Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale

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1 Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema Lezione n. 5: Cinematica dei fluidi Anno Accademico

2 Indice Approcci Euleriano e Lagrangiano Regola di derivazione Euleriana della velocità Traiettorie e linee di corrente Moto permanente e vario Portata e velocità media Correnti Equazione di continuità per le correnti Slides delle lezioni frontali Materiale didattico Citrini-Noseda (pagg e 83-87) 87) 2

3 Approcci Euleriano e Lagrangiano Il moto di una particella è caratterizzata dalla velocità V, funzione del punto in cui la particella di fluido si trova e del tempo: V = V (x, y, z, t) 3

4 Approcci Euleriano e Lagrangiano Pertanto: fissato un istante di tempo t 0, le componenti definiscono il moto in tutti i punti dello spazio occupato dal fluido fissato un punto dello spazio,, di coordinate x 0, y 0 e z 0, esse forniscono la storia di quanto accade al fluido nel punto considerato 4

5 Approcci Euleriano e Lagrangiano Il vettore velocità V può essere espresso tramite le componenti u, v e w: u = u (x, y, z, t) v = v (x, y, z, t) w = w (x, y, z, t) Le componenti della velocità sono definite come segue: u = dx dt v = dy dt w = dz dt 5

6 Regola di derivazione Euleriana della velocità In generale: A = dv dt = V x dx dt + V y dy dt + V z dz dt + V t componente di velocità accelerazione (sostanziale) a = u V x + v V y V V + w + z t componente dell accelerazione convettiva accelerazione locale accelerazione convettiva 6

7 Approccio Lagrangiano Consideriamo un gruppo di palline di ping-pong pong trasportate dalla corrente di un fiume La posizione del baricentro di ogni pallina sarà individuabile dalle coordinate x, y e z nei diversi istanti temporali t 7

8 Approccio Lagrangiano Fissiamo l attenzione l su una di esse, che indichiamo con A, e scattiamo delle fotografie in successivi istanti 1, 2, 3, 4, rilevando le sue posizioni e velocità Tale approccio, che segue, come detto, le vicende di ogni singola pallina, viene scarsamente utilizzato 8

9 Approccio Euleriano Invece di seguire una singola pallina, fermiamoci in un punto di coordinate x 0, y 0 e z 0 e scattiamo delle fotografie ad intervalli di tempo t Il vettore velocità apparirà diverso da istante a istante; naturalmente le particelle che fotografiamo saranno diverse da istante a istante 9

10 Approccio Euleriano Ai fini pratici, perseguiti dall idraulica, alla quale interessa non tanto la vicenda della singola particella di fluido in moto, ma i valori delle grandezze fisiche che riguardano il fluido (velocità,, pressione, ecc.) in determinati punti di esso o lungo determinate linee o superfici 10

11 Traiettorie e linee di corrente Il luogo dei punti occupati dalla particella di fluido in movimento (ossia nel nostro esempio dalla pallina) nei successivi istanti è detto traiettoria La curva tangente in ciascuno dei suoi punti al vettore velocità nel punto considerato è detta linea di corrente A v(x,y,z,t ) A A A 1 v(x B,y,z,t ) B B B 1 a) b) C v(x,y,z,t ) C C C 1 D v(x,y,z,t ) D D D 1 11

12 Moto permanente e moto vario t1 z B A D C x y t2 z E D C B A x y Se la velocità è effettivamente funzione del tempo, cioè se V = V (x, y, z, t), il moto si definisce vario Se invece la velocità non è funzione del tempo, cioè se V = V (x, y, z), il moto si definisce permanente Nel moto vario le traiettorie non coincidono con le linee di corrente; nel moto permanente invece le traiettorie coincidono con le linee di corrente 12

13 Moto permanente (esempio) Il vettore velocità varia da punto a punto, ma, in istanti diversi, è uguale nello stesso punto 13

14 Portata e velocità media Σ Consideriamo una linea chiusa Σ che non sia una linea di corrente ed osserviamo le linee di corrente che passano per tale linea chiusa in un certo istante t 1 L insieme delle linee di corrente forma un tubo di flusso 14

15 Portata e velocità media dσ Sulla superficie elementare dσd il vettore V ha una componente normale V n e una componente tangenziale V t 15

16 Portata e velocità media Il prodotto V n dσ = dq è detto portata elementare e rappresenta il volume di fluido che attraversa la superficie dσd nell unit unità di tempo Infatti, se ds è lo spazio percorso da una particella che attraversa dσd nel tempo infinitesimo dt,, risulta dσ Σ dτ V n = ds/dt dt e dq ds dσ Vn = dσ = dt = dτ dt dσ ds = dτd è il volume che attraversa dσ nell intervallo di tempo dt 16

17 Portata e velocità media Integrando la portata elementare dq sulla superficie finita Σ,, di cui dσ è parte, si ottiene: Q = V dσ Σ n detta portata del tubo di flusso o semplicemente portata La portata è pertanto il volume di fluido che attraversa Σ nell unit unità di tempo 17

18 Portata e velocità media Si definisce velocità media V m il rapporto Q V m M = Q Σ La portata in massa è l integrale = ρ V dσ Σ n [L 3 T - 1 ][L - 2 ]=[LT - 1 ] Esso fornisce la massa di fluido che attraversa Σ nell unit unità di tempo La massa che attraversa Σ in un tempo elementare dt è: dm [ = ρ V dσ ]dt Σ n 18

19 Portata e velocità media n Vnn V > 0 n τ Vn n n V < 0 n Per convenzione,, assunto un tubo di flusso e tagliato lo stesso con due sezioni, in modo da definire un volume τ, assumiamo positiva la normale entrante n La V n sarà positiva, se attraverso la superficie che si considera entra una massa fluida nel volume definito; sarà negativa se esce una massa fluida 19

20 Correnti Definiamo corrente una massa fluida in moto con una direzione privilegiata (una corrente d aria, d una corrente marina, ecc.); quindi il moto di tutte le particelle passanti per una sezione segue una direzione preferenziale A A A A x,y,z,t x,y,z,t x,y,z,t x,y,z,t

21 Equazione di continuità per le correnti Consideriamo una corrente che, in un istante t, attraversa una superficie Σ; ; spostandoci di una distanza ds nella direzione della corrente, definiremo un volume dτ dato da Σ ds All interno di questo volume, dalla superficie Σ nell intervallo dt,, entra la massa dm e = ρ Q dt ds dm =( Q+ δρq/ δs ds)dt u ρ dτ Σ dm = ρ Q dt e 21

22 Equazione di continuità per le correnti Nello stesso intervallo, dalla superficie a distanza ds da Σ,, esce la massa dm u = ρ Q La differenza dm e dm u è data da ds + ρq s dm ds dt = ρq s dm =( Q+ δρq/ δs ds)dt u ρ ds dt dτ Σ dm = ρ Q dt e 22

23 D altra parte, all interno del volume dτd la variazione dm di massa in dt è: dm ρq s = ( ρ Σ ds)dt t poiché è dm = dm e dm u, risulta ossia: Equazione di continuità per le correnti ρq ρ Σ + s t = 0 ds = t ( ρ Σ ds) Equazione di continuità in forma globale 23

24 Equazione di continuità per le correnti Per i fluidi incomprimibili (ρ( = costante),, essa diventa: Q s + Σ t = 0 e per il moto permanente: Q s = 0 cioè Q è costante lungo una traiettoria s 24