Teoria dei Segnali Trasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici
|
|
- Aureliano Nardi
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8 Contenuto Ritardo casuale Segnale binario casuale 3 Proprietà dell autocorrelazione 4 Somma di processi stocastici 5 Media temporale 6 Funzione caratteristica Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8
2 Segnale ritardato in modo casuale (/4) Un segnale deterministico x(t), periodico con periodo 0, viene ritardato di un tempo Θ non noto. Questa situazione, tipica ad esempio di tutti i segnali di eco, può essere descritta dal processo stocastico: X(t) x(t Θ) in cui la variabile casuale è il tempo di ritardo Θ. Vogliamo calcolare la media e l autocorrelazione di X(t). Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 3 / 8 Segnale ritardato in modo casuale (/4) Il valor medio del processo stocastico X(t) x(t Θ) calcolato rispetto al tempo di ritardo Θ, si ottiene partendo dalla relazione: E (g(z)) + g(z)f Z (z)dz Sostituiamo Θ a Z, f Θ (ϑ) a f Z (z), e x(t ϑ) a g(z), e integriamo solo sul periodo 0, per cui la densità di probabilità (uniforme) risulta essere f Θ (ϑ) 0. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 4 / 8
3 Segnale ritardato in modo casuale (3/4) Otteniamo il valor medio del processo stocastico X(t): E(X) t x(t ϑ) 0 dϑ t 0 x(α)dα dove nell ultimo passaggio è stata usata la sostituzione α t ϑ. L integrale ottenuto è la media temporale (sul periodo) del segnale deterministico x(t), e quindi E(X) è indipendente dal tempo. Il processo stocastico X(t) è stazionario in valor medio. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 5 / 8 Segnale ritardato in modo casuale (4/4) L autocorrelazione del p.s. X(t) si calcola in modo analogo: R XX (t,t ) E(x(t Θ)x(t Θ)) 0 x(t ϑ)x(t ϑ)dϑ t t 0 x(α)x(α + t t )dα con la sostituzione α t ϑ. L autocorrelazione di X(t) dipende solo da τ t t, e coincide con l autocorrelazione di x(t): R XX (t,t ) R XX (τ) R x (τ) Il processo stocastico X(t) è stazionario in senso lato. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 6 / 8 3
4 Segnale binario casuale (/5) Consideriamo la trasmissione seriale di dati binari ritardata di un tempo Θ non noto: X(t) V(t Θ) dove V(t) V[n] per n t < (n + ) con V[n] ±V. Il processo stocastico X(t) descrive matematicamente il segnale ricevuto da un ricevitore il cui segnale di clock è scorrelato rispetto al clock del trasmettitore. Se i due valori +V e V sono equiprobabili, il valor medio è E(X) 0. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 7 / 8 Segnale binario casuale (/5) Per il calcolo dell autocorrelazione, osserviamo che si può scrivere V(t) in questo modo: + t n V(t) V[n]rect n t n ) perché la funzione rect( vale nell intervallo (n,(n + )), e 0 altrove. Quindi si può scrivere: + t Θ n X(t) V[n]rect n Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 8 / 8 4
5 Segnale binario casuale (3/5) R XX (t,t ) + E V t Θ n rect rect t Θ n n + V E rect t Θ n rect t Θ n n + V t ϑ n rect n 0 rect t ϑ n dϑ V + t n α rect n t n rect α t + t dϑ V + α rect rect α τ dα Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 9 / 8 Segnale binario casuale (4/5) Nei passaggi precedenti è stata usata la sostituzione α t ϑ n. L autocorrelazione R XX (τ) V + α rect rect α τ dα dipende solo da τ t t, quindi il processo stocastico X(t) è stazionario in senso lato. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 0 / 8 5
6 Segnale binario casuale (5/5) + R XX (τ) V ( τ ) R XX α rect rect ( τ ) rect (τ) V α τ dα 0 τ Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8 Proprietà dell autocorrelazione L autocorrelazione R XX (τ) di un p.s. stazionario reale X(t) ha le stesse proprietà dell autocorrelazione di un segnale deterministico reale: R XX (τ) è reale e pari R XX (0) E ( (X(t)) ) P X (potenza media) R XX (0) R XX (τ) per τ se R XX (τ) non è periodica, R XX ( ) m X Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8 6
7 Media della somma Consideriamo due processi stocastici stazionari X(t) e Y(t), aventi media m X e m Y. La loro somma è il processo stocastico stazionario Z(t) X(t) + Y(t), che ha valor medio: m Z m X + m Y Xf X (x)dx + (X + Y)f(x,y)dxdy Xf(x,y)dxdy Yf Y (y)dy La media della somma è uguale alla somma delle medie. Yf(x,y)dxdy Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 3 / 8 Varianza della somma (/3) Per calcolare la varianza, calcoliamo il momento del secondo ordine del p.s. stazionario Z(t) X(t) + Y(t): E(Z ) E ( (X + Y) ) + X f(x,y)dxdy + (X + Y) f(x,y)dxdy XYf(x,y)dxdy X f X (x)dx + E(X ) + E(Y ) + Y f(x,y)dxdy+ Y f Y (y)dy + XYf(x, y)dxdy XYf(x,y)dxdy Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 4 / 8 7
8 Varianza della somma (/3) Se i p.s. X(t) e Y(t) sono indipendenti, allora f(x,y) f X (x) f Y (y) e si può calcolare anche l ultimo integrale, ottenendo: E(Z ) E(X ) + E(Y ) + E(X ) + E(Y ) + E(X ) + E(Y ) + XYf(x,y)dxdy XYf X (x)f Y (y)dxdy Xf X (x)dx E(X ) + E(Y ) + E(X) E(Y) Yf Y (y)dy Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 5 / 8 Varianza della somma (3/3) Se i p.s. X(t) e Y(t), oltre ad essere indipendenti, sono anche a media nulla (o almeno uno dei due è a media nulla), allora anche il momento del secondo ordine di Z è la somma dei momenti del secondo ordine di X e Y: E(Z ) E(X ) + E(Y ) e la varianza della somma è la somma delle varianze: σ Z σ X + σ Y Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 6 / 8 8
9 Somma di rumore bianco In un sistema che comprende più sorgenti indipendenti di rumore bianco W,W,...,W k che vengono sommate fra di loro, il processo stocastico risultante W(t) k i W i(t) è ancora un rumore bianco a media nulla (perché tutti i W i sono a media nulla), e con varianza: Il valore rms del p.s. W(t) è: σ W k i σ W i W rms σ W k i σ W i Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 7 / 8 Esempio: medie temporali (/3) Si deve effettuare la misura di una grandezza (ad esempio, una tensione costante V) a cui è sovrapposto un rumore bianco additivo W(t). La misura può essere effettuata prendendo un solo campione del processo stocastico V + W(t): il valor medio è la costante V (perché W(t) ha media nulla); la varianza è σ (perché V ha varianza nulla). W Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 8 / 8 9
10 Esempio: medie temporali (/3) Il rapporto segnale-rumore o SNR ( Signal-to-Noise Ratio) è definito come il rapporto tra la potenza normalizzata del segnale e la varianza del rumore: SNR V Solitamente, il rapporto segnale-rumore è espresso in un unità di misura logaritmica, chiamata decibel: SNR db 0log 0 V σ W σ W ( ) V 0log 0 0log σ 0 W V σ W Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 9 / 8 Esempio: medie temporali (3/3) Facendo la somma di N campioni presi in istanti diversi (t,t,...,t N ), si ottiene la variabile aleatoria N N X (V + W(t i )) NV + W(t i ) il valor medio è NV; la varianza è Nσ W ; i NV il rapporto segnale-rumore è V N N σw σw. Prendendo N campioni (indipendenti) della grandezza da misurare, il rapporto segnale-rumore migliora di N (cioè si aggiungono 3 db ad ogni raddoppio del numero di campioni). i Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 0 / 8 0
11 Densità di probabilità della somma (/6) La densità di probabilità del p.s. Z(t) X(t) + Y(t) si calcola a partire dalla funzione cumulativa di distribuzione: F Z (z) Pr{Z z} Pr{X + Y z} Pr{X,Y z X} 00 y z x + y z z x x + y < z Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8 Densità di probabilità della somma (/6) F Z (z) Pr{X,Y < z X} z x x y z x y [x+y z] f X (x)f Y (y)dydx f X (x)f Y (y)dxdy x Derivando la F Z rispetto a z, di ottiene la pdf f Z : f Z (z) df Z(z) dz f X (x)f Y (y)dxdy f X (x)f Y (z x)dx f X (z) f Y (z). La densità di probabilità della somma di due processi stocastici indipendenti è uguale alla convoluzione delle densità di probabilità dei due addendi. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8
12 Densità di probabilità della somma (3/6) Nel caso in cui entrambi gli addendi abbiano densità di probabilità gaussiana: f X (x) π σx e (x /σ X) ; fy (y) π σy e (y /σ Y) allora la densità di probabilità della somma Z X + Y è: f Z (z) πσ X σ Y πσ X σ Y e (x /σ X) e ((z x) /σ Y) dx e (x (/σ X +/σ Y) xz/σ Y +z /σ Y) dx Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 3 / 8 Densità di probabilità della somma (4/6) Per calcolare agevolmente l integrale, occorre fare in modo che la funzione integranda abbia la forma: e (u +cz ) Uguagliando gli esponenti e svolgendo i calcoli, si ottiene: u x + z σ σ X Y σ + Y σ σ X Y c σ X + σ Y Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 4 / 8
13 Densità di probabilità della somma (5/6) Sostituendo la variabile u nella funzione integranda, si ha: f Z (z) π σ X + σ Y e u / du e z /(σ X +σ Y) L ultimo termine esponenziale dipende solo da z e quindi è stato portato fuori dal segno di integrale. Inoltre, e u / du π. Quindi risulta: f Z (z) π ( /(σ σ X + ) e z X +σ Y) e z /σ π σ σ Y che è una pdf gaussiana con varianza σ σ X + σ Y. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 5 / 8 Densità di probabilità della somma (6/6) Se gli addendi non hanno pdf gaussiana, la pdf della somma tende comunque ad una gaussiana all aumentare del numero di addendi. Esempio con pdf uniforme in [0, ]:.5 f f f f * f f4 f * f * f * f (4 volte) f8 f * f * f * f *... (8 volte) f6 f * f * f * f *... (6 volte) Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 6 / 8 3
