DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI

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1 DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. lunedí 17 settembre 2011 (1 ora) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero , e perché? Divisibilità fra interi. Proprietà riflessiva e transitiva. Lezione 2. martedí 18 settembre 2012 (2 ore) Lo sviluppo decimale di Non vale la proprietà simmetrica. Determinazione delle coppie (a, b) tali che a divide b e b divide a. Determinazione delle coppie (x, y) di interi tali che xy = 1. Divisione con resto non negativo. Il caso del dividendo negativo. Il caso del divisore negativo. Unicità di quoziente e resto. Criterio di divisibilità in base all annullarsi del resto. Massimo comun divisore (MCD): definizione elementare. Problema: non esiste il MCD di 0 e 0. Lezione 3. mercoledí 19 settembre 2012 (2 ore) Divisione con resto non negativo: il caso del divisore negativo. Modalità di calcolo del MCD: l approccio mediante la fattorizzazione fallisce con numeri grandi : provare con numeri dell ordine di grandezza di , tenendo presente che l Universo ha anni. Definizione formale del MCD fra due interi a, b. Il MCD di 0 e 0 è 0. Più in generale, il MCD fra 0 e b è b. Esistenza e costruzione del MCD mediante l algoritmo di Euclide (inizio). Lezione 4. giovedí 20 settembre 2012 (2 ore) Sono equivalenti: d è il massimo comun divisore fra a e b, e D(a, b) = D(d). (Qui D(c) = { x Z : x c }, e D(a, b) = D(a) D(b).) Unicità del massimo comun divisore. Notazione (a, b) per il MCD. Date: Trento, A. A. 2012/13.

2 2 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2012/13 Descrizione formale dell algoritmo di Euclide. L algoritmo di Euclide su due numeri grandi all incirca N termina in al più 2 log 2 (N) passi. Algoritmo di Euclide esteso per esprimere il massimo comun divisore d di due numeri a, b come loro combinazione lineare ax + by = d, con x, y Z. Un esempio con 157 e 124. Se (a, b) = 1, allora a e b si dicono coprimi, o primi fra loro, o relativamente primi. a e b sono coprimi se e solo se esistono x, y Z tali che ax + by = 1. Lezione 5. lunedí 24 settembre 2012 (2 ore) L altra versione dell algoritmo di Euclide esteso per esprimere il massimo comun divisore di due numeri come loro combinazione lineare. Lemmi aritmetici. Applicazione dei lemmi aritmetici: il minimo comune multiplo (formula (a, b) [a, b] = a b, e interpretazione in termini di fattori comuni e non comuni). Altra applicazione: tutte le combinazioni per esprimere il massimo comun divisore come combinazione lineare. Divisori di 1 in Z. Congruenze. Basta considerare le congruenze modulo numeri non negativi. Le congruenze modulo 0, 1. Lezione 6. mercoledí 26 settembre 2012 (2 ore) Essere congrui vuol dire avere lo stesso resto, dunque la congruenza è una relazione di equivalenza. Classi rispetto a una relazione di equivalenza, e loro proprietà. Relazioni di equivalenza e partizioni. Le classi formano una partizione. Classi di congruenza (o resto) modulo un intero n. Le classi modulo 2 e 3. Lezione 7. giovedí 27 settembre 2012 (2 ore) Modulo n ci sono esattamente n classi resto, che sono [0], [1],..., [n 1]. Notazione Z/nZ. Si può calcolare con le classi resto. La prova del nove. Criteri di divisibilità per 9, 11, 7. Esercizio proposto: trovare i numeri interi positivi il cui prodotto delle cifre faccia un numero della forma Lezione 8. lunedí 1 ottobre 2012 (2 ore) Riepilogo sulle classi resto. Lemma: n divide a se e solo se [a] = [0] in Z/nZ. Criteri di divisibilità per 2, 4, 13. Z/nZ è un anello commutativo con unità. Il problema della buona definizione. Buona definizione della somma fra le classi resto. Inversi in un anello. Unicità.

