Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Riflessione e rifrazione Incidenza obliqua Potenziali elettrodinamici Anno Accademico 2016/2017

2 Quantità di moto Il secondo esempio è presentato sotto forma di paradosso Consideriamo due sistemi di riferimento Σ e Σ Σ si muove da destra verso sinistra con velocita v Supponiamo che nel sistema Σ due cariche q 1 e q 2 si muovano con velocità opposte con lo stesso modulo v Naturalmente nel sistema Σ la carica q 1 è ferma mentre la carica q 2 si muove con velocità v Osserviamo innanzitutto che in entrambi i sistemi l'interazione fra le due cariche è solo elettrica Infatti il campo magnetico nella posizione delle cariche è nullo se v ed E sono paralleli segue che B = 0 Il campo elettrico generato dalle due cariche è Nel sistema Σ su ciascuna carica agisce la forza Le due forze soddisfano la terza legge di Newton Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 360

3 Quantità di moto Analizziamo adesso il fenomeno nel sistema Σ Nella posizione della carica q 1 il campo elettrico è Nella posizione della carica q 2 il campo è elettrico è Osserviamo che le due forze agiscono sulla congiungente ma hanno moduli diversi La terza legge di Newton non è soddisfatta Ancora una volta la soluzione si trova attribuendo quantità di moto al campo Si dimostra che la quantità di moto del campo è Vedremo che l'equilibrio delle forze è t = 0 Sommiamo F 12 e F 21 Jefimenko O. European Journal of Physics 20 (1999) p. 39 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 361

4 Quantità di moto Troviamo adesso un'espressione per la quantità di moto del campo elettromagnetico simile a quella dell'energia Per l'energia avevamo trovato Vogliamo trovare È una relazione più complicata: ci sono tre componenti i = x, y, z La quantità di moto è un vettore Il flusso attraverso una superficie deve essere un vettore La grandezza corrispondente a S non può essere un vettore È un tensore: il tensore degli stress di Maxwell Pensiamo al flusso di quantità di moto attraverso una superficie Ad esempio una superficie attraversata da particelle Il flusso attraverso la superficie (x y) produce quantità di moto nelle tre direzioni Lo stesso attraverso superfici x z e y z Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 362

5 Quantità di moto Non ricaveremo questa espressione come fatto per il teorema di Poynting Il primo termine è la forza che agisce sulla materia Introduciamo la forza per unità di volume Il secondo termine rappresenta il flusso di quantità di moto al secondo attraverso la superficie che delimita il volume Il terzo termine è la quantità di moto del campo Si trova che g si esprime tramite il vettore di Poynting Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 363

6 Energia e quantità di moto dell'onda La legge di conservazione in forma integrale è Le leggi che abbiamo visto generalizzano la conservazione dell'energia e della quantità di moto tenendo conto anche Dell'energia del campo elettromagnetico Della quantità di moto del campo elettromagnetico Un'onda elettromagnetica è un campo elettromagnetico Trasporta energia e quantità di moto Calcoliamo la densità di energia di un'onda piana monocromatica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 364

7 Energia e quantità di moto dell'onda Osserviamo che i contributi del campo elettrico e del campo magnetico sono uguali L'energia dell'onda è trasportata nello spazio Il flusso di energia al secondo e per unità di superficie è dato dal vettore di Poynting Notiamo che La densità di quantità di moto associata con l'onda è data da Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 365

8 Energia e quantità di moto dell'onda Nel caso di un'onda di luce abbiamo visto che le frequenze sono molto elevate Frequenze dell'ordine di ν Hz, lunghezze d'onda λ 10 7 m Tipiche misure macroscopiche sono medie nel tempo su molti cicli dell'onda Si definiscono pertanto i valori medi Ricordiamo che Infatti Otteniamo pertanto Si definisce intensità dell'onda (energia per unità di superficie per secondo) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 366

9 Energia e quantità di moto dell'onda Supponiamo che un'onda elettromagnetica incida su una superficie perfettamente assorbente La radiazione elettromagnetica assorbita trasferisce quantità di moto alla superficie Calcoliamo la quantità di moto contenuta in un parallelepipedo di area A e spessore cdt A La forza sulla superficie A è La pressione è la forza per unità di superficie Pressione di radiazione Se la superficie è perfettamente riflettente la pressione raddoppia Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 367

10 Energia e quantità di moto dell'onda Calcoliamo la pressione di radiazione della luce solare su una superficie perfettamente assorbente La potenza della luce solare incidente sulla superficie della terra è circa 1300 W/m 2 Questa è l'intensità dell'onda I = 1300 J m 2 s 1 La pressione di radiazione è Confrontiamo con la pressione atmosferica La pressione di radiazione è pertanto atm Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 368

11 Propagazione nella materia In assenza di cariche e correnti libere, le equazioni di Maxwell nella materia assumono la forma (vedi diapositiva ) Per un mezzo lineare All'interno di ciascun mezzo avremo Naturalmente nel passaggio da un mezzo all'altro bisogna tenere conto delle discontinuità dei campi Da un punto di vista matematico l'unica differenza è avere sostituito le costanti μ 0 e ε 0 con μ e ε Le soluzioni saranno onde che viaggiano con velocità v La costante n è l'indice di rifrazione della sostanza In pratica μ r 1 e l'indice di rifrazione è determinato solo da ε r La "costante" ε r dipende molto dalla frequenza Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 369

12 Propagazione nella materia Il vettore di Poynting diventa Nelle onde piane monocromatiche la frequenza ω e il vettore d'onda k sono legate tramite la velocità dell'onda nel mezzo: ω = kv I campi E e B sono legati anch'essi tramite v Per finire l'intensità dell'onda è data da Studiamo adesso la propagazione di un'onda piana che attraversa il confine fra due mezzi lineari caratterizzati da costanti ε 1,μ 1 e ε 2, μ 2 Vedremo che si formano un'onda trasmessa e un'onda riflessa Studieremo il fenomeno per incidenza normale e incidenza obliqua I dettagli dipendono dalle condizioni al contorno Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 370

13 Incidenza normale Supponiamo che l'interfaccia fra il mezzo 1 e il mezzo 2 sia il piano z = 0 Le velocità di propagazione nei due mezzi sono v 1 e v 2 Un'onda piana I viaggia nel senso positivo dell'asse z incide sul piano z = 0 Sono generate un'onda riflessa R e un'onda trasmessa T Abbiamo utilizzato la stessa frequenza per le tre onde Vedremo che l'uguaglianza è dal conseguenza delle condizioni al contorno Abbiamo visto che i moduli dei vettori k sono legati alle frequenze: ω = kv Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 371

14 Incidenza normale Nella regione 1 il campo elettromagnetico totale è dato da Nella regione 2 il campo elettromagnetico è dato da E T e B T Imponiamo le condizioni al contorno per z = 0 Le condizioni sulle componenti normali sono banali dato che queste sono nulle Esaminiamo la condizione su E e consideriamo le frequenze diverse Esiste una soluzione solo se le tre frequenze sono uguali: ω = ω = ω La condizione su B è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 372

15 Incidenza normale Risolviamo il sistema Per la maggior parte delle sostanze μ/μ 0 è praticamente uguale a 1 In tal caso Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 373

16 Incidenza normale Calcoliamo adesso le intensità Ricordiamo la relazione che lega l'intensità all'ampiezza Definiamo i coefficienti di riflessione e trasmissione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 374

17 Incidenza obliqua Trattiamo adesso il problema della riflessione di un'onda nel caso in cui il vettore d'onda formi un angolo con la normale alla superficie L'onda incidente L'onda riflessa L'onda trasmessa Come abbiamo visto nel caso precedente tutte e tre le onde hanno la stessa frequenza angolare ω I tre vettori d'onda sono legati alle frequenze e alle velocità di propagazione I campi totali nella regione 1 E I + E R e B I +B R devono adesso essere raccordati ai campi E T e B T nella regione 2 tramite le condizioni al contorno Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 375

18 Incidenza obliqua La forma generica delle condizioni al contorno è Perché questa condizione possa valere su tutti i punti del piano x y a z = 0 le fasi degli esponenziali devono essere uguali Avremo pertanto (per z = 0) Esplicitamente Queste relazioni devono valere per qualunque valore di x e di y In particolare per y = 0 E per x = 0 Il significato di queste relazioni è che le componenti trasversali (rispetto a ) dei tre vettori d'onda sono uguali I tre vettori giacciono sullo stesso piano Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 376

19 Incidenza obliqua Arriviamo pertanto alla prima legge I vettori d'onda delle tre onde (k I, k R, k T ) formano un piano detto piano di incidenza Il piano contiene anche la normale Per fissare le idee supponiamo che che il piano di incidenza sia il piano y z Significa che k Ix = k Rx = k Tx = 0 Abbiamo visto che Significa che Abbiamo trovato la seconda legge (della riflessione) L'angolo di incidenza θ I è uguale all'angolo di riflessione θ R Inoltre abbiamo Troviamo quindi la terza legge o legge di Snell Nota anche come legge della rifrazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 377

20 Incidenza obliqua Abbiamo trovato le tre leggi fondamentali dell'ottica geometrica Non abbiamo ancora utilizzato le condizioni al contorno Le condizioni che abbiamo trovato assicurano che gli esponenziali si semplificano Senza ledere la generalità della trattazione possiamo orientare il piano di incidenza nel piano y z Dobbiamo definire la polarizzazione dell'onda rispetto al piano di incidenza E può giacere sul piano di incidenza E può essere perpendicolare al piano di incidenza Una polarizzazione arbitraria può essere ottenuta come una combinazione delle due indicate Trattiamo solo il caso in cui il campo E I giace nel piano di incidenza Si può dimostrare che anche E R e E T giacciono sul piano di incidenza Notiamo che nel caso dell'incidenza obliqua i campi hanno una componente normale alla superficie I campi B sono perpendicolari al piano di incidenza Hanno solo componente lungo l'asse x. B z = B y = 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 378

21 Incidenza obliqua Scriviamo le condizioni al contorno Ricordiamo che nell'onda piana Iniziamo con le componenti normali banale. B z = 0 Per le componenti tangenziali Queste ultime equazioni sono in realtà quattro Due componenti (x, y) per ogni campo Proiettiamo sull'asse z i campi E. La prima equazione diventa La terza equazione Per finire la quarta equazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 379

22 Incidenza obliqua Riassumendo La prima equazione è equivalente all'ultima Infatti per le leggi della riflessione In definitiva abbiamo due equazioni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 380

23 Incidenza obliqua Risolviamo il sistema Sostituiamo nella seconda Le due soluzioni trovate sono note come equazioni di Fresnel per la polarizzazione nel piano di incidenza Notiamo che per θ I = 0 anche θ T = 0 e α = 1 Ritroviamo le leggi della incidenza normale Notiamo inoltre che l'ampiezza delle onde riflessa e trasmessa dipende dall'angolo di incidenza Per θ I π/2 abbiamo α e l'onda viene completamente riflessa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 381

24 Incidenza obliqua Osserviamo che per α = β l'onda riflessa ha ampiezza nulla Non c'è onda riflessa, tutta l'onda viene trasmessa L'angolo di incidenza per il quale questo accade si chiama angolo di Brewster Dalle formule precedenti si ricava facilmente Per la luce con polarizzazione perpendicolare al piano di incidenza non esiste un fenomeno analogo Supponiamo che un fascio di luce con polarizzazione arbitraria incida su una superficie con angolo di incidenza uguale (o prossimo) all'angolo di Brewster La componente con polarizzazione parallela al piano di incidenza non è riflessa Tutta la luce riflessa ha polarizzazione perpendicolare al piano di incidenza Su questo fenomeno si basa l'utilizzo di filtri polaroid negli occhiali per ridurre i riflessi Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 382

25 Potenziale scalare e potenziale vettore Vogliamo adesso trovare le relazioni fra campi e potenziali nel caso di campi variabili nel tempo In seguito scriveremo anche l'equazione dell'onda per i potenziali Ricordiamo le equazioni di Maxwell nel vuoto La divergenza del campo magnetico è nulla anche in questo caso È pertanto possibile introdurre il potenziale vettore anche in elettrodinamica Introduciamo questa relazione nella legge di Faraday Abbiamo pertanto trovato una combinazione di campi a rotore nullo È il gradiente di un campo scalare Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 383