14 Funzione caratteristica (/) La pdf della somma di due p.s. aventi pdf gaussiana si può ricavare anche in un altro modo, definendo la funzione caratteristica Φ X (ω): Φ X (ω) E ( e jωx) e jωx f X (x)dx In pratica, la funzione caratteristica è la trasformata di Fourier della densità di probabilità (con il segno +, invece che, nell esponenziale). Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 7 / 8 Funzione caratteristica (/) Per le proprietà delle trasformate di Fourier, alla convoluzione delle pdf corrisponde il prodotto delle funzioni caratteristiche: Φ Z (ω) Φ X (ω) Φ Y (ω) Poiché la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana, Φ X (ω) e Φ Y (ω) sono gaussiane, e quindi anche il loro prodotto è una gaussiana. Di conseguenza, è una gaussiana anche f Z (z), che è l antitrasformata (con il segno, invece che +, nell esponenziale) di Φ Z (ω). Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 8 / 8 4
Teoria dei Segnali Un esempio di processo stocastico: il rumore termico
Teoria dei Segnali Un esempio di processo stocastico: il rumore termico Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria dei Segnali Il rumore
Dettagli1) Entropia di variabili aleatorie continue. 2) Esempi di variabili aleatorie continue. 3) Canali di comunicazione continui. 4) Canale Gaussiano
Argomenti della Lezione 1) Entropia di variabili aleatorie continue ) Esempi di variabili aleatorie continue 3) Canali di comunicazione continui 4) Canale Gaussiano 5) Limite di Shannon 1 Entropia di una
DettagliRipasso segnali e processi casuali. Trasmissione dell Informazione
Ripasso segnali e processi casuali 1 Breve ripasso di segnali e trasformate Dato un segnale s(t), la sua densità spettrale si calcola come dove S(f) è la trasformata di Fourier. L energia di un segnale
DettagliPulse Amplitude Modulation (PAM) 2 Scelta delle risposte impulsive dei filtri in trasmissione e ricezione
Pulse Amplitude Modulation (PAM 1 Definizione La trasmissione di una sequenza di numeri {a k } mediante un onda PAM consiste nel generare, a partire dalla sequenza {a k } il segnale a tempo continuo u(t
DettagliTeoria dei Segnali. 1 Proprietà della trasformata di Fourier. correlazione tra segnali; autocorrelazione
Teoria dei Segnali Proprietà della trasformata di Fourier; correlazione tra segnali; autocorrelazione Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it
DettagliProva di AUTOVALUTAZIONE (novembre 2009). nota: l esame ha validità solo se incluso nel piano degli studi per l anno accademico corrente.
UNIVERSITA DEGLI STUDI ROMA TRE CdS in Ingegneria Informatica corso di FONDAMENTI DI TELECOMUNICAZIONI Prova di AUTOVALUTAZIONE (novembre 2009). COMPITO A nota: l esame ha validità solo se incluso nel
DettagliComunicazioni Elettriche anno accademico Esercitazione 1
Comunicazioni Elettriche anno accademico 003-004 Esercitazione Esercizio Un processo aleatorio a tempo discreto X(n) è definito nel seguente modo: Viene lanciata una moneta. Se il risultato è testa X(n)=
DettagliTeoria dei Segnali Covarianza, correlazione e densità spettrale di potenza; processi stocastici stazionari
Teoria dei Segnali Covarianza, correlazione e densità spettrale di potenza; processi stocastici stazionari Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it
DettagliModulazioni di ampiezza
Modulazioni di ampiezza 1) Si consideri un segnale z(t) modulato in ampiezza con soppressione di portante dal segnale di informazione x(t): z(t) = Ax(t)cos(2πf 0 t) Il canale di comunicazione aggiunge
DettagliCorso di Fondamenti di Telecomunicazioni
Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Prof. Mario Barbera [parte ] Variabili aleatorie Esempio: sia dato l esperimento: Scegliere un qualunque giorno non festivo della settimana, per verificare casualmente
DettagliPROCESSI CASUALI 1 Fondamenti di segnf a o lin d e a t m ra e s n mtii s T si L o C ne
PROCESSI CASUALI Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC Segnali deterministici Un segnale (t) si dice deterministico se è una funzione nota di t, cioè se ad un qualsiasi istante di tempo t
DettagliCANALE STAZIONARIO CANALE TEMPO INVARIANTE
CANALE STAZIONARIO Si parla di un Canale Stazionario quando i fenomeni che avvengono possono essere modellati da processi casuali e le proprietà statistiche di tali processi sono indipendenti dal tempo.
DettagliCAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE. Y(f) Y(f-15) Y(f+15) f[hz] Yc(f) Y(f) Y(f-17.5) Y(f+17.5) Yc(f) Esercizio 1
CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE Esercizio 1 Dato il segnale y(t), con trasformata di Fourier Y(f) rappresentata in figura, rappresentare lo spettro del segnale ottenuto campionando idealmente y(t) con a)
DettagliCorso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Modulazione A.A Alberto Perotti
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Modulazione A.A. 8-9 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Modello di sistema di comunicazione Il modello di sistema di comunicazione
DettagliTeoria dei Segnali Quantizzazione dei segnali; trasformata zeta
Teoria dei Segnali Quantizzazione dei segnali; trasformata zeta Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria dei Segnali Quantizzazione;
DettagliTeoria dei Segnali Richiami ai numeri complessi; serie e trasformata di Fourier
Teoria dei Segnali Richiami ai numeri complessi; serie e trasformata di Fourier Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria dei Segnali
DettagliElettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 2
Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013 Crema e-mail: liberali@dti.unimi.it
DettagliEsame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni. 12 luglio 2004
Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni luglio 4 Esercizio Un sacchetto A contiene caramelle ai gusti fragola, limone e lampone. Un sacchetto B contiene caramelle
DettagliEsercitazione del 06/03/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità
Esercitazione del 6/3/ Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato barbato@math.unipd.it Esercizio. E la notte di San Lorenzo, Alessandra decide di andare a vedere le stelle cadenti. Osserverà
DettagliTeoria dei Segnali Densità spettrale di energia e di potenza; campionamento e teorema di Shannon
Teoria dei Segnali Densità spettrale di energia e di potenza; campionamento e teorema di Shannon Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria
DettagliCorso di Fondamenti di Telecomunicazioni Esercizi Teoria dei segnali Prof. Giovanni Schembra
Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Esercizi Teoria dei segnali Prof. Giovanni Schembra Sommario CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI.... ESERCIZIO.... ESERCIZIO... 5.3 ESERCIZIO 3 CONVOLUZIONE...
DettagliCalcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale a.a. 2016/17
Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale aa 6/ Punteggi: : 3 + 6; : + + + ; 3: + Una scatola contiene monete; 8 di queste sono equilibrate, mentre le
DettagliMaria Prandini Dipartimento di Elettronica e Informazione Politecnico di Milano
Note relative a test di bianchezza rimozione delle componenti deterministiche da una serie temporale a supporto del Progetto di Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Maria Prandini Dipartimento
DettagliPROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2006/07
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 006/07 Esercizio 1 Prova scritta del 16/1/006 In un ufficio postale lavorano due impiegati che svolgono lo stesso compito in maniera indipendente, sbrigando
DettagliDerivata materiale (Lagrangiana) e locale (Euleriana)
ispense di Meccanica dei Fluidi 0 0 det 0 = [ (0 ) + ( ( ) ) + (0 0 ) ] = 0. Pertanto, v e µ sono indipendenti tra loro e costituiscono una nuova base. Con essi è possibile descrivere altre grandezze,
DettagliCAPITOLO 9. Vettori Aleatori
CAPITOLO 9 Vettori Aleatori 9 9 Vettori Aleatori 3 9 Vettori Aleatori In molti esperimenti aleatori, indicando con Ω l insieme dei possibili risultati, al generico risultato dell esperimento, ω Ω, sono
DettagliQUANTIZZAZIONE E CONVERSIONE IN FORMA NUMERICA. 1 Fondamenti Segnali e Trasmissione
UANTIZZAZIONE E CONVERSIONE IN FORMA NUMERICA Fondamenti Segnali e Trasmissione Campionamento e quantizzazione di un segnale analogico Si consideri il segnale x(t) campionato con passo T c. Campioni del
Dettagli5. Distribuzioni. Corso di Simulazione. Anno accademico 2009/10
Anno accademico 2009/10 Spazio di probabilità Ω spazio campione F 2 Ω spazio degli eventi: (i) Ω F (ii) A F = Ω \ A F (iii) A, B F = A B F P: F [0, 1] funzione di probabilità: (i) P(A) 0 (ii) P(Ω) = 1
DettagliProbabilità e Statistica per l Informatica Esercitazione 4
Probabilità e Statistica per l Informatica Esercitazione 4 Esercizio : [Ispirato all Esercizio, compito del 7/9/ del IV appello di Statistica e Calcolo delle probabilità, professori Barchielli, Ladelli,
