Cinematica nello Spazio

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1 Cinematica nello Spazio Fisica con Elementi di Matematica (F-N) Modulo di Fisica, CL Farmacia A.A. 2015/2017

2 Cinematica nello Spazio Abbiamo introdotto, nelle precedenti lezioni, le grandezze fisiche: Tempo Spostamento Velocità Accelerazione Abbiamo ricavato le equazioni per i moti: a) Rettilineo uniforme; b) Rettilineo uniformemente accelerato. Nel modulo di Elementi di Matematica avete introdotto i VETTORI e le operazioni tra essi (somma, differenza, prodotto scalare e prodotto Vettoriale, etc)

3 Cinematica nello Spazio Possiamo trattare le grandezze fisiche spostamento, velocità e accelerazione come vettori e ricavare le equazioni del moto. In questo modo potremmo studiare il moto dei corpi in sistemi di riferimento nello spazio

4 Cinematica nello Spazio I vettori saranno talvolta rappresentati con il grassetto: a = grandezza scalare a = grandezza vettoriale Sui vostri appunti rappresentate le grandezze vettoriali con il trattino sulla lettera.

5 Cinematica nello Spazio Z[m] P um punto materiale P localizzato dal vettore posizione r = x P i + y P j+z P k X[m] O Y[m] Possiamo localizzare un punto materiale nello spazio per mezzo del vettore posizione

6 P Z[m] r um P 1 r X[m] O Y[m] Il punto materiale si sposta dalla posizione r = x P i + y P j+z P k alla posizione: r = x P 1i + y P1 j+z P1 k

7 P um Z[m] r r P 1 r X[m] O Y[m] Possiamo calcolare il vettore SPOSTAMENTO r -r = r. r = (x P 1 - x P ) i + (y P1 - y P ) j+ ( z P1 - z P ) k Ogni relazione vettoriale corrisponde a tre equazioni scalari descrittive del moto rispetto agli assi coordinati

8 P um Z[m] r r r P 1 r v X[m] O Y[m] Possiamo definire la velocità vettoriale media come: v = r/ t. Il vettore velocità ha la stessa direzione e lo stesso verso di r

9 P P 4 um Z[m] r r P 3 P 2 P 1 r traiettoria X[m] O Y[m] Come nel caso UNIDIMENSIONALE, se vogliamo il valore istantaneo di velocità vettoriale dobbiamo considerare intervalli di tempo molto piccoli. Cioè: v istantanea se t 0 com è fatto questo vettore?

10 P Z[m] r um traiettoria X[m] O Y[m] La direzione del vettore v istantanea è quella della retta tangente alla TRAIETTORIA nel punto considerato. Il verso è quello del moto. Il modulo coincide con la velocità scalare che il corpo ha nello stesso istante.

11 Analogamente possiamo definire l accelerazione vettoriale media come: a = v/ t. Il vettore accelerazione a NON ha la stessa direzione delle velocità o dello spostamento.

12 Cinematica nello Spazio Il vettore accelerazione non ha, in generale, la stessa direzione e lo stesso verso del vettore spostamento e del vettore velocità. Studiamo alcuni casi particolarmente significativi.

13 Caso 1 : Il vettore velocità è costante. v = cost v 1 = v 2 a = 0 Questo caso studio corrisponde al moto rettilineo uniforme lungo i tre assi! Importante: v = cost v = cost

14 Caso 2: Il vettore velocità è costante in DIREZIONE e VERSO ma non in modulo. a = v 2 - v 1 t t P v 2 P 1 v 1 Questo caso studio corrisponde a un moto NON uniforme su traiettoria rettilinea. Che direzione ha il vettore accelerazione?

15 Ha la direzione di In questo caso la accelerazione ha la stessa direzione dei vettori velocità. P 2 v v 2 Questo è il caso di una AUTOMOBILE che accelera su un rettilineo. u T v= vu T P 1 v 1 v a= vu T / t Esempio di accelerazione tangenziale

16 Caso 3: Il vettore velocità è costante in MODULO ma non in direzione e verso. Questo caso studio corrisponde al Moto circolare uniforme la cui traiettoria è una circonferenza. Moto piano!