3 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2012/13 3 Lezione 9. martedí 2 ottobre 2012 (2 ore) Inversi in Z/nZ. Calcolo degli inversi in Z/nZ mediante l algoritmo di Euclide esteso. L unico anello con unità in cui 0 = 1 è l anello { 0 }. 0-divisori. 0-divisori in Z/nZ. Dunque [a] Z/nZ è invertibile se e solo se (a, n) = 1, e l inverso si trova mediante l algoritmo di Euclide esteso. Se invece (a, n) > 1, allora [a] è un divisore dello zero. Domini: un dominio è un anello in cui l unico divisore dello zero è 0. Lemma dei cassetti. Lezione 10. mercoledí 3 ottobre 2012 (2 ore) In un anello finito (commutativo, con unità) gli elementi sono o invertibili o divisori dello zero. Un dominio finito è un campo. Gruppi: notazione neutra, additiva e moltiplicativa. Monoidi, lemma sugli inversi, gli elementi invertibili di un monoide formano un gruppo. Esempi. Lezione 11. giovedí 4 ottobre 2012 (2 ore) Il gruppo U(Z/nZ) delle classi invertibili modulo n. Funzione di Eulero. Valore della funzione di Eulero per la potenze di un primo. La funzione di Eulero è moltiplicativa nel senso della teoria dei numeri (enunciato). Il caso in cui n = pq è il prodotto di due numeri primi distinti. La funzione f : Z/mnZ Z/mZ che manda [x] mn ([x] m, [x] n ) è ben definita. Esempi: m = n = 2, e m = 2, n = 3. La funzione f è iniettiva se (m, n) = 1 Lezione 12. lunedí 8 ottobre 2012 (2 ore) Sistemi di due congruenze. Come trovare una soluzione. Come trovare tutte le soluzioni. Se un sistema di due congruenze ha soluzione, allora esso equivale a una singola congruenza. Sistemi di più congruenze. La funzione f di cui sopra è suriettiva. La funzione di Eulero è moltiplicativa nel senso della teoria dei numeri. Lezione 13. martedí 9 ottobre 2012 (2 ore) Funzioni iniettive e biiettive, inverse destre e sinistre, inversa bilatera, gruppo delle permutazioni. Potenze, regole delle potenze. Periodo (o ordine) di un elemento in un gruppo. Principio del minimo intero. Eguaglianza di due potenze.

4 4 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2012/13 Lezione 14. mercoledí 10 ottobre 2012 (2 ore) Periodo di [10] in U(Z/nZ), con (10, n) = 1, e sviluppo decimale periodico di 1/n. In un gruppo finito, il periodo di un elemento divide l ordine del gruppo. (Dimostrazione nel solo caso commutativo.) Le traslazioni destre e sinistre sono funzioni biiettive. Teorema di Eulero-Fermat. Ultima cifra decimale di Lezione 15. giovedí 11 ottobre 2012 (2 ore) Il gioco del tris. Il logaritmo come esempio di isomorfismo. Il primo teorema di isomorfismo fra insiemi. Un applicazione: potenze in un gruppo. Calcolare con le potenze di un elemento di periodo t equivale a calcolare in Z/tZ. Primo teorema di isomorfismo per gruppi (enunciato). Lezione 16. lunedí 15 ottobre 2012 (2 ore) Primo teorema di isomorfismo per gruppi: relazioni compatibili. Spiegazione dell esercizio proposto all inizio del corso. Introduzione alla crittografia. Cifrario di Cesare. Il problema dello scambio in pubblico di una chiave segreta. Lezione 17. mercoledí 17 ottobre 2012 (2 ore) Rappresentazione di un intero positivo in base B > 1. RSA, Chiave pubblica e chiave privata (segreta). Esempi. Problemi: mostrare che un numero è primo, fare le potenze. Lezione 18. giovedí 18 ottobre 2012 (3 ore) Prima provetta intermedia. Lezione 19. lunedí 22 ottobre 2012 (2 ore) Numeri di Carmichael. Criteri probabilistici di primalità. Criteri deterministici: AKS. Calcolo delle potenze. Il grafico di y = 2 x. Lezione 20. martedí 23 ottobre 2012 (2 ore) Calcolo delle potenze. Polinomi: definizione formale. Grado, grado della somma e grado del prodotto. Divisione con resto. Divisibilità, ed elementi invertibili in F [x], con F un campo. Algoritmo di Euclide (esteso).