Dettagli01CXGBN Trasmissione numerica. parte 6: calcolo delle probabilità I
01CXGBN Trasmissione numerica parte 6: calcolo delle probabilità I 1 Probabilità di errore BER e SER Per rappresentare la bontà di un sistema di trasmissione numerica in termini di probabilità di errore
DettagliRICHIAMI SU PROCESSI ALEATORI E DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA
RICHIAMI SU PROCESSI ALEATORI E DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA Paolo Bestagini Ph.D. Student bestagini@elet.polimi.it http://home.deib.polimi.it/bestagini Sommario 2 Segnali deterministici Continui Discreti
DettagliAnalisi della disponibilità d acqua. Valutazione dell impianto attraverso il calcolo di un indice economico (criterio)
Analisi della disponibilità d acqua Valutazione dell impianto attraverso il calcolo di un indice economico (criterio) Approccio diverso a seconda del criterio di valutazione Nel caso di criterio statistico
DettagliCompito di Analisi Matematica III. Compito A
c.d.l. Ingegneria elettronica e c.d.l. Ingegneria Informatica (M Z) 7 gennaio 2008. Determinare i residui nei punti singolari e nel punto all infinito della funzione z 2 sen z + 2. Determinare la trasformata
Dettagli3. Distribuzioni. Corso di Simulazione. Anno accademico 2006/07
Anno accademico 2006/07 Spazio di probabilità Ω spazio campione F 2 Ω spazio degli eventi: (i) Ω F (ii) A F = Ω \ A F (iii) A, B F = A B F P: F [0, 1] funzione di probabilità: (i) P(A) 0 (ii) P(Ω) = 1
DettagliConcetti di base: segnali - Classificazione dei segnali -
Corso di Tecnologie per le Telecomunicazioni e sviluppo in serie di Fourier 1 - Classificazione dei segnali - Le forme d onda di interesse per le Telecomunicazioni possono essere sia una tensione v(t)
DettagliX Vincita (in euro) Tabella 1: Vincite
Cognome e Nome:....................................... Matricola............. CdS............. CALCOLO DELLE PROBABILITA - 9 Giugno 1 CdS in STAD, SIGAD - docente: G. Sanfilippo Motivare dettagliatamente
DettagliTeoria della probabilità Variabili casuali
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Variabili casuali A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Variabile casuale Una variabile
DettagliVariabili aleatorie continue
Variabili aleatorie continue Per descrivere la distribuzione di una variabile aleatoria continua, non si può più assegnare una probabilità positiva ad ogni valore possibile. Si assume allora di poter specificare
DettagliEsercizi su formula di Itô
Esercizi su formula di Itô 1. Scrivere il differenziale stocastico dei seguenti processi: (i) X t = B t (ii) X t = t + e B t (iii) X t = B 3 t 3tB t (iv) X t = 1 + t + e B t (v) X t = [B 1 (t)] + [B (t)]
DettagliModelli probabilistici variabili casuali
Modelli probabilistici variabili casuali Le variabili casuali costituiscono il legame tra il calcolo della probabilità e gli strumenti di statistica descrittiva visti fino ad ora. Idea: pensiamo al ripetersi
DettagliTrasformata di Fourier e applicazioni
Trasformata di Fourier e applicazioni Docente:Alessandra Cutrì Trasformata di Fourier della funzione gaussiana Esempio: Calcoliamo la trasformata di Fourier di f (x) = e x 2 x n f (x) L 1 (R) per ogni
DettagliLE VARIABILI CASUALI A 1, A 2.,..., A k., p 2.,..., p k. generati da una specifica prova sono necessari ed incompatibili:
LE VARIABILI CASUALI Introduzione Data prova, ad essa risultano associati i k eventi A, A,..., A k con le relative probabilità p, p,..., p k. I k eventi A i generati da una specifica prova sono necessari
DettagliX (o equivalentemente rispetto a X n ) è la
Esercizi di Calcolo delle Probabilità della 5 a settimana (Corso di Laurea in Matematica, Università degli Studi di Padova). Esercizio 1. Siano (X n ) n i.i.d. di Bernoulli di parametro p e definiamo per
DettagliII Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 2016/17
II Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 6/7 Martedì 4 febbraio 7 Cognome: Nome: Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile
DettagliDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE
U N I V E R S I T À D E G L I S T U D I D I P I S A DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE Cmunicazini numeriche Esercizi su sistemi di variabili aleatrie-e sui prcessi stcastici Sistemi di variabili
DettagliCalcolo integrale. Regole di integrazione
Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su
DettagliAnalisi Matematica II Integrali curvilinei (svolgimenti) 1 t 9t dt (a) = dt t 1 t 2 = 1 2. x dx (b) log y 1. dy.
