SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE

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1 SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio V = {x, y) R x + y = 0} e completarla a base ortonormale di R specificando se la base trovata è positiva o negativa. Esercizio. Trovare una base ortonormale del sottospazio V = {x, y, z) x + y z = 0} di R. Completare poi la base trovata a base ortonormale positiva di R. Esercizio 4. Trovare una base ortonormale del sottospazio V = {x, y, z) x+y = 0, y+z = 0} di R. Completare poi la base trovata a base ortonormale negativa di R. Esercizio. Calcolare i sottospazi complementi ortogonali di e di rispettivamente. V = {x, y, z) R x + y + z = 0, x y + z = 0} U = L,, ),, 0, )), Esercizio 6. Calcolare la proiezione ortogonale di v =,, ) sul sottospazio V = {x, y, z) R x + z = 0, y z = 0} e sul sottospazio W = {x, y, z) R x + y z = 0}. Determinare poi i vettori simmetrici di v rispetto ai due sottospazi. Esercizio 7. Scrivere le matrici ortogonali P di ordine, calcolare i loro autovalori, dire quali sono diagonalizzabili, e dare una loro interpretazione come movimenti del piano. 4 0 Esercizio 8. Data la matrice P = 4 0 verificare che è ortogonale. Ripetere 0 0 poi l Esercizio 7 con tale matrice. Esercizio 9. Sia f : R R l endomorfismo che associa ad ogni vettore v il vettore fv) simmetrico di v rispetto ad un piano α fissato passante per l origine. Trovare gli autovalori di f ed i relativi autovettori. Dire se f è semplice. Fissato poi α : x y = 0 scrivere esplicitamente l endomorfismo f e verificare che è simmetrico. Scrivere la forma quadratica Q associata ad f e calcolarne una forma canonica. Esercizio 0. Sia Q : R R la forma quadratica Qx, y) = x + xy + y. Trovare un cambio di coordinate che riporti Q in forma canonica, trovare la corrispondente forma canonica di Q e scrivere l endomorfismo simmetrico f : R R associato a Q. Esercizio. Sia Q : R R la forma quadratica definita come Qx, y, z) = x + y + z xy + yz. Trovarne una forma canonica, il cambio di coordinate che la riporta in forma canonica, e scrivere l endomorfismo simmetrico associato a Q.

2 SPAZI EUCLIDEI Esercizio. Sia v un vettore non nullo fissato di R, e sia f : R R l endomorfismo definito da fx) = v x)v. f ha v come autovalore. V ) F ) Esercizio. {, ),, )} è una base ortonormale positiva di R. V ) F ) Esercizio 4. Sia Qx, y, z) = x + y z. L endomorfismo simmetrico f : R R associato a Q ha un autospazio di dimensione. V ) F ) Esercizio. Sia Qx, y, z) = xy. L endomorfismo simmetrico associato a Q ) ha nucleo di dimensione ; V ) F ) ) è suriettivo; V ) F ) ) ha un autovalore uguale ad ; V ) F ) 4) ha tre autovalori semplici. V ) F ). Soluzioni di alcuni esercizi Soluzione dell Esercizio. Per definizione, v = v v dove è il prodotto scalare euclideo standard. Ricordiamo che, se u = u, u, u ) e v = v, v, v ), allora u v = u v + u v + u v. Quindi,,, ) =,, ) = 6. L angolo tra i due vettori u e v è definita come l angolo θ il cui coseno vale cos θ = u v u v. Con i dati dell Esercizio, si ha cos θ = 6. Soluzione dell Esercizio. Prima calcoliamo una base di V, poi, da questa, calcoliamo una base ortonormale usando il metodo di Graham-Schmidt. Una base di V si ottiene risolvendo il sistema lineare omogeneo che definisce V e mettendo poi la variabile libera in evidenza. Abbiamo quindi che una base di V è, )). Per ottenere una base ortonormale di V basta allora dividere il vettore, ) per il suo modulo, ) = )), e quindi una base ortonormale di V è formata dal solo vettore,. Per completare tale base a base ortonormale di R, basta aggiungere un secondo vettore ortogonale al precedente e di modulo. Se x, y) è un qualsiasi vettore, l ortogonalità con ), è descritta dall equazione x + y = 0 ) le cui soluzioni sono a, ). Tra tutti questi vettori, quelli di modulo sono,, e ),. Uno qualsiasi dei due vettori insieme al precedente forma una base ortonormale di R. In particolare,, ),, )) è negativa, mentre ),,, )) è positiva.

3 SPAZI EUCLIDEI Soluzione dell Esercizio. Il sistema che definisce V ha come soluzioni i vettori x, y, x + y), con x, y R arbitrari. Quindi, dim V = ed una base di V è, 0, ), 0,, )). Il primo vettore ha modulo ) e quindi il primo vettore della base ortonormale di V è e =, 0,. Il secondo vettore della base ortonormale è parallelo a 0,, ) 0,, ), 0, )), 0, ed ha modulo. Quindi, una base ortonormale di V è ) e =, 0,, e =, 6 ) = 0,, ), 0, ) =,, ) 6, )). 6 Una terzo vettore che completa ) la base precedente come base ortonormale positiva di R è e e =,,, per le proprietà del prodotto vettoriale. Soluzione dell Esercizio 4. Il sottospazio V è costituito dai vettori della forma y, y, y), con y R. Una base )) di V è allora,, )) ed una base ortonormale di V è e =,,. Per completarla a base ortonormale negativa di R cominciamo con aggiungere un vettore e ortogonale ad e e di modulo. Un tale vettore, essendo ortogonale ad e, è soluzione dell equazione x + y z = 0. Una soluzione di tale equazione è,, 0) ed allora ) scegliamo e parallelo ed equiverso a,, 0) e di modulo. Quindi, e =,, 0. Il terzo vettore che completa la base ortonormale negativa ) di R, per le proprietà del prodotto vettoriale, è e = e e = 6, 6, 6. Soluzione dell Esercizio. Il sottospazio complemento ortogonale di V è V = L,, ),,, )) dove i suoi generatori sono le righe della matrice dei coefficienti del sistema lineare omogeneo che definisce V. Poiché i generatori sono linearmente indipendenti, abbiamo che dim V =. Il sottospazio complemento ortogonale di U è U = {x, y, z) R x + y z = 0, x + z = 0} dove le equazioni sono i prodotti scalari di un vettore generico x, y, z) di R e dei generatori di U. Osserviamo che la dimensione di U è. Soluzione dell Esercizio 6. Ricaviamo una base ortonormale per V. Risolvendo il sistema, abbiamo che V = L,, )) ed ha dimensione. Una sua base ortonormale )) si calcola normalizzando il vettore,, ) e quindi abbiamo che e =,, è la base ortonormale di V cercata. In base alla teoria, la proiezione ortogonale di v su V si calcola come proj V v) = v e)e =,, ) =,, ).

4 4 SPAZI EUCLIDEI Sempre in base alla teoria, il vettore simmetrico di v rispetto a V si calcola come sym V v) = proj V v) v = 7,, ). Una base di W è, 0, ), 0,, )) e si ottiene risolvendo il sistema che definisce W. Usando il metodo ) di ortonormalizzazione, )) ricaviamo una base ortonormale di W che è e =, 0,, e = 6, 6, 6. Usando le stesse formule usate nel caso precedente, calcoliamo sia la proiezione, sia il vettore simmetrico. Abbiamo quindi proj W v) = v e )e + v e )e =, 4, ) sym W v) = proj W v) v =,, 7 ). Soluzione dell Esercizio 7. Per scrivere una matrice ortogonale di ordine, dobbiamo scrivere una base ortonormale di R. Il primo vettore di tale base è un qualsiasi vettore di modulo e quindi è individuato da un punto sulla circonferenza di centro l origine e raggio ossia è dalla forma e = cos θ, sin θ), per qualche angolo θ [0, π). Il secondo vettore della base avrà modulo e sarà ortogonale ad e. Quindi e = cosθ+π/), sinθ+π/)) = sin θ, cos θ) se ruotiamo e in senso antiorario, oppure e = sin θ, cos θ), se ruotiamo e in senso orario. Le matrici ortogonali di ordine saranno allora di uno dei due seguenti tipi ) ) cos θ sin θ cos θ sin θ P θ) = oppure P sin θ cos θ θ) =. sin θ cos θ Studiamo ora P θ). Il suo polinomio caratteristico è pt) = t t cos θ + che ha discriminante = cos θ. Per le proprietà della funzione cos θ, abbiamo che = 0 per θ = 0, π, e < 0 per tutti gli altri valori di θ. Quindi, P 0) ha autovalore t = doppio, è già diagonale perché P 0) = I ed è allora l applicazione di R in sè che lascia fissati tutti i vettori. Invece, P π) ha autovalore t = doppio, è già diagonale perché P π) = I, ed è l applicazione che associa ad ogni vettore di R il vettore opposto. Come movimento del piano, è la simmetria rispetto all origine, ovvero è la rotazione di un angolo π. In generale, P θ) è la rotazione di un angolo θ. La matrice P θ) ha polinomio caratteristico pt) = t e quindi ha autovalori t =, t =, indipendenti dalla scelta di θ. Essendo entrambi di molteplicità P θ) è diagonalizzabile. L autospazio relativo all autovalore è mentre l altro autospazio è V ) = Lsin θ, cos θ)) V ) = Lsin θ, cos θ)). Come movimento del piano, P θ) rappresenta una simmetria ortogonale rispetto alla retta V ). Soluzione dell Esercizio 8. Si verifica facilmente che P t P = I e quindi che P è ortogonale. In alternativa, si può verificare che le colonne di P formano una base ortonormale di R. Il polinomio caratteristico di P è pt) = t)t 6 t + ) che ha t = come unica radice reale, perché il fattore di secondo grado ha discriminante = f rac6 negativo. Quindi, t = è l unico autovalore di P. L autospazio corrispondente è V ) =

5 SPAZI EUCLIDEI L0, 0, )), ossia l asse z. Come applicazione lineare, P associa a vettori del piano [xy] = L, 0, 0), 0,, 0)) vettori dello stesso piano. Infatti P x y 0 = x 4y 4x+y 0 Inoltre, come applicazione di [xy] in [xy] è definita dalla matrice [ ] 4 4 che è ortogonale del tipo P θ) con θ che verifica cos θ =, sin θ = 4, usando le notazioni dell Esercizio 7. In sintesi, P rappresenta una rotazione antioraria intorno all asse z di un angolo θ. Soluzione dell Esercizio 9. Dalla sua definizione, abbiamo che. fv) = sym α v) = proj α v) v. Risulta evidente che, preso un qualsiasi vettore v α, si ha proj α v) = v, e quindi fv) = v v = v = v. In conclusione, tutti i vettori non nulli di α sono autovettori relativi all autovalore, ossia α V ). Sia ora r l unica retta ortogonale ad α per l origine. Ovviamente, r è un sottospazio di dimensione. Tutti i vettori di r verificano proj α v) = 0 e quindi fv) = v = v. In conclusione, tutti i vettori non nulli di r sono autovettori relativi all autovalore, ossia r V ). D altra parte, è chiaro che α r = R, e che V ) V ) = {0}. Questo permette di affermare che V ) = α, e che V ) = r. Poiché R è somma diretta di autospazi di f, f è semplice. Inoltre, essendo gli autospazi a due a due ortogonali, ossia esistendo una base ortonormale di R formata da autovettori di f, abbiamo che f è simmetrico. Calcoliamo ora esplicitamente f nel caso in cui α è il sottospazio formato dai vettori che verificano la condizione x y = ) 0. Una sua base ) è,, 0), 0, 0, )), ed una sua base ortonormale è e =,, 0, e = 0, 0, ). Una base ortonormale di r è data )) da e = e e =,, 0. Sia x, y, z) un qualsiasi vettore di R, e calcoliamo fx, y, z). Per come definito, abbiamo fx, y, z) = proj α x, y, z) x, y, z) = =x, y, z) e )e + x, y, z) e )e x, y, z) = y, x, z). La matrice associata ad f rispetto alla base canonica è A = M C,C f) = e questo conferma che f è simmetrico, mentre la matrice associata ad f rispetto alla base ortonormale B = e, be, e ) formata da autovettori di f è D = M B,B f) = e questo conferma che f è semplice. La forma quadratica associata ad f è definita come Qx, y, z) = fx, y, z) x, y, z) = xy + z