5 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2012/13 5 Lezione 21. mercoledí 24 ottobre 2012 (2 ore) Razionalizzazione. Radici di un polinomio, e regola di Ruffini. Numero di radici di un polinomio: un polinomio di grado n a coefficienti in un dominio A ha al più n radici in A. Invece se A non è un dominio, un polinomio può avere più radici del suo grado. Quadrati in F = Z/pZ. Se p è dispari, ci sono (p 1)/2 quadrati non nulli in F, e questi sono le radici del polinomio x (p 1)/2 1. Lezione 22. giovedí 25 ottobre 2012 (2 ore) Se p è un primo dispari, e a 0 (mod p), allora a (p 1)/2 1 se e solo se a è un quadrato, e a (p 1)/2 1 altrimenti. Primo teorema di isomorfismo per anelli. Prodotto diretto di anelli. Applicazione: se (m, n) = 1, allora la funzione [x] mn ([x] m, [x] n ) è un isomorfismo Z/mnZ Z/mZ Z/nZ. Radici quadrate modulo = pq, con p, q numeri primi distinti. Lezione 23. lunedí 29 ottobre 2012 (2 ore) Testa o croce per telefono. Estensioni. Estensioni semplici. Esistenza, unicità e struttura di una estensione semplice. L estensione semplice A[α] B è l immagine del morfismo valutazione v α : A[x] B, che manda a A[x] in a(α). Aritmetica su domini. Divisibilità. Elementi associati. Elementi primi e irriducibili. Lezione 24. martedí 30 ottobre 2012 (2 ore) Definizioni equivalenti di elementi irriducibili. Primo implica irriducibile. Norme su un dominio, norma speciali. In Z[i 5] l elemento 2 è irriducibile, ma non primo. Domini euclidei. In un dominio euclideo la norma è speciale, e gli irriducibili sono primi. Lezione 25. mercoledí 31 ottobre 2012 (2 ore) Interi di Gauss Z[i]. Hanno una norma speciale, e sono un dominio euclideo. Numeri primi come somma di due quadrati: se p 1 (mod 4), allora p è somma di due quadrati. Lezione 26. lunedí 5 novembre 2012 (2 ore) Ancora sulla divisione con resto negli interi di Gauss: cenno a Z[ 2] e Z[ 3]. In un dominio dotato di norma speciale, ogni elemento si può scrivere come prodotto di irriducibili. In un dominio in cui gli irriducibili sono primi, la scomposizione nel prodotto di irriducibili è (essenzialmente) unica.

6 6 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2012/13 Terne pitagoriche, terne pitagoriche primitive. Se (a, b, c) è una terna pitagorica primitiva, allora (a + ib, a ib) = 1. Lezione 27. mercoledí 7 novembre 2012 (2 ore) In un dominio a fattorizzazione unica A, se x, y, z A, x 2 = yz, e (y, z) = 1, allora y = ɛu 2, z = ηv 2, ove u, v A, e ɛ, η sono unità. Caratterizzazione delle terne pitagoriche primitive. Primo teorema di isomorfismo fra gruppi, e potenze di un elemento in un gruppo. Primo teorema di isomorfismo fra anelli, e estensioni semplici di un campo. Polinomi minimi. Lezione 28. giovedí 8 novembre 2012 (2 ore) Struttura delle estensioni semplici di un campo. Polinomio minimo e irriducibilità. Lezione 29. lunedí 12 novembre 2012 (2 ore) Irriducibilità di polinomi di gradi piccoli. Descrizione di F [x]/mf [x], con m 0, e di F [α], con α algebrico su F. Se B è un dominio, estensione del campo F, e α B è algebrico su F, con polinomio minimo m, allora m è irriducibile in F [x], e F [α] è un campo. Lezione 30. martedí 13 novembre 2012 (2 ore) Un anello commutativo B, estensione del campo F, si può vedere come uno spazio vettoriale su F. Grado (= dimensione) B : F di una estensione. Se α è algebrico su F, il grado F [α] : F è eguale al grado del polinomio minimo di α su F. Calcolo del polinomio minimo di α = su Q, mediante il calcolo del grado Q[α] : Q. Lezione 31. mercoledí 14 novembre 2012 (2 ore) Formula dei gradi, e cenno alle costruzioni con riga e compasso. Il polinomio minimo di 4 2 su Q è x 4 2, col metodo diretto. Esistenza di una estensione in cui c è una radice di un polinomio (inizio). Lezione 32. giovedí 15 novembre 2012 (2 ore) Esistenza di una estensione in cui c è una radice di un polinomio. Esempi: costruzione di C a partire da R, costruzione di campi finiti con 4 e 9 elementi. Campo di spezzamento (riducibilità completa) di un polinomio. Esistenza, cenno all unicità a meno di isomorfismi.

