Lezione 11. Polinomi a coefficienti in un campo.

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1 Lezone Prerequs: Lezone 0. Polnom a coeffcen n un campo. Sa K un campo. In quesa lezone sudamo le propreà armeche dell'anello d polnom K[ X ], che sono analoghe a quelle valde nell'anello Z e da no consderae nelle Lezon 6 e 7. Le loro dmosrazon, laddove esse sano sml a quelle gà effeuae per numer ner, verranno qu omesse. Rcordamo che, nella Lezone 6, abbamo defno la relazone d dvsblà n ogn anello commuavo unaro (v. Defnzone 6.). Quesa s applca, n parcolare, all'anello K[ X ]. Ad essa s rfersce l'nero conenuo d quesa lezone, a comncare dal prmo enuncao, che è analogo al Teorema 6.0. Sarà nolre ule enere presene che, come conseguenza del Corollaro 5.8 e del Corollaro 0.6, l'anello K[ X ] è negro. Teorema. (Teorema d dvsone eucldea) Sano a( X ), b( X ) K[ X ], ove b( X ) 0. Allora essono, e sono unvocamene deermna, q( X ