed una sola = f() = f() Il grafico a destra non può rappresentare una funzione = f(), in quanto esistono delle a cui corrispondono 2 o 3 punti del grafico e quindi 2 o 3 differenti, e ciò contraddice la definizione di funzione f : = f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 6
7 Controimmagine Def. Sia Y, la controimmagine di attraverso f è l insieme f 1 () = { dom(f) : f() = } dom(f). Es. Considerando la funzione di prima f() = 1, la controimmagine del valore = 3 è f 1 (3) = { R\{0} : 1/ = 3} = {1/3} La controimmagine di = 0 è f 1 (0) = { R\{0} : 1/ = 0} = Non c è alcun valore reale tale che 1/ = 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 7
8 Es. f : R R, f() = 2, dom(f) = R, im(f) = { R : 0} = [0,+ ).? f 1 (4) 01 4 = f() = f 1 (4) = { R : 2 = 4} = { 2,2} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 8
9 f suriettiva Def. Una funzione si dice suriettiva se im(f) = Y, ovvero se ogni elemento di Y ha per controimmagine un insieme non vuoto, ovvero ogni elemento di Y è l immagine di almeno un elemento di dom(f). Esempi 01 = f() 01 = f() SURIETTIVA: im(f) = Y = R 1 01 NON SURIETTIVA: im(f) = R + {0}, Y = R c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 9
10 f iniettiva Def. Una funzione si dice iniettiva se ogni elemento di im(f) è immagine al più di un elemento di dom(f), o equivalentemente se 1, 2 dom(f), 1 2 f( 1 ) f( 2 ). Esempi = f() = f() INIETTIVA: f 1 ( 1 ) = { 1 } NON INIETTIVA: f 1 ( 1 ) = { 1, 2, 3 }, o f( 1 ) = f( 2 ) = f( 3 ) = 1 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 10
11 f biettiva Def. Una funzione f si dice biunivoca o biettiva se è sia iniettiva che surettiva, ovvero ogni elemento Y è immagine di uno e uno solo elemento dom(f). Osservazione: Sia D = dom(f) R e Y = R. Se invece di considerare f : D R, consideriamo f : D im(f), automaticamente abbiamo f suriettiva (facciamo coincidere il codominio con im(f)). Per definizione di im(f), ad ogni elemento im(f) corrisponde almeno un elemento D : = f(). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 11
12 Funzione inversa Sia D = dom(f) R. Considero una funzione f : D im(f) (quindi suriettiva). Def. Se una funzione f è iniettiva sul suo dominio, possiamo costruire una funzione che ad ogni elemento im(f) associa l unico elemento dell insieme controimmagine. = f() f f 1 = f() 2 1 = f( 1 ) 1 2 = f 1 ( 2 ) Tale funzione è detta funzione inversa di f, viene indicata con f 1 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 12
13 Funzione inversa dom(f 1 ) = im(f), Grafico della funzione inversa 01 = im(f 1 ) = dom(f) = im(f) = f() im(f 1 ) = f 1 () 01 dom(f) dom(f 1 ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 13
14 01 = = im(f) = f() dom(f) = f() NON è iniettiva e NON è invertibile, ovvero la curva a destra non è il grafico di alcuna funzione, ad una corrisponde più di una c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 14
15 = = im(f) = f() dom(f) 1 f() NON è iniettiva e NON è invertibile, ovvero la curva a destra non è il grafico di alcuna funzione, ad una corrisponde più di una c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 15
16 Quindi: f : D R è invertibile se e solo se è suriettiva e iniettiva. f : D im(f) è invertibile se e solo se è iniettiva (è già suriettiva su im NOTA: quando analizzeremo l invertibilità, considereremo sempre f : D im(f) Esempio: f : R im(f), f() = 3 NON è invertibile sul suo dominio; (dom(f) = R, im(f) = {3}, f NON è iniettiva) = = = f() = 3 non è una funzione = f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 16
17 f : R im(f), f() = 3 +2 f è invertibile sul suo dominio; (dom(f) = R, im(f) = R, f è iniettiva) = = f() = = f 1 () dom(f 1 ) = im(f) = R, im(f 1 ) = dom(f) = R. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 17