7 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2012/13 7 Lezione 33. lunedí 19 novembre 2012 (2 ore) Se una estensione E del campo F ha grado finito n, allora ogni elemento α di E è algebrico su F, e il grado del polinomio minimo di α su F divide n. Caratteristica di un anello commutativo B con unità. Multipli di 1, e periodo additivo di 1. Se la caratteristica di B è zero, B contiene un sottoanello isomorfo a Z. Se la caratteristica di B è m > 0, B contiene un sottoanello isomorfo a Z/mZ, e m a = 0 per ogni a B. Se B è un dominio di caratteristica m > 0, allora m è un numero primo. Un campo finito E contiene (un sottoanello isomorfo a) F p = Z/pZ, con p primo. Se E : F p = n, allora E = p n. Se E è un campo finito di ordine q = p n, allora i suoi elementi sono le radici del polinomio x q x F p [x]. Lezione 34. mercoledí 21 novembre 2012 (2 ore) Costruzione di un campo finito con q = p n elementi come insieme delle radici di f = x q x nel campo di spezzamento ( ) di f su F p = Z/pZ. p Se p è primo, allora divide, per ogni 0 < i < p. Dunque in caratteristica p i si ha (a + b) p = a p + b p. Radici multiple e criterio della derivata. Un sottogruppo moltiplicativo finito di un capo è ciclico. (Senza dimostrazione.) Un campo finito di ordine p n è della forma F p [α], ove α ha polinomio minimo di grado n. Lezione 35. giovedí 22 novembre 2012 (3 ore) Seconda provetta intermedia. Lezione 36. martedí 27 novembre 2012 (2 ore) Polinomi irriducibili di grado 2, 3 e 4 su F 2 = Z/2Z. Costruzione di campi finiti di ordine 2, 4, 8. Lezione 37. mercoledí 28 novembre 2012 (2 ore) Polinomi irriducibili di grado 2 su F 3 = Z/3Z Costruzione del campo di ordine 9. Codici a rivelazione e correzione d errore. Codice a ripetizione una e due volte. Codice a controllo di parità. Lezione 38. giovedí 29 novembre 2012 (2 ore) Codice a controllo di parità. Codici lineari: matrice del codice, matrice di controllo di parità.

8 8 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2012/13 Lezione 39. lunedí 3 dicembre 2012 (2 ore) Codici lineari binari. Rivelazione e correzione di un errore: distanza di Hamming. Il codice di Hamming basato sul polinomio x 3 + x + 1 F 2 [x]. Lezione 40. mercoledí 5 dicembre 2012 (2 ore) Dalla matrice di controllo di parità alla matrice del codice. Notazione matriciale. Un codice lineare binario rivela un errore se la matrice di controllo di parità ha tutte le colonne diverse da zero, e ne corregge uno se la matrice di controllo di parità ha colonne diverse da zero, e distinte. Il codice di Hamming corregge un errore. Lezione 41. giovedí 6 dicembre 2012 (2 ore) Codici di Hamming in generale, codifica e decodifica. Lezione 42. lunedí 10 dicembre 2012 (2 ore) Il legame fra i codici di Hamming basati sui polinomi x 3 +x+1, x 3 +x 2 +1 F 2 [x]. Sottogruppi di un gruppo. Sottogruppi di Z. Classi laterali, Teorema di Lagrange, e corollario sull ordine degli elementi in un gruppo finito. Relazioni di equivalenza su un anello compatibili con le operazioni, e morfismi suriettivi. Lezione 43. martedí 11 dicembre 2012 (2 ore) Sottoanelli e ideali. Il nucleo di un morfismo è un ideale. La relazione di congruenza modulo un ideale è una relazione di equivalenza compatibile con le operazioni. Anello quoziente. Primo teorema di isomorfismo fra anelli con gli ideali. Sottoanelli e ideali di Z. Ideali di un dominio euclideo. Lezione 44. mercoledí 12 dicembre 2012 (2 ore) Secondo teorema di isomorfismo fra anelli. Un applicazione sugli interi: ab = (a, b) [a, b]. Il gruppo delle funzioni x ax + b, con a = ±1, su R e su F 3. Lezione 45. giovedí 13 dicembre 2012 (2 ore) Sottogruppi normali, e primo teorema di isomorfismo fra gruppi.

9 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2012/13 9 Lezione 46. lunedí 17 dicembre 2012 (2 ore) Ancora sui teoremi di isomorfismo. Fibre di una funzione e iniettività. Un morfismo è iniettivo se e solo se il nucleo ha un solo elemento. Ordine di una potenza di un elemento. Tutti i sottogruppi di un gruppo commutativo sono normali. Applicazione: un gruppo ciclico di ordine m ha un unico sottogruppo di ordine h, per ogni divisore h di m. Lezione 47. mercoledí 19 dicembre 2012 (2 ore) Terzo teorema di isomorfismo per i gruppi. Lezione 48. giovedí 20 dicembre 2012 (3 ore) Terza provetta intermedia. Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Trento, via Sommarive 14, Trento address: andrea.caranti@unitn.it URL: