ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO. Angela Donatiello 1

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1 ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO Agela Doatiello 1

2 Esercizio. E stato tabulato il peso di ua certa popolazioe di idividui. Si determii: a. il peso medio come media aritmetica, poi come moda e ifie come mediaa; b. lo scarto quadratico medio (o deviazioe stadard) sulla popolazioe e sul campioe c. si costruisca ifie u istogramma delle frequeze. Agela Doatiello

3 Peso i kg Fi desità_f fr Fcumulate fr_cumul fr_cumul_% Xci Xci * Fi Xci^ (Xi^)*Fi [40;45) 0,4 0,0 0,0 1,67 4, ,5 361,5 [45;50) 1,4 0,1 14 0,1 11,67 47, , [50;55) 1 4, 0, ,9 9,17 5,5 110,5 756, ,5 [55;60) 17 3,4 0,14 5 0,43 43,33 57,5 977,5 3306,5 5606,5 [60;65) 18 3,6 0, ,58 58,33 6, ,5 7031,5 [65;70) 4,4 0,18 9 0,77 76,67 67, , ,5 [70;75) 18 3,6 0, ,9 91,67 7, ,5 9461,5 [75;80) 7 1,4 0, ,98 97,5 77,5 54,5 6006,5 4043,75 [80;90) 3 0,3 0, Totali , ,5 media 6,06 variaza_pop 95,38 dev_sta_pop 9,77 variaza_camp 18,55 dev_sta_cam 11,34 Per determiare la mediaa ricordo che, essedo ua distribuzioe di frequeze, è ecessario guardare le frequeze cumulate. Il 60 e il 61 dato cadoo ella classe [60;65) Essedo ua distribuzioe co classi, la mediaa si calcola co la formula: fi f cumul _ i 1 ampiezza ( 60 5) 5 mediaa = x mi_ it ervallo + = 60 + = 6,kg f 18 i Agela Doatiello 3

4 desità_f desità di frequeza 5 4,5 4 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 [40,45) [45,50) [50;55) [55;60) [60;65) [65;70) [70;75) [75;80) [80;90) peso i kg desità_f Esercizio. Tratto dal tema d esame del 1/09/011 Agela Doatiello 4

5 Iazitutto bisoga valutare se è sigificativo ricercare ua regressioe lieare dei dati otteuti. Ciò sigifica che bisoga iazitutto accertarsi se esiste o meo ua correlazioe lieare tra i dati. Tale valutazioe parte dall aalisi della ube di dati e dal calcolo del σxy coefficiete di correlazioe lieare r =. Ricordiamo che per il calcolo di r è σ σ x y ecessario cooscere la covariaza delle variabili x e y e le deviazioi stadard di etrambe rispetto alle rispettive medie aritmetiche. Calcoliamo tutti gli elemeti utili: = 4 x x i yi x = y = = 7, 1667 ( xi x) xi = x = 4. σ, Variaza della X σ = 667 Deviazioe stadard X σ = 16 x x = ( yi y) yi Variaza della Y σ y = = y = 3, 8 Deviazioe stadard Y σ = σ 4, 87 y y = ( xi x)(yi y) xiyi xy = = x y = Covariaza σ 10, 5 Agela Doatiello 5

6 σxy Coefficiete di correlazioe r = = 0,996 r = 0, 994 (di Bravais Pearso) σ σ x y r è prossimo ad 1, pertato c è ua forte correlazioe lieare positiva A questo puto ricerchiamo l equazioe della retta di regressioe mediate il metodo dei miimi quadrati. Sappiamo che la retta avrà equazioe y = mx + q, co m = (xi x)(yi y) σxy = =,5 q = y mx = 1, (x x) σ 833 i x y =,5x 1,833 Si ricorda ifie che tale retta e ricercabile scrivedo l equazioe del fascio proprio di rette (xi x)(yi y) σxy di cetro ( x; y) e avete coefficiete agolare m = = =, 5 (x x) σ i x y y = m(x x) Agela Doatiello 6

7 Xi Yi Xi^ Yi^ XiYi Totali xm 4 covariaza 10,5 ym 7, variaza x 4, xm^ 16 variaza y 3,80556 ym^ 51,36111 dev_sta_x,16047 xm*ym 8,66667 dev_sta_y 4, r 0,996 r^ 0,99415 m,5 Titolo del grafico y =,5x - 1,8333 R = 0,994 asse y Yi Lieare (Yi) asse x Agela Doatiello 7