Analisi Matematica II Integrali curvilinei svolgimenti Svolgimento esercizio Si ha, successivamente, t t, t, t 9t 4 + 4t t 9t + 4, l t dt t 9t + 4 dt a 8 dove in a si è usata la sostituzione 9t + 4 8t
Dettagli7.6 Esercizi svolti Trasformata di Fourier
78 7 Trasformata di Fourier 7.6 Esercizi svolti Esercizio 7. Determinare la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni : a x(t =u(t e t + u(t u(t + ; b x(t =e i3t p (t + ; c x(t =p (t ; ( d x(t =p
DettagliEsercizi svolti di Teoria dei Segnali
Esercizi svolti di eoria dei Segnali Enrico Magli, Letizia Lo Presti, Gabriella Olmo, Gabriella Povero Versione. Prefazione A partire dall anno accademico 5/6 viene fornita agli studenti dei corsi di eoria
DettagliLa distribuzione normale o distribuzione di Gauss
La distribuzione normale o distribuzione di Gauss Gauss ha dimostrato che secondo questa legge si possono ritenere distribuiti gli errori accidentali di misura di una qualsivoglia grandezza. Densità di
DettagliVariabili casuali. - di Massimo Cristallo -
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 16 e 27 maggio 2013 - di Massimo Cristallo - Variabili casuali
DettagliSvolgimento degli esercizi N. 3
Svolgimento degli esercizi N. 3 Prova scritta parziale n. del // Fila. Calcolare il valore del seguente integrale definito: ( x + e x ) dx. ( x + e x ) dx ( x + e 4x + x e x) dx x dx + e 4x dx + x e x
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 20/10/201 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Se supponiamo
DettagliANALISI DI SEGNALI BIOLOGICI
ANALISI DI SEGNALI BIOLOGICI A.Accardo accardo@units.it LM Neuroscienze A.A. 2010-11 1 Obiettivi del corso: Individuazione delle caratteristiche principali del segnale EEG quantificate mediante tecniche
DettagliCOMPLEMENTI SUI DIFFERENZIALI ESATTI E L INTEGRAZIONE DI FORME DIFFERENZIALI
COMPLEMENTI SUI DIFFERENZIALI ESATTI E L INTEGRAZIONE DI FORME DIFFERENZIALI Sergio Console Derivate parziali (notazione) Data una funzione z = f(x, y), si può pensare di tener fissa la variabile y (considerandola
DettagliEsercitazione ENS su processi casuali (13 e 14 Maggio 2008)
Esercitazione ES su processi casuali ( e 4 Maggio 2008) D. Donno Esercizio : Calcolo di autovalori e autovettori Si consideri un processo x n somma di un segnale e un disturbo: x n = Ae π 2 n + w n, n
DettagliCorso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici
DettagliIntroduzione ai segnali determinati
Teoria dei segnali Unità 1 Introduzione ai segnali determinati Introduzione ai segnali determinati Sviluppo in serie di Fourier Trasformata di Fourier 005 Politecnico di Torino 1 Introduzione ai segnali
DettagliLaboratorio di Calcolo B 68
Generazione di numeri casuali Abbiamo già accennato all idea che le tecniche statistiche possano essere utili per risolvere problemi di simulazione di processi fisici e di calcoli numerici. Dobbiamo però
DettagliCalcolo integrale: esercizi svolti
Calcolo integrale: esercizi svolti Integrali semplici................................ Integrazione per parti............................. Integrazione per sostituzione......................... 4 4 Integrazione
DettagliLaboratorio II, modulo
Laboratorio II, modulo 2 206-207 Banda di un segnale e filtri (cfr. http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/appunti_03.pdf e http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/appunti_04.pdf e http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/appunti_05.pdf
DettagliCOPPIE DI VARIABILI ALEATORIE
COPPIE DI VAIABILI ALEATOIE E DI NADO 1 Funzioni di ripartizione congiunte e marginali Definizione 11 Siano X, Y va definite su uno stesso spazio di probabilità (Ω, F, P La coppia (X, Y viene detta va
DettagliElementi di Teoria dei Segnali
Elementi di Teoria dei Segnali Ing. Michele Scarpiniti michele.scarpiniti@uniroma1.it http://ispac.ing.uniroma1.it/scarpiniti/index.htm Master "Tecniche per la Multimedialità" 1 Il concetto di segnale
DettagliLezione 2: rappresentazione in frequenza
Segnali a potenza media finita e conversione A/D Lezione : rappresentazione in frequenza Generalità Spettro di potenza e autocorrelazione Proprietà dello spettro di potenza Larghezza di banda Spettri mutui
DettagliUniversità di Siena. Corso di STATISTICA. Parte seconda: Teoria della stima. Andrea Garulli, Antonello Giannitrapani, Simone Paoletti
Università di Siena Corso di STATISTICA Parte seconda: Teoria della stima Andrea Garulli, Antonello Giannitrapani, Simone Paoletti Master E 2 C Centro per lo Studio dei Sistemi Complessi Università di
DettagliSCHEDA DIDATTICA N 7
FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE CORSO DI IDROLOGIA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N 7 LA DISTRIBUZIONE NORMALE A.A. 01-13 La distribuzione NORMALE Uno dei più importanti
Dettagli( t) NR( t) NR( t) ( t)
prof Valerio CURCIO Simulazione del prezzo del petrolio 1 1. Processi stocastici stazionari e non stazionari dall analisi del prezzo del petrolio Quello che vogliamo fare in questo articolo è un analisi
DettagliTEORIA DELL INFORMAZIONE ED ENTROPIA FEDERICO MARINI
TEORIA DELL INFORMAZIONE ED ENTROPIA DI FEDERICO MARINI 1 OBIETTIVO DELLA TEORIA DELL INFORMAZIONE Dato un messaggio prodotto da una sorgente, l OBIETTIVO è capire come si deve rappresentare tale messaggio
DettagliQuesta viene trasmessa sul canale (wireless o wired). In questo corso, modellizzeremo il canale di trasmissione come un canale Gaussiano bianco
Canale di trasmissione Dati una costellazione M un labeling binario e è possibile associare alle sequenze binarie di informazione u da trasmettere una forma d onda s(t). Questa viene trasmessa sul canale
DettagliVariabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche
Variabili aleatorie Variabili aleatorie e variabili statistiche Nelle prime lezioni, abbiamo visto il concetto di variabile statistica : Un oggetto o evento del mondo reale veniva associato a una certa
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z) Università di Roma La Sapienza
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 16/06/2016 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Cinque lettere
Dettagli()Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Probablità, Statistica e Processi Stocastici Serie storiche (verso fpca) La tecnica chiamata fpca (functional PCA) esamina serie storiche utilizzando paradigmi propri di PCA. E utile premettere un po di
DettagliTipi di Processi Stocastici
Processi Stocastici Definizione intuitiva: un processo stocastico è un insieme ordinato di variabili casuali, indicizzate dal parametro t, spesso detto tempo. Definizione rigorosa: dati uno spazio di probabilità
DettagliCalcolo delle Probabilità 2
Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 2 Maggio 2006 Sia X una variabile aleatoria distribuita secondo la densità seguente ke x 1 x < 0 f X (x) = 1/2 0 x 1. 1. Determinare il valore del parametro reale
DettagliElaborazione nel dominio delle frequenze. Elaborazione delle immagini digitali 1
Elaborazione nel dominio delle frequenze Elaborazione delle immagini digitali 1 Serie di Fourier Elaborazione delle immagini digitali 2 Introduzione alla trasformata di Fourier Una funzione periodica può
DettagliVariabili aleatorie scalari
Metodi di Analisi dei Dati Sperimentali AA /2010 Pier Luca Maffettone Variabili aleatorie scalari Sommario della Introduzione CDF e PDF: definizione CDF e PDF: proprietà Distribuzioni uniforme e Gaussiana
DettagliTeoria dei Segnali Richiami di analisi matematica; alcune funzioni notevoli
Teoria dei Segnali Richiami di analisi matematica; alcune funzioni notevoli Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria dei Segnali Richiami
Dettagliun elemento scelto a caso dello spazio degli esiti di un fenomeno aleatorio;
TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 3 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Una variabile casuale
DettagliESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE
ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE 1 Funzioni libere I punti stazionari di una funzione libera di più variabili si ottengono risolvendo il sistema di equazioni
DettagliEsercizi sull equazione di Laplace
Esercizi sull equazione di Laplace Corso di Fisica Matematica, a.a. 011-01 Dipartimento di Matematica, Università di Milano 16/1/01 Questi esercizi trattano la soluzione dell equazione di Laplace u xx
DettagliDistribuzione esponenziale. f(x) = 0 x < 0
Distribuzione esponenziale Funzione densità f(x) = λe λx x 0 0 x < 0 Funzione parametrica (λ) 72 Funzione di densità della distribuzione esponenziale 1 0.9 0.8 0.7 λ=1 0.6 f(x) 0.5 0.4 0.3 λ=1/2 0.2 0.1
DettagliEsercitazione: La distribuzione NORMALE
Esercitazione: La distribuzione NORMALE Uno dei più importanti esempi di distribuzione di probabilità continua è dato dalla distribuzione Normale (curva normale o distribuzione Gaussiana); è una delle