18 f : R im(f), f() = e f è invertibile sul suo dominio; (dom(f) = R, im(f) = R +, f è iniettiva) = = f() = e 01 = = f 1 () = log e () dom(f 1 ) = im(f) = R +, im(f 1 ) = dom(f) = R. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 18
19 f : R im(f), f() = 2 f NON è invertibile sul suo dominio; (dom(f) = R, im(f) = R + {0}, f NON è iniettiva) 01 = = f() = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 19
20 f : R + {0} im(f), f() = 2 f è invertibile sull insieme di definizione R + {0} (dom(f) = R + {0}, im(f) = R + {0}, f è iniettiva) = f() = 01 = = f 1 () = 01 dom(f 1 ) = im(f) = R + {0}, im(f 1 ) = dom(f) = R + {0}. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 20
21 Funzioni matematiche elementari Funzioni polinomiali e razionali retta: = f() = m +q, con m, q R assegnati. parabola: = f() = a 2 +b +c, con a, b, c R assegnati. cubica: = f() = a 3 +b 2 +c +d, con a, b, c, d R assegnati. razionale: = f() = 1/, = f() = ,... Funzioni trigonometriche seno: = sin() coseno: = cos() tangente: = tg() cotangente: = cotg(),... Funzioni trascendenti esponenzionale: = a, con a R + logaritmo: = log a (), con a R + \{1} caso particolare: a = e = (Numero di Nepero) Funzioni irrazionali radice: = (), = 3 ()... c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 21
22 Funzioni definite a tratti Sono funzioni reali di variabile reale (f : R R) definite da espressioni diverse su intervalli diversi: +2 se 0 1 f() = se 1 < 3 1 se 3 < c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 22
23 Funzione Valore Assoluto f : R R : f() = = { se 0 se < 0 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 23
24 Funzione Segno 1 se > 0 f : R Z : f() = sign() = 0 se = 0 1 se < 0 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 24
25 Funzione Parte Intera E la funzione che associa ad un numero reale il più grande numero intero (in Z) minore o uguale a : se = , [] = 3, se = 2, [] = 2, se = , [] = 13. f : R Z : f() = [] 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 25
26 Successioni Def. Una successione è una funzione reale (Y = R) a variabile naturale, ovvero X = N: a : N R : n = a(n) = a n. Il dominio di una successione è del tipo {n N, n n 0 } con n 0 un opportuno numero naturale. Es. a n = 1 n, in questo caso n 0 = 1. Es. a n = n+1 n 2, in questo caso n 0 = 3. Es. a n = ( 1) n, in questo caso n 0 = 0. Es. Il fattoriale di n: a n = n!, n N. 0! := 1, n! := n (n 1)! = n (n 1) (n 2) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 26
27 Confronto tra f() = 1/ e a n = 1/n f() = 1/ a n = 1/n dom(f) = { R, 0}, dom(a) = {n N, n 1} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 27
28 Funzioni monotone Sia I il dominio di una funzione f reale a valori reali, oppure un intervallo contenuto nel dominio di f. Def. La funzione f si dice monotona crescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). f( 2 ) f( 1 ) = f( 2 ) f( 1 ) I I Def. La funzione f si dice monotona strettamente crescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 28
29 Analogamente si definisce una funzione monotona decrescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) e monotona strettamente decrescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 ). Proposizione. Se f è strettamente monotona sul suo dominio allora f è iniettiva. Dim. Sia f strettamente monotona crescente, allora 1, 2 dom(f) con 1 < 2 ( 1 2 ) si ha f( 1 ) < f( 2 ) e quindi f( 1 ) f( 2 ), ovvero f è iniettiva. Dimostrazione analoga si ha per f strettamente monotona decrescente. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 29
30 Il viceversa non è vero. La funzione { 1 0 f() = 0 = 0 è iniettiva senza essere strettamente monotona sul suo dominio dom(f) = R. f è decrescente su (,0), è decrescente su (0, + ), ma non è decrescente su tutto R Infatti per 1 = 1, 2 = 1, si ha f( 1 ) = 1 < f( 2 ) = 1. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 30
31 Funzioni composte Siano X, Y e Z tre insiemi in R. Siano f : X Y e g : Y Z. Definiamo una nuova funzione h : X Z detta funzione composta di f e g tale che h() = g(f()) Es. f() = sin() e g() = 2. La funzione composta è: h() = g(f()) = (sin()) 2. f() prende il posto di nella definizione di g. Es. Sia h() = log(2 +1). Posso vedere h() = g(f()) con g() = log() e f() = Es. Sia h() = Posso vedere h() = g(f()) con g() = e f() = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 31
32 Dominio di una funzione composta Il dominio di una funzione f è il sottoinsieme di R su cui f è definita, ovvero l insieme dom(f) = { R : f() R}. Prendiamo f() = +2 1 e g() =, +2 h() = g(f()) = 1. dom(h) ( dom(f) e f() dom(g)) Quindi dom(h) sse R\{1} e +2 0, ovvero 1 dom(h) = (, 2] (1,+ ). Quando h() = g(f()), dom(h) = { dom(f) : f() dom(g)} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 32
33 Oss. La composizione di funzioni non è commutativa: g(f()) f(g()) in genere. f() = sin() e g() = 2. g(f()) = (sin()) 2 mentre f(g()) = sin( 2 ). Proprietà. Se f e g sono invertibili e z = h() = g(f()), allora è invertibile anche h e vale h 1 () = f 1 (g 1 ()). Proprietà. Se f e g sono entrambe monotone crescenti (o entrambe decrescenti) allora g(f()) sarà monotona crescente. g(f()) sarà monotona decrescente negli altri casi. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni cap2.pdf 33
34 Funzione elevamento a potenza = α con R e α R. Distinguiamo vari casi: α = 0 = 0 = 1 funzione costante. dom(f) = R. im(f) = {1}. α = n N + = n. dom(f) = R. Senèpari, im(f) = R + {0} Se n è dispari, im(f) = R = n = 2 = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Potenza con esponente reale cap2.pdf 34
35 α = n m Q\{0}, con n, m N+ primi fra loro, = n/m = m n. 10 = α 5 0 = 3/2 5 = 5/3 = 4/ n m Esempio dom(f) im(f) dispari pari = 3/2 R + {0} R + {0} dispari dispari = 5/3 R R pari dispari = 4/3 R R + {0} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Potenza con esponente reale cap2.pdf 35
36 α > 0 irrazionale (α R + \Q + ). dom(f) = R + {0} e im(f) = R + {0} 2 = α = 3 = 2 = 1/ 2 = 1/ Se 1, definisco = α := sup{ n/m n : m α} Se 0 < 1, definisco = α := inf{ n/m n : m α} Se < 0, α non è definito. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Potenza con esponente reale cap2.pdf 36
37 α < 0 irrazionale (α R \Q ) Poniamo β = α, se α < 0 β > 0 e α = 1 α = 1 β Il dominio di α coincide con il dominio di α privato dello zero, ovvero è R +. Le funzioni α con α < 0 sono strettamente decrescenti su R +. = α = 3 = 2 = 1/ 2 = 1/ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Potenza con esponente reale cap2.pdf 37
38 Dominio di f() = (h()) g() Consideriamo h : R R e g : R R. A priori l esponente g() può assumere un valore reale positivo nullo o negativo. Quindi la funzione f() è ben definita se la base h() è definita e t.c. h() > 0 e se g() è definita, ovvero dom(f) = { dom(h) : h() > 0} dom(g) Es. Determinare il dominio di f() = dom(f) = ( 1+ 1 ). { R\{0} : 1+ 1 > 0 } R = = (, 1) (0,+ ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Potenza con esponente reale cap2.pdf 38
39 Funzioni polinomiali Una funzione si dice polinomiale se è del tipo f() = a n n +a n 1 n a 2 2 +a 1 +a 0 ovvero è un polinomio nella variabile. I coefficienti a i, con i = 0,...,n sono reali. n è detto grado del polinomio. Dominio: R, e a i R, l espressione a n n +a n 1 n a 2 2 +a 1 +a 0 è ancora un numero reale. Quindi dom(f) = R. Si definiscono radici o zeri di un polinomio i valori di R tali per cui f() = 0, ovvero sono le intersezioni tra il grafico di f() e l asse delle ascisse: = f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Classificazione funzioni cap2.pdf 39
40 Funzioni razionali Una funzione si dice razionale (o fratta) se è il rapporto di due polinomi: f() = a n n +a n 1 n a 2 2 +a 1 +a 0 b m m +b m 1 m b 2 2 +b 1 +b 0 a i,b j R, con i = 0,...,n e j = 1,...,m Dominio: R, e a i,b j R, numeratore e denominatore sono numeri reali. Il rapporto tra due numeri reali è un numero reale se il denominatore è diverso da zero. Quindi dom(f) = R\{insieme degli zeri del denominatore}. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Classificazione funzioni cap2.pdf 40
41 Funzioni esponenziali e logaritmiche Sia a R +. Una funzione si dice esponenziale se la variabile indipendente compare all esponente di a (detto base): f() = a Per le considerazioni fatte prima, poiché a > 0, f() assume valori reali R, quindi dom(f) = R e Imf = (0,+ ). Inoltre f(0) = a 0 = 1. Sia a 1. Una funzione si dice logaritmica se la variabile indipendente compare all argomento del logaritmo di base a: Ricordiamo che f() = log a () = log a = log a a = ovvero la funzione logaritmo è la funzione inversa dell esponenziale, quindi dom(f) = (0,+ ). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Classificazione funzioni cap2.pdf 41
42 Funzioni iperboliche sinh() =: e e 2 cosh() =: e +e sinh() cosh() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni iperboliche cap2.pdf 42
43 La relazione fondamentale tra sinh e cosh è: cosh 2 (t) sinh 2 (t) = 1 t R. sinh(t) e cosh(t) sono dette funzioni iperboliche perché un punto P = ( P, P ) del piano cartesiano con P = cosh(t) e P = sinh(t), al variare di t appartiene all iperbole di equazione 2 2 = 1. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Funzioni iperboliche cap2.pdf 43
44 Simmetrie di funzione Def. Una funzione si dice dispari se f() = f( ), dom(f) (equivalentemente f() = f( )). Es. f() = sin(), f() = 3 sono dispari = = sin() Verifica: scrivo f( ): f( ) = ( ) 3 +3( ) = ( 3 +3) = f(). scrivo g( ): g( ) = sin( ) = sin() = g(). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Simmetrie e periodicità cap2.pdf 44
45 Def. Una funzione si dice pari se f() = f( ), dom(f) (è simmetrica rispetto all asse delle ordinate = 0). Es. f() = 2, g() = cos() sono funzioni pari = = cos() Verifica: scrivo f( ): f( ) = ( ) 2 = 2 = f(). scrivo g( ): g( ) = cos( ) = cos() = g(). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Simmetrie e periodicità cap2.pdf 45
46 Funzioni periodiche Def. Una funzione si dice periodica di periodo T se dom(f) si ha f( +T) = f(). Es. f() = sin() con T = 2π = sin() T = 2π Verifica: f( +T): f( +T) = f( +2π) = sin( +2π) = sin() = f(). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Simmetrie e periodicità cap2.pdf 46
47 Riferimento bibliografico Canuto-Tabacco, cap. 2. Esercizi: 1) Individuare dominio e insieme immagine delle funzioni elementari viste ad esercitazione e dire se sono monotone (crescenti o decrescenti) sul loro dominio, se sono iniettive, suriettive, biettive, invertibili. 2) Esercizi del cap. 2 del libro Canuto-Tabacco. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Simmetrie e periodicità cap2.pdf 47
FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale
FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio
DettagliFUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE
FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge
DettagliMATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte):
MATEMATICA a.a. 014/15 1a. Funzioni (II parte): Funzioni iniettive, suriettive, bigettive. Funzioni reali. Campo di esistenza. Funzioni pari e dispari Funzione iniettiva y=f() 1 3 X 4 y 6 Y y y 1 y 3 y
DettagliVerso il concetto di funzione
Verso il concetto di funzione Il termine funzione già appare in alcuni scritti del matematico Leibniz (1646-1716). Tuttavia, in un primo momento tale termine venne usato in riferimento a espressioni analitiche
DettagliUNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI
UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo
DettagliDefinizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.
Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti
DettagliFunzioni e grafici. prof. Andres Manzini
Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione Definizione Si dice funzione (o applicazione)
DettagliFunzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y
Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
DettagliLe funzioni reali di una variabile reale
Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B
DettagliMatematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica
Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi
DettagliFunzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo
Capitolo Funzioni. Concetti preliminari Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo f : A B, una corrispondenza che associa ad ogni elemento A un unico
Dettagli1 Funzioni reali di una variabile reale
1 Funzioni reali di una variabile reale Qualche definizione e qualche esempio che risulteranno utili più avanti Durante tutto questo corso studieremo funzioni reali di una variabile reale, cioè Si ha f
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne
DettagliUnità Didattica N 2 Le funzioni
Unità Didattica N Le funzioni 1 Unità Didattica N Le funzioni 05) Definizione di applicazione o funzione o mappa. 06) Classificazione delle funzioni numeriche 07) Estremi di una funzione, funzioni limitate.
DettagliCoordinate cartesiane nel piano
Coordinate cartesiane nel piano O = (0, 0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi
DettagliEsercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).
Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.
DettagliFunzione Composta. Il campo di esistenza della funzione composta è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso.
Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f(g()) notazione funzionale (f g)() = f(g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene
DettagliCoordinate Cartesiane nel Piano
Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi
DettagliISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA
ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a
DettagliSTUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1
STUDIO di FUNZIONE c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1 Punti di estremo: punto di massimo assoluto Def. Sia 0 dom(f) = D. Si dice che 0 è un punto di massimo
DettagliIntroduzione. Test d ingresso
Indice Introduzione Test d ingresso v vii 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5 Intervalli... 12 1.6 Valoreassolutoedistanza...
DettagliProprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente (non decrescente) in un intervallo I se f ( 1 ) < f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1
DettagliFunzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x))
Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f (g()) notazione funzionale = f (g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene al
DettagliProgetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B
FUNZIONI Deinizione di unzione : una unzione che associa ad ogni elemento : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge A uno e un solo elemento y B y () y viene chiamato immagine di e indicato anche
DettagliProf. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1
Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1 CAPITOLO 8. LE FUNZIONI. 1. Generalità sulle funzioni.. Le rappresentazioni di una funzione.. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive.. Le funzioni
DettagliUnità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1
Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le funzioni univoche 01) Definizione di applicazione o funzione o mappa 0) Classificazione delle funzioni numeriche 03) Insieme di definizione
DettagliIntroduzione alla II edizione. Introduzione. Test d ingresso
Indice Introduzione alla II edizione Introduzione Test d ingresso v vii ix 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5
DettagliProprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler
Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente in (a, b) se f ( 1 ) f ( ) quando 1
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta
1 FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta L equazione generale della funzione retta è y = a x + b dove a, b sono numeri reali fissati. Il termine b si chiama termine noto e dà l ordinata dell intersezione tra
DettagliA Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
Dettagli1.4 Geometria analitica
1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le
DettagliCorso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile
Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 24 1 Generalità 2 Funzioni reali
DettagliAnalisi Matematica 1
Analisi Matematica 1 Schema provvisorio delle lezioni A. A. 2015/16 1 Distribuzione degli argomenti delle lezioni Argomento ore tot Numeri reali 11 11 Numeri complessi 1 12 Spazio euclideo 2 14 Topologia
Dettagli1. Funzioni reali di una variabile reale
Di cosa parleremo In questo capitolo introduttivo ci occuperemo di funzioni reali di una variabile reale; precisamente, daremo dei criteri per la determinazione del campo di esistenza delle varie tipologie
DettagliFunzioni Esercizi e complementi
Funzioni Esercizi e complementi e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Novembre 05. Indice Esercizi Insiemi ininiti 6 Suggerimenti e risposte 9 Esercizi. Scrivere la deinizione di unzione e ornire almeno un
Dettagli12/10/05 (2 ore): Esercizi vari sull ellisse, iperbole, parabola. Disequazioni in due variabili. Equazione dell iperbole equilatera. Esempi.
Università degli Studi di Trento Facolta di Scienze Cognitive Corso di Laurea in Scienze e Tecniche di Psicologia Cognitiva Applicata Corso di Analisi Matematica - a.a. 2005/06 Docente: Prof. Anneliese
DettagliFunzioni Pari e Dispari
Una funzione f : R R si dice Funzioni Pari e Dispari PARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse DISPARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della
DettagliFunzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni
Funzioni: definizioni e tipi Definizione di funzione Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice funzione o applicazione da A a B una relazione che associa ad ogni elemento dell insieme A uno ed un solo
DettagliPROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale.