8 Esercizio. Tratto dal tema d esame del 19/06/01 Esercizio. Tratto dal tema d esame del 18/07/011 Agela Doatiello 8

9 Esercizio. Tratto dal tema d esame del 01/03/011 σxy Iazitutto bisoga valutare il coefficiete di correlazioe lieare r =. σx σy x i yi Calcoliamo tutti gli elemeti utili: x = = 1 y = = 3, 5 ( xi x) xi Variaza della X σ x = = x = Deviazioe stadard X σ = σ, 16 x x = ( yi y) yi Variaza della Y σ y = = y =, 9 Deviazioe stadard Y σ = σ 1, 71 y y = Agela Doatiello 9

10 ( xi x)(yi y) xiyi r σxy σ σ = 0,9939 r Covariaza σ = = x y 3, 67 xy = Coefficiete di correlazioe = = 0, 9878 (di Bravais Pearso) x y r è prossimo ad 1, pertato c è ua forte correlazioe lieare positiva A questo puto ricerchiamo l equazioe della retta di regressioe mediate il metodo dei miimi quadrati. Sappiamo che la retta avrà equazioe y = mx + q, co m = (xi x)(yi y) σxy = = 0,7857 q = y mx =, (x x) σ 7143 i x y = 0,7857x +,7143 Agela Doatiello 10

11 Xi Yi Xi^ Yi^ XiYi Xi-xm (Xi-xm)^ Yi-ym (Yi-ym)^ (xi-xm)(yi-ym) ,5 6,5 7, ,5, ,5 0,5 0, ,5 0,5 0, ,5, ,5 6,5 7,5 Totali ,5 xm 1 covariaza 3, covariaza 3, cov_camp ym 3,5 variazax 4, variazax 4, var_camp_x 5,6 xm^ 1 variazay, variazay, var_camp_y 3,5 ym^ 1,5 dev_sta_x,16047 dev_s_camp_x,36643 xm*ym 3,5 dev_sta_y 1,70785 dev_s_camp_y 1,87089 r 0, r^ 0, m 0, Yi y = 0,7857x +,7143 R² = 0, Yi Lieare (Yi) Agela Doatiello 11

12 Esercizio. Tratto dal tema d esame del 7/09/01 Esercizio. Tratto dal tema d esame del 19/07/01 Agela Doatiello 1

13 Esercizio. Tratto dal tema d esame del 19/04/01 Esercizio. Su u campioe di 100 pesci di u lago vegoo rilevati due caratteri: la lughezza (X) i cm e la razza (Y). E data la seguete tabella a doppia etrata delle frequeze cogiute di due caratteri. Y Triche Carpe Orate X 0 < x < < x < < x < Si determiio: le distribuzioi margiali di X e Y; la distribuzioe di X, codizioata dalla modalità carpe di Y; la lughezza media dei pesci sul campioe aalizzato; la lughezza media delle carpe riveute el campioe aalizzato. Agela Doatiello 13

14 Esercizio. Le vedite di u certo bee e i relativi profitti totali (i euro) soo riportati ella seguete tabella: Vedite Profitti Si chiede di: a. rappresetare i dati tramite u diagramma cartesiao a dispersioe; b. costruire, tramite la retta di regressioe dei dati, u modello che esprima il profitto i fuzioe delle vedite; (iterpolazioe) c. determiare il coefficiete di correlazioe lieare tra le vedite e i profitti, commetadoe il valore; d. determiare quale possa essere stato il profitto totale relativo ad ua vedita di 1400 uità; (estrapolazioe) e. determiare quale possa essere stato il profitto totale relativo ad ua vedita di 400 uità. (estrapolazioe) Agela Doatiello 14

15 Esercizio. Nel rilevare le altezze di u gruppo di reclute si è otteuta la seguete tabella delle frequeze. Si determii la media aritmetica, gli scarti e la loro somma, la media geometrica e la media armoica. Si calcoli la variaze e la deviazioe stadard (sul campioe). Si determiio la moda e la mediaa. Si rappreseti u istogramma delle frequeze. Si valutio gli idici di forma (asimmetria e curtosi) e si cofroti quidi l istogramma trovato co la curva ormale di Gauss. Agela Doatiello 15