17 Caso 3: MOTO CIRCOLARE UNIFORME La traiettoria è una circonferenza. Il vettore velocità è costante in MODULO ma non in direzione e verso. θ v 1 θ u N v 2 v 2 θ v 1 v v Il vettore punta verso l interno della traiettoria, in particolare (SENZA DIMOSTRARLO) VERSO IL CENTRO DEL CERCHIO a = auˆ N accelerazione centripeta

18 MOTO CIRCOLARE UNIFORME (2) Se il vettore velocità è costante in MODULO ma non in direzione e verso, possiamo scrivere (in modulo!!) v 1 =v 2 =v v 2 θ v 1 v Inoltre se θ è piccolo ( t 0) la corda v è approssimabile all arco di circonferenza e quindi: v=v θ v θ v v

19 MOTO CIRCOLARE UNIFORME (3) Calcoliamo ora il modulo del vettore accelerazione. R A θ v θ B v v θ v v v=v θ v t/r= v/v a= v/ t = v 2 /R a = v 2 R ˆ u N Inoltre (se θ è piccolo): arco (AB) = R θ θ = arco(ab)/r = v t/r Accelerazione Centripeta

20 MOTO CIRCOLARE UNIFORME (4) Il moto può essere descritto facendo riferimento allo spazio percorso (arco di circonferenza) s oppure utilizzando l angolo θ sotteso all arco s ( θ=s/r) se θ è piccolo: s = R θ v = R θ/ t v = Rω ed inoltre a = ω 2 R Velocità angolare ω Si misura in rad/sec, ha dimensioni [T -1 ] È un vettore tale che v = ω x R Nel moto circolare uniforme ω è costante

21 MOTO CIRCOLARE UNIFORME (5) Nel moto circolare uniforme il punto percorre una circonferenza di lunghezza 2πr nel tempo T (chiamato periodo di rivoluzione o semplicemente periodo). Si dice che il moto circolare uniforme è un moto periodico. Si definisce frequenza del moto la quantita : ν = 1/T [ν] = [T -1 ] e si misura in s -1 o Hertz (simbolo Hz)

22 CASO GENERALE a = v t u T + v2 R u N R

23 La percezione del moto rotatorio Facciamo ora un esempio di un fenomeno che ci riguarda in cui possiamo riconoscere un moto circolare Orecchio interno L'orecchio interno è formato dalla coclea, una struttura a forma di conchiglia contenente liquido, fornita di cellule cigliate. Ogni cellula cigliata risponde a frequenze diverse, e consente di captare una gamma di suoni alti e bassi. Le cellule cigliate, quando sono stimolate, inviano impulsi nervosi al nervo acustico e quindi al cervello.

24 La percezione del moto rotatorio (II) Mentre alla coclea è demandata la sensazione uditiva, la parte costituita da tre canali semicircolari registra il moto della testa e quindi lo stato di equilibrio del corpo I tre canali semicircolari sono tra loro perpendicolari funzionano come indicatori delle rotazioni intorno a 3 assi nello spazio!

25 La percezione del moto rotatorio (III) I tre canali sono in comunicazione tra loro e ciascuno presenta un estremità dilatata a formare un ampolla, all interno della quale si trovano cellule dotate di prolungamenti (detti ciglia), immersi in un liquido chiamato endolinfa e in una struttura gelatinosa detta cupola La cupola si deforma facilmente in seguito al moto dell endolinfa.

26 La percezione del moto rotatorio (IV) il capo ruota verso destra anche l orecchio interno, con lo stesso moto circolare Per circa 1 secondo l'endolinfa contenuta in ciascun canale semicircolare rimane ferma; cio spinge la cupola, contenuta nell'ampolla, a piegarsi e le cellule ciliate, a loro volta stimolate, a inviare segnali nervosi al cervello. a, membrana della macula ricoperta di otoliti; b, massa gelatinosa; c, ciglia; d, cellula ciliata (recettore); e, fibre nervose; f, spinta della gravita; g, ciglia piegate; h, cupola; i, cresta ampollare; l, direzione del flusso; m, vestibolo; n, cupole nelle ampolle; o, utricolo; p, macula nel sacculo; q, perilinfa; r, endolinfa;s, coclea Dopo circa 1 sec l endolinfa si muove con la stessa velocità angolare del canale (e del capo), la cupola tende a tornare alla sua posizione iniziale. Impiega circa 20 sec per completare il ritorno. In questo tempo, persiste la sensazione di rotazione. Poi non piu.

27 Caso 4: MOTO DEL PROIETTILE : a costante Y a = g = 9.8 m/s 2 v 0 θ SUPERFICIE TERRESTRE X Un punto materiale ha velocità iniziale v 0 inclinata di un angolo θ rispetto all orizzontale. Vogliamo determinare la traiettoria del punto materiale. Si osserva che l accelerazione è presente solo nella direzione Y. Scriviamo separatamente le leggi orarie del punto materiale su asse X ed asse Y.

28 Y MOTO DEL PROIETTILE (II) a = g = 9.8 m/s 2 v 0 θ SUPERFICIE TERRESTRE X Che tipo di leggi orarie governano il moto del punto materiale? Su asse X non c è accelerazione: equazione del moto rettilineo uniforme. Su asse Y c è accelerazione g: equazione del moto uniformemente accelerato.

29 Y MOTO DEL PROIETTILE (III) a = g = 9.8 m/s 2 v 0 v 0y θ v 0x X Si scompone la velocità iniziale secondo le componenti X e Y. Le due leggi orarie sono: x = v 0x t y = v 0y t 1 2 gt 2 v 0x = v 0 cosθ v 0y = v 0 senθ

30 Y MOTO DEL PROIETTILE (IV) a = g = 9.8 m/s 2 v 0 v 0y θ v 0x X Dalle due leggi orarie si elimina il tempo e si ricava l equazione della traiettoria: t=x/v 0x y = v 0y x/v 0x g(x/v 0x ) 2 /2 y = (g/2v 0x2 )x 2 +(v 0y /v 0x )x Equazione di secondo grado del tipo: y = ax 2 +bx+c EQUAZIONE DI UNA PARABOLA!

31 MOTO DEL PROIETTILE (V) MOTO DEL PROIETTILE (5)

32 MOTO DEL PROIETTILE (VI) Dalle due equazioni orarie e dalla equazione della traiettoria si possono ricavare molte caratteristiche salienti sul moto. 1. Quanto tempo il proiettile resta in aria? 2. Qual è la massima altezza raggiunta? 3. A che distanza tocca Terra?

33 Esempio 1 Una palla viene lanciata orizzontalmente dal tetto di un edificio alto 45 m, atterrando poi a 24 m di distanza dalla base. Qual e la velocità iniziale della palla?

34 Esempio 2 Un proiettile viene sparato dal bordo di una rupe, 125 m sopra il livello del terreno, con una velocità iniziale di 65 m/s e un angolo di 37 rispetto all orizzontale. - determinare il tempo impiegato dal proiettile per colpire il punto P al livello del terreno - determinare la gittata X del proiettile, misurata a partire dalla base della rupe Nell istante immediatamente prima di colpire il punto P trovate: - le componenti orizzontale e verticale della sua velocità - modulo della velocità - l angolo formato dal vettore velocità con l orizzontale - la massima altezza sopra la cima della rupe raggiunta dal proiettile

35 [Ottobre 2014] Esempio 3 Durante la semifinale mondiale di volley Italia-Cina, Valentina Diouf si trova sulla linea d attacco, a 300 cm dalla rete. Colpisce il pallone ad una altezza di 2.0 m, dandogli una velocità iniziale di 105 km/h. Il pallone impiega 0.2 s a trovarsi in aria, al di sopra della rete. Determinare: - l inclinazione data inizialmente al pallone - l altezza raggiunta dal pallone in aria, sopra la rete - se l Italia fa punto, nell ipotesi che la palla non sia intercettata da nessuna avversaria e che la lunghezza totale del campo avversario sia 9 m.

36 ESERCIZI (a casa) 16 maggio 2000 Problema 1 Un sasso viene lanciato con una velocità di modulo pari a v = 17 m/s e con un angolo di θ = 58 sopra l orizzontale. Trascurando la resistenza dell aria, determinare il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza. Soluzione Nel punto di massima altezza la componente y della velocità è nulla. Se t * è il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza: V y (t * ) = 0 Ma V y = V 0y -gt 0 = V 0y -g t * t * = V 0y /g = V 0 sen θ /g

37 ESERCIZI (a casa) 8 gennaio 2002 Problema 1 Un aereo da soccorso vola ad una velocità v = 360 km/h alla quota costante di h = 490 m. Quale distanza x, misurata sull orizzontale, percorre un pacco lasciato cadere dall aereo? Soluzione La velocità iniziale ha SOLO la componente orizzontale, che rimane costante. x= V 0x t con V 0x = 360 km/h E necessario determinare t * = tempo impiegato dal pacco a raggiungere il suolo y=h-gt 2 /2 0=h-g t * 2 /2 t *2 =2h/g t * = (2h/g) 1/2 x = V 0x (2h/g) 1/2