PROGRAMMA Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. Gli insiemi numerici oggetto del corso: numeri naturali, interi relativi, razionali. Operazioni sui numeri
DettagliMatematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI.
Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI Giovanni Villani FUNZIONI ELEMENTARI Funzione potenza con esponente n N Si definisce
DettagliFunzioni (parte II).
Funzioni (parte II). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 21 ottobre 214 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 1/ 55 Funzioni trigonometriche.
DettagliStudio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2
Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione
Dettagli2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale
. I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei
DettagliLIMITI DI FUNZIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 1
LIMITI DI FUNZIONI c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 1 Intorni Def. Siano 0 R e r R +. Chiamiamo intorno di centro 0 e raggio r l intervallo aperto e limitato
Dettagli05 - Funzioni di una Variabile
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 05 - Funzioni di una Variabile Anno Accademico 2015/2016
DettagliGli asintoti di una funzione sono rette, quindi possono essere: rette verticali o rette orizzontali o rette oblique.
Asintoti Gli asintoti di una funzione sono rette, quindi possono essere: rette verticali o rette orizzontali o rette oblique. Asintoti verticali Sia 0 punto di accumulazione per dom(f). La retta = 0 è
DettagliESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione
Dettagli.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1
Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. A x 1. x. x 3..y 1.y.y 3 B C.y 5 x 4..y
DettagliA.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1
A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1 Argomenti svolti, libro di testo di riferimento: P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi Calcolo. Liguori Editore. O. Bernardi: Temi d esame senza tema. Ed. Libreria Progetto.
DettagliFunzioni reali di variabile reale
Funzioni reali di variabile reale Equazioni e disequazioni. In questa parte ricordiamo per completezza le prime nozioni e i primi principi sulle equazioni e disequazioni: sono le stesse nozioni e principi
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione
FUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione 1 E data la funzione f(x) = sin(2x 5) Allora: (a) dom (f) = {x IR : 1 2x 5 1} (b) im (f) = [ 1, 1] (c) f ha periodo T= π 5 (d) f ha periodo T= 2π 5 2 La funzione
DettagliPROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione
PROGRAMMA di Analisi Matematica A.A. 204-205, canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione Testo Consigliato: - Analisi Matematica, Teoria e Applicazioni, A. Marson, P. Baiti,
DettagliAnalisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A
Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE
Dettagli1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE
1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE Definizione: Dati due insiemi A, B chiamiamo funzione da A in B ogni, f, applicazione (legge, corrispondenza) che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di
DettagliLe Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni
Le Funzioni Modulo Esponenziali Logaritmiche Definizione di modulo o valore assoluto Se x è un generico numero reale, il suo modulo o valore assoluto è: x = x se x 0 -x se x
DettagliSimboli logici. Predicati, proposizioni e loro negazioni.
PROGRAMMA di Analisi Matematica A.A. 202-203, canale, prof.: Francesca Albertini, Monica Motta Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M. Bramanti,
Dettagli3. Segni della funzione (positività e negatività)
. Segni della funzione (positività e negatività) Questo punto, qualora sia possibile algebricamente, ci permette di stabilire il segno che assume la variabile dipendente y (che esprime il valore della
DettagliPrecorso di Matematica
Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino mariamargherita.obertino@unito.it Davide Ricauda davide.ricauda@unito.ii Obiettivi del precorso: rapido ripasso degli argomenti di base, già trattati nelle
DettagliFUNZIONI. }, oppure la
FUNZIONI 1. Definizioni e prime proprietà Il concetto di funzione è di uso comune per esprimere la seguente situazione: due grandezze variano l una al variare dell altra secondo una certa legge. Ad esempio,
DettagliDiario del Corso di Analisi Matematica - a.a. 2014/15
Diario del Corso di Analisi Matematica - a.a. 2014/15 1a SETTIMANA 23/09/14 (2 ore): Introduzione al corso: orario, esercitazioni, ricevimento studenti, sito web, tempi e modalità delle prove di valutazione
DettagliMatematica di base. Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com