6 6 SPAZI EUCLIDEI ed una sua forma canonica si ricava dalla matrice B ed è QX, Y, Z) = X + Y Z. Ovviamente, la matrice che riporta Q in forma canonica è quella del cambio base e quindi è P = Soluzione dell Esercizio 0. La matrice associata a Q è [ ] A = e quindi l endomorfismo simmetrico ad essa associato è. fx, y) = x + y, x + y). Il polinomio caratteristico di A è p A t) = t t e quindi gli autovalori di A sono t = 0, t =, entrambi semplici. Gli autospazi sono V 0) = {x, x) x R} = L, )) e V ) = {x, x) x R} = cl, )) che risultano ovviamente )) ortogonali tra loro. Una base ortonormale del primo )) dei due è e =,, mentre una base ortonormale del secondo è e =,. Una forma canonica di Q sarà allora QX, Y ) = 0X + Y = Y ed il relativo cambio di coordinate sarà descritto dalla matrice P = che rappresenta una rotazione oraria di π 4. [ ] Soluzione dell Esercizio. La matrice simmetrica associata a Q è A = 0 0 ed il suo polinomio caratteristico è p A t) = tt )t ) le cui radici sono t = 0, t =, t = tutti di molteplicità. Possiamo scrivere subito una forma canonica per Q ed è QX, Y, Z) = Y + Z. Per scrivere il cambio di coordinate abbiamo bisogno degli autospazi, e di una base ortonormale di R formata da autovettori di f. Gli autospazi sono e V 0) = {x, y, z) R x y = 0, y + z = 0} = L,, )), V ) = {x, y, z) R y = 0, x + z = 0} = L, 0, )), V ) = {x, y, z) R x + y = 0, y z = 0} = L,, )).

7 SPAZI EUCLIDEI 7 Una base ortonormale di R formata da autovettori di A si ottiene calcolando una base ortonormale per ogni singolo autospazio, e quindi è,, ) ),, 0,, 6,, )). 6 6 La matrice ortogonale che fornisce il cambio di coordinate ha per colonne gli elementi della base ortonormale, ed è P = Esplicitamente, il cambio di coordinate è x y z = P X Y Z Infine, l endomorfismo simmetrico associato a Q è.. fx, y, z) = x y, x + y + z, y + z). Soluzione dell Esercizio. Calcoliamo l immagine di v. Abbiamo fv) = v v)v = v v e quindi v è autovalore di f. Soluzione dell Esercizio. I vettori assegnati sono ortogonali tra loro e di modulo e quindi formano una base ortonormale. Però la matrice [ ] P = avente i due vettori come colonne, nell ordine fissato, ha determinante e quindi la base ortonormale è negativa. In particolare, la matrice P è ortogonale di tipo P θ) nella notazione dell Esercizio 7. Soluzione dell Esercizio 4. L affermazione è vera perché la matrice associata a Q è A = che è diagonale. Quindi fx, y, z) = x, y, z) ha t = come autovalore di molteplicità e t = come autovalore di molteplicità. Essendo semplice, gli autospazi hanno dimensione uguale alla molteplicità e quindi dim V ) =. Soluzione dell Esercizio. La matrice associata alla forma quadratica Q è A = e l endomorfismo simmetrico associato è fx, y, z) = y, x, 0).

8 8 SPAZI EUCLIDEI Il nucleo di f è kerf) = {0, 0, z) z R} e quindi ha dimensione, essendo 0, 0, )) una sua base. Per il Teorema del Rango, abbiamo che dim Imf) = = e quindi f non è suriettivo. Dalla descrizione di f abbiamo, in alternativa, che Imf) = L0,, 0),, 0, 0)) e quindi abbiamo conferma del fatto che dim Imf) =. Gli autovalori di A sono le soluzioni reali dell equazione p A t) = 0 dove p A t) = t + t è il polinomio caratteristico di A. Le soluzioni dell equazione sono t = 0, t =, t = e quindi le ultime due affermazioni sono entrambe vere.