Statistica a lungo termine: calcolo dell onda di progetto

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1 Esercitazione Statistica a lungo termine: calcolo dell onda di progetto Sulla base delle misure ondametriche effettuate dalla boa di Ponza si calcoli, utilizzando la distribuzione di probabilità di Gumbel, l altezza dell onda con tempo di ritorno pari a,,,,,, anni. Inoltre si calcoli la probabilità che ciascuna di tali onde si verifichino durante un intervallo di tempo pari a e anni.. Svolgimento.. Misure ondametriche Il dato di partenza per lo svolgimento dell esercitazione è costituito dalle misure ondametriche direzionali effettuate dalla boa di Ponza, la quale fa parte della Rete Ondametrica Nazionale (RON). Le registrazioni effettuate dalla boa nel periodo //99-// sono riportate graficamente nelle figure.-. in termini di altezza d onda significativa. Per semplicità non è riportata la direzione di provenienza del moto ondoso e dunque le analisi sono condotte senza dividere le onde per settori di provenienza. Il primo passo per lo svolgimento dell esercitazione consiste nel selezionare le altezze d onda significative al colmo di mareggiate indipendenti di particolare intensità. Si richiede di effettuare la selezione utilizzando il metodo POT, stabilendo un valore di soglia ed individuando nella registrazione le altezze d onda che al colmo delle mareggiate sono maggiori del valore di soglia prescelto. Si suggerisce inoltre di provare, una volta terminata l esercitazione basata sul POT, a selezionare le onde mediante il metodo dei massimi annuali, ovvero estraendo le massime altezze d onda che si verificano nell anno meteorologico (dal luglio al giugno)... Stima dei parametri della distribuzione di probabilità La stima dei parametri della distribuzione di probabilità può essere effettuata, nella presente esercitazione, mediante applicazione del metodo dei minimi quadrati. Secondo tale metodo i parametri della distribuzione di probabilità possono essere stimati riportando su un grafico con scale distorte le probabilità di non superamento della serie campionaria e adattando ad esse una retta che rappresenta la distribuzione considerata. Nel caso della distribuzione di Gumbel, la quale viene comunemente

2 Esercitazioni dei corsi di Ingegneria Costiera - Anno Accademico - scritta nella forma H ɛ e θ P (H) = e nella quale P è la probabilità che l altezza significativa H non venga superata, i parametri da determinare sono ɛ e θ, detti rispettivamente fattore di posizoine e di scala. La distribuzione di Gumbel è rappresentata da una retta con inclinazione pari a θ e intercetta dell asse y pari a ɛ θ in un piano nel quale per ascissa si utilizzi H e per ordinata ln { ln [P (H)]}. E necessario ordinare per altezze d onda decrescenti il campione statistico ottenuto mediante applicazione del metodo POT. Si introduca inoltre, in una colonna, un contatore m che vale per l altezza d onda massima e m = N per l altezza d onda minima, dove N è il numero totale di altezze significative considerate, ovvero la numerosità del campione. Per ogni elemento della serie (ovvero per ogni altezza significativa H m ) si calcola la frequenza campionaria di non eccedenza F (H m ) mediante la formula F (H m ) = m N + e si assume che essa coincida con la probabilità di non superamento. Successivamente si riportano su un grafico in scala distorta le probabilità di non superamento. E necessario dunque calcolare in una colonna della tabella il valore dell ordinata y = ln { ln [P (H m )]} corrispondente a ciascuna altezza significativa H m e realizzare (ad esempio mediante il programma Excel) un grafico del tipo XY (x = H m, y = ln { ln [F (H m )]}). A questo punto è possibile individuare la retta che meglio approssima la nuvola di punti, interpolando i dati con una linea di tendenza di tipo lineare (se si utilizza il programma Excel si può richiedere al programma di visualizzare l equazione della retta e il coefficiente di regressione R ). I parametri della distribuzione di probabilità possono essere direttamente calcolati in funzione della pendenza a e dell intercetta b della retta di regressione y = ax + b, in particolare (.) (.) θ = a ɛ = b θ. (.).. Calcolo dell altezza d onda corrispondente ad un assegnato tempo di ritorno Il tempo di ritorno T r (H) è legato, per mezzo del tempo di ritorno corretto Tr illustrato piú avanti, alla probabilità di non superamento dalla seguente relazione il cui significato é P (H) = T r (H). (.) Assegnato il tempo di ritorno è quindi possibile calcolare la probabilità P e, una volta noti i parametri della distribuzione di probabilità θ e ɛ, utilizzare l inverso della (.) per ottenere l altezza d onda corrispondente ad un assegnato tempo di ritorno. L inverso della (.) assume la seguente forma H = ɛ + θ { ln [ ln (P )]}. (.) Si tenga presente che le formule sopra riportate sono valide nel caso in cui vi sia esatta corrispondenza tra numero di misure e numero di anni di osservazione. Nel caso in esame, in cui tale condizione non è verificata, è necessario correggere il tempo di ritorno per tenere conto della Università degli Studi di Roma Tre - DSIC

3 Esercitazioni dei corsi di Ingegneria Costiera - Anno Accademico - disuguaglianza. In particolare nel calcolo della P corrispondente ad un assegnato tempo di ritorno T r (equazione.) va utilizzato il tempo di ritorno corretto T r, calcolato mediante la T r = T r N M. (.) nella quale M è il numero di anni di osservazione e N il numero di mareggiate considerate. Nel presente caso gli anni di osservazione sono, ma tenendo conto di un rendimento del 9% della boa ondametrica si suggerisce di utilizzarem =.9 =. anni... Calcolo della probabilità con cui i valori estremi dell altezza d onda si verificano La probabilità con cui i valori estremi dell altezza d onda si verificano in un intervallo di tempo pari a n anni è calcolabile mediante la seguente espressione ( P P = ) n (.) T r la quale va dunque applicata ponendo n = e n = per tutte le altezze significative corrispondenti ai tempi di ritorno richiesti... Regressione lineare con il metodo dei minimi quadrati I parametri della retta di equazione y = ax + b che meglio interpola due vettori di dati x i e y i possono essere determinati mediante il metodo dei minimi quadrati. Definite la varianza e la covarianza S xx = N (xi x) (.) S xy = N (xi x) (y i ȳ) (.9) nelle quali x e ȳ rappresentano i valori medi dei vettori di dati x e y, i parametri della retta sono esprimibili come a = S xy S xx (.) b = ȳ a x. (.) Università degli Studi di Roma Tre - DSIC

4 Esercitazioni dei corsi di Ingegneria Costiera - Anno Accademico anno //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 Figura.: Misure di moto ondoso della boa di Ponza. Altezza significativa Università degli Studi di Roma Tre - DSIC

5 Esercitazioni dei corsi di Ingegneria Costiera - Anno Accademico - //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 Figura.: Misure di moto ondoso della boa di Ponza. Altezza significativa Università degli Studi di Roma Tre - DSIC

6 Esercitazioni dei corsi di Ingegneria Costiera - Anno Accademico - //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 //9 Figura.: Misure di moto ondoso della boa di Ponza. Altezza significativa Università degli Studi di Roma Tre - DSIC

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8 Esercitazioni dei corsi di Ingegneria Costiera - Anno Accademico - // // // // // // // // // // // // // // // Figura.: Misure di moto ondoso della boa di Ponza. Altezza significativa Università degli Studi di Roma Tre - DSIC

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