Matematica di base Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com Calendario 21 Ottobre Aritmetica ed algebra elementare 28 Ottobre Geometria elementare 4 Novembre Insiemi
DettagliLE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
CAPITL 7 [numerazione araa] [numerazione devanagari] [numerazione cinese] LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ IL PREZZ GIUST gni volta che acquistiamo un prodotto o un servizio, paghiamo in camio una certa cifra
Dettagli1.3. Logaritmi ed esponenziali
1.3. Logaritmi ed esponenziali 1. Rappresentazione sugli assi cartesiani 2. Relazione 3. Definizione di funzione 4. La funzione esponenziale 5. Il logaritmo 6. La funzione logaritma 1-3 1 Rappresentazione
DettagliPROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE ISTITUTO PROFESSIONALE SOCIALE MATEMATICA. CAPACITA MODULO 0: RIPASSO Equazioni intere e fratte di primo e secondo grado
PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE ISTITUTO PROFESSIONALE SOCIALE MATEMATICA CLASSE TERZA IPS COMPETENZE 42) Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico
DettagliPROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE ISTITUTO PROFESSIONALE COMMERCIALE MATEMATICA
PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE ISTITUTO PROFESSIONALE COMMERCIALE MATEMATICA CLASSE TERZA IPC COMPETENZE 42) Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico
DettagliI POLINOMI DI TAYLOR. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Sviluppi di Taylor cap7.pdf 1
I POLINOMI DI TAYLOR c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Sviluppi di Taylor cap7.pdf 1 Il simbolo o piccolo Siano f (x) e g(x) funzioni infinitesime per x x 0 e consideriamo f (x) il lim
DettagliDerivata di una funzione
Derivata di una funzione Prof. E. Modica http://www.galois.it erasmo@galois.it Il problema delle tangenti Quando si effettua lo studio delle coniche viene risolta una serie di esercizi che richiedono la
DettagliFunzioni reali di variabile reale
Funzioni reali di variabile reale Consideriamo le seguenti situazioni: Il volume V di una sfera di raggio r è dato dalla formula V = 4 3 r3. Dopo t anni, la massa rimasta di una quantità iniziale m 0 di
DettagliProprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler
Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Crescente Decrescente Crescente Estremi di una funzione f ( ) f ( c) per ogni in [a, b]. f ( ) f ( d) per ogni
DettagliEsercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni
Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Ottobre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti
DettagliArgomento 2 IIparte Funzioni elementari e disequazioni
Argomento IIparte Funzioni elementari e disequazioni Applicazioni alla risoluzione di disequazioni Disequazioni di I grado Per la risoluzione delle disequazioni di primo grado per via algebrica, si veda
DettagliFunzioni reali di variabile reale
Introduzione Funzioni reali di variabile reale Algebra delle funzioni reali Funzioni composta e inversa Funzioni monotone i definisce funzione reale di variabile reale e s indica con f: A R una funzione
DettagliTeorema di sostituzione o del limite di funzioni composte
Teorema di sostituzione o del limite di funzioni composte Questo teorema serve per calcolare il limite di funzioni composte sfruttando limiti fondamentali o altri limiti già noti. TEOREMA. Se esiste lim
DettagliCapitolo 5. Funzioni. Grafici.
Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliMatematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani
Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI Giovanni Villani FUNZIONI Definizione 1 Assegnati due insiemi A e B, si definisce funzione
DettagliESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INFORMATICA. Tutor: Dottoressa Simona DI GIROLAMO
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INFORMATICA Tutor: Dottoressa Simona DI GIROLAMO ANNO ACCADEMICO 015-016 1 Funzioni Definizione 1.1 Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama funzione
DettagliFunzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz
Funzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e corretta. 1. Le due funzioni f(x) = ln(x
DettagliTeoria degli Insiemi
Teoria degli Insiemi Docente: Francesca Benanti Ottobre 2017 1 Teoria degli Insiemi La Teoria degli Insiemi è una branca della matematica creata alla fine del diciannovesimo secolo principalmente dal matematico
DettagliFunzioni. Definizione Dominio e codominio Rappresentazione grafica Classificazione Esempi di grafici Esercizi
Funzioni Definizione Dominio e codominio Rappresentazione grafica Classificazione Esempi di grafici Esercizi Materia: Matematica Autore: Mario De Leo Definizioni Una quantità il cui valore può essere cambiato
DettagliConoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.
Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la
DettagliPROGRAMMAZIONE DIDATTICA di MATEMATICA CLASSI TERZE TECNICO settore TECNOLOGICO
Il corso prevede 3 ore settimanali Sono previste 2 verifiche scritte nel trimestre e 3 nel pentamestre PROGRAMMAZIONE DIDATTICA di MATEMATICA CLASSI TERZE TECNICO settore TECNOLOGICO Testo in adozione:
DettagliRoberto Galimberti MATEMATICA
Docente Materia Classe Roberto Galimberti MATEMATICA 4L Programmazione Preventiva Anno Scolastico 2011-2012 Data 31/12/11 Obiettivi Cognitivi Minimi conoscere la definizione di circonferenza come luogo
DettagliIstituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti
Classe: 1 M Docente: Antonio M. Povelato CAPITOLO 1 - Insiemi e numeri naturali Concetti primitivi di insieme e di elemento. Relazioni di appartenenza, inclusione e eguaglianza tra insiemi. Rappresentazione
Dettagli2ALS. Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica.
2ALS Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica. Si consiglia il libro: Matematica-recupero dei debiti formativi e ripasso estivo 2 ISBN 978-88-24741279
DettagliEsercizi sulle Funzioni
AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sulle Funzioni Esercizio svolto. Trovare i domini di definizione delle seguenti funzioni: a) f) sin + cos ; b) g) log ) ; c) h) sin + e sin. Soluzione. a) La
DettagliQuando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R x 0 R è punto di accumulazione per dom(f).
Teoremi sui iti Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R 0 R è punto di accumulazione per dom(f). Teorema di unicità del ite. Supponiamo che f ammetta ite l (finito o infinito) per 0. Allora
DettagliEsercitazione su grafici di funzioni elementari
Esercitazione su grafici di funzioni elementari Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 8 Novembre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori, invito
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliCLASSE 1 SEZIONE A PROGRAMMA DI MATEMATICA DOCENTE ENRICO PILI
ISTITUTO D ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE I.T.C.G. L. EINAUDI LICEO SCIENTIFICO G. BRUNO CLASSE 1 SEZIONE A PROGRAMMA DI MATEMATICA DOCENTE ENRICO PILI ANNO SCOLASTICO 2016/2017 RICHIAMI DI ARITMETICA
DettagliLICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA. PROGRAMMA DI Matematica. Classe IIIB. Anno Scolastico
LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA PROGRAMMA DI Matematica Classe IIIB Anno Scolastico 2014-2015 Insegnante: Prof.ssa La Salandra Incoronata 1 DISEQUAZIONI Disequazioni razionali intere di secondo
DettagliUniversità degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI. Corso di Analisi Matematica A.A. 2009 / 2010.
Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI Corso di Analisi Matematica A.A. 009 / 00 Le Funzioni Fabio Memoli indice Il Concetto di Funzione Funzioni Reali Di Variabile
DettagliScheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica
Tutorial - Studio di una funzione reale di variabile reale f : x R y = f (x) R Una funzione può essere: - 1 - algebrica ( razionale o irrazionale, intera o fratta) Classificare la trascendentale ( esponenziale,
DettagliDiario del Corso Analisi Matematica I
Diario del Corso Analisi Matematica I 1. Martedì 1 ottobre 2013 Presentazione del corso. Nozioni di Teoria degli Insiemi. Numeri Naturali, loro proprietà, rappresentazione geometrica, sommatoria, principio
DettagliINTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA
INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA Intervalli e intorni Funzioni in R e classificazione Proprietà delle funzioni: pari e dispari monotone periodiche Intervallo Un intervallo di estremi a e b è un insieme
DettagliESERCIZI SU FUNZIONI. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile in x=0?(motivare le risposte).
ESERCIZI SU FUNZIONI. 1) Disegnare il grafico della funzione f : R R così definita y = f(x)= x +1 se x 0 -x 2 +1 se x < 0. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile
DettagliIL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero
IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno
DettagliContinuità di funzioni
Continuità di funzioni Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 2 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
DettagliISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI A. MARTINI Castelfranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni n n n n
0 ottobre 008 A. MARTINI Castelranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni. Insieme delle parti. Partizione di un insieme 3. Prodotto cartesiano 4. Deinizione di relazione 5. Deinizione di unzione 6. Funzioni
Dettagli25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE
25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x
Dettagli