Stima puntuale Quando un parametro della popolazione incognito è valutato (stimato) da una sola statistica (parametro) tratto da un campione

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1 STIMA PARAMTRICA TST DLL IPOTSI L fereza Statstca rguarda affermazo crca I parametr d ua popolazoe sulla base della metodologa statstca e del calcolo delle probabltà Stma putuale Quado u parametro della popolazoe cogto è valutato (stmato) da ua sola statstca (parametro) tratto da u campoe Stma Itervallo Quado u parametro della popolazoe cogto è valutato (stmato) medate u tervallo d valor e alla valutazoe è assocato u gudzo d fduca crca la possbltà d trovare tale tervallo l valore cogto. Sa θ u geerco parametro cogto e sa oto u campoe,,...,. Sa Θ spazo de parametr campoar l seme de valor che può assumere θ. La stma parametrca sgfca trovare ua procedura che c coseta d trarre dal campoe osservato,,..., (Stmatore) l formazoe per assegare a θ u valore (stma) o u seme d valor. Lo Stmatore è duque ua vc e la stma è ua sua determazoe data ua partcolare osservazoe

2 Test d Ipotes ua procedura che porta a stablre quadto u evdeza campoara è grado d respgere ua certa assuzoe crca l parametro cogto d ua popolazoe. Se s assume che u determato parametro cogto d ua dstrbuzoe sa vero e s costrusce la corrspodete dstrbuzoe d probabltà. Se la corrspodete statstca campoara ha ua bassaporbabltà d apparteere a quella dstrbuzoe dremo che l potes formulata è respta dall evdeza emprca (falsfcazoe) al cotraro, se la probablà è alta o sarà rgettata (ma ma cofermata). ua stratega per fare fereza medate u approcco dretto.

3 STIMA PUNTUAL S defsce stmatore del parametro θ cogto qualuque statstca T t(,,..., ) utlzzata per stmare θ. Il valore assuto dallo stmatore T per u dato campoe è ua stma ( θˆ ). La vc stmatore t(,,..., ) ha ua propra dstrbuzoe campoara qud ua propra meda e varaza. S rcorre a vare stratege per trovare lo stmatore d u parametro θ. I og caso la scelta dello stmatore è basata sulla dstrbuzoe d probabltà e su alcue propretà desderabl. Correttezza Uo stmatore T dθ è corretto se e solo se (T ) θ ffceza Uo stmatore corretto d θ, T*, è effcete se: Var( T*) Var( T ) Per og altro stmatore corretto T e per og θ Θ.

4 sempo: la meda artmetca è uo stmatore corretto della meda della popolazoe μ. μ θ e T segue : ( ) ( ) ( ) T μ sempo: La varaza campoara è uo stmatore dstorto della varaza popolazoe. Lo stmatore corretto è: ( ) ( ) σ s Graphs

5 Stma Itervallo U Itervallo d cofdeza è dato da due valor calcolat sulla base del campoe che detfcao ua classe d valor che co ua data probabltà (cofdeza ), clude l valore vero del parametro Dato u campoe casuale,,..., co fuzoe d probabltà f ( ;θ ), estratto da ua Popolazoe Sa t (,,..., ) e t (,,..., ) statstche, dove t <t e P ( t < θ < t ) α, L tervallo casuale [ t, t ] è u tervallo d cofdece d θ co cofdeza -α. NOTA: terpretazoe corretta Dato u lvello d cofdeza α, e u gra umero d rpetzo della t, clude θ 00( α)%. selezoe campoara, l tervallo [ ] t

6 Stma Itervallo della meda (μ) S rcorre alla dstrbuzoe campoara d. μ ~ N( 0, ) σ / da cu P z P Rsolvedo per μ : α / μ z σ / α [ μ z σ / μ + z σ / ] α α / α / α / [ z σ / < μ < + z σ / ] α P α / α / Se α0.05 [. 96σ / < μ < +. 96σ / ] P Questo è u tervallo co ua cofdeza alta (0,95) che cluda al suo tero la meda vera cogta μ, [.96σ /, +.96σ / ] La domada: quato è grade l tervallo? dpede dalla varazae da Se la varaza o è ota μ ~ s / t

7 L tervallo d cofdeza è: [ t s / < μ < + t s / ] α P, α /, α / Dffereza tra due mede,,..., è u campoe selezoato dalla popolazoe N ( μ, σ ), oto. Y,Y,...,Y m è u campoe selezoato dalla popolazoe N ( μ, σ y y ), oto σ σ y allora: ( Y ) ( μ μ ) σ / + σ y y / m ~ N ( 0, ), L tervallo d cofdeza per la dffereza tra mede: ( Y ) z σ / + σ / m μ μ ( Y ) + z σ / / m α / y y α / + σ y NB: Il rsultato è valdo ache se le due popolazo o soo ote se è grade. Il rsultato è valdo ache se trattamo co proporzo graze alla approssmazoe della bomale alla ormale

8 serczo. I ua dage sul varazoe del reddto è stata codotta su u campoe d 6 rego d u paese. L dage ha mostrato I seguet cremet d reddto: 9, 8,4 9,8 0, 0,4 9 (%) Qual è la stmma tervallo della varazoe del reddto medo per l tero paese What s the terval estmate of the average come crease for the whole coutry (Grado d cofdeza 0.95) Soluzoe Dall dagme abbamo: 7 / 6 9,5 s 0, 588 s 0, 7668 s / 0, 33 Se s assume che la varazoe del reddto medo campoaro s dstrbusca come ua Normale L tervallo d cofdeza (0.95) va costruto co rfer,emto alla dstrbuzoe t-studet co 5 grad d lbertà, dalle tavole otteamo t,57. Qud: 5 ; 0, 975 ± t s /, α 9,5 ±,57 (0,33) 9,5 ± 0,805 coè [8,695; 0,305]

9 serczo. S vuole stmare l occupazoe d u certo paese. S selezoa u srs d 00 persoe o, 70 d queste rsultao occupate. Voglamo che la stma della popolazoe abba ua fduca del Solztoe S tratta d ua proporzoe La proporzoe campoara porta ad ua vc che s dstrbusce secodo ua Bomal co meda P e varaza P(-P)/. Poché l campoe è grade graze al cetral lmt Theorem, può essere approssmata da ua ormal co. (P)P e V(P)P(-P)/, Se s assume che la stma p ˆ 0,7 e pˆ( pˆ) / (0,7)(0,3) /00 0, 00 per meda e varaza della proporzoe campoara s ottee: ( da otare che la Var(P) cotee u parametro cogto che stmamo rferedoc alla proporzoe campoara ) pˆ ± z pˆ( pˆ) 0,7 ±,96 (0,0458) 0,7 ± 0,0897, α L tervallo al 0.95 è [0,603; 0,7897].