DettagliScheda n.3: densità gaussiana e Beta
Scheda n.3: densità gaussiana e Beta October 10, 2008 1 Definizioni generali Chiamiamo densità di probabilità (pdf ) ogni funzione integrabile f (x) definita per x R tale che i) f (x) 0 per ogni x R ii)
DettagliPrima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Tema n 4 5 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n
DettagliProva Scritta di Probabilità e Statistica Cognome: Laurea in Matematica. 10 settembre 2012 Matricola: Nome:
Prova Scritta di Probabilità e Statistica Cognome: Laurea in Matematica Nome: 10 settembre 2012 Matricola: ESERCIZIO 1. Facendo uso solamente della definizione di spazio di probabilità, dell additività
DettagliESERCIZI DI TEORIA DEI SEGNALI
ESERCIZI DI EORIA DEI SEGNALI EX. 1 Si determini lo sviluppo in serie di Fourier del segnale cos[ m(t)] dove m(t) = m(t) = m(t k ) [ π 2 2π ] ( ) t t rect. EX. 2 Si siderino due segnali x 1 (t) e x 2 (t)
DettagliTeorema dei residui: applicazioni
Teorema dei residui: applicazioni Docente:Alessandra Cutrì ichiamo: Teorema dei residui Teorema dei esidui:sia f H(A \ {z, z 2,... z N }), z, z 2,... z N singolarità isolate per f e sia γ una curva chiusa,
DettagliConversione Analogico/Digitale
Conversione Analogico/Digitale 1 Fondamenti di Segnali e Trasmissione Conversione analogico/digitale (A/D) Per rappresentare numericamente un segnale continuo nel tempo e nelle ampiezze è necessario: Campionare
DettagliAlcune v.a. discrete notevoli
Alcune v.a. discrete notevoli Variabile aleatoria Bernoulliana Il risultato X di un esperimento aleatorio può essere classificato nel modo che segue: successo oppure insuccesso. Indichiamo: Successo =
DettagliEsercitazioni di Statistica
Esercitazioni di Statistica Stima Puntuale Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma.it Esercizio In ciascuno dei casi seguenti determinare quale tra i due stimatori S e T per il parametro θ è distorto
DettagliCampionamento e quantizzazione
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Campionamento e quantizzazione A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Conversione analogico-digitale L elaborazione
DettagliVariabili aleatorie: parte 1. 1 Definizione di variabile aleatoria e misurabilitá
Statistica e analisi dei dati Data: 11 Aprile 2016 Variabili aleatorie: parte 1 Docente: Prof. Giuseppe Boccignone Scriba: Noemi Tentori 1 Definizione di variabile aleatoria e misurabilitá Informalmente,
DettagliCorso di laurea in Ingegneria civile - ambientale - edile Prova scritta del 3 febbraio Regole per lo svolgimento
Corso di laurea in Ingegneria civile - ambientale - edile Prova scritta del febbraio 6 Regole per lo svolgimento (a) Gli studenti di ingegneria civile e edile -5 faranno gli esercizi,,. (b) Gli studenti
DettagliEsercizi su leggi condizionali e aspettazione condizionale
Esercizi su leggi condizionali e aspettazione condizionale. Siano X, Y, Z v.a. a valori in uno spazio misurabile (E, E) e tali che le coppie (X, Y ) e (Z, Y ) abbiano la stessa legge (in particolare anche
DettagliLA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
p. 1/2 LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS Osservando gli istogrammi delle misure e degli scarti, nel caso di osservazioni ripetute in identiche condizioni Gli istogrammi sono campanulari e simmetrici,
DettagliEsercizi di Calcolo delle Probabilità
Esercizi di Calcolo delle Probabilità Versione del 1/05/005 Corso di Statistica Anno Accademico 00/05 Antonio Giannitrapani, Simone Paoletti Calcolo delle probabilità Esercizio 1. Un dado viene lanciato
Dettagliẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1
Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell
DettagliLa trasformata Z. (Metodi Matematici e Calcolo per Ingegneria) Enrico Bertolazzi. DIMS Università di Trento. anno accademico 2008/2009
La trasformata Z (Metodi Matematici e Calcolo per Ingegneria) Enrico Bertolazzi DIMS Università di Trento anno accademico 2008/2009 La trasformata Z 1 / 33 Outline 1 La trasformata Z 2 Trasformazioni di
DettagliCampi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti
Campi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti 1) Dire se la forma differenziale è esatta. ω = 2 2 (1 + 2 2 ) 2 d + 2 2 (1 + 2 2 ) 2 d 2) Individuare in quali regioni sono esatte le seguenti forme
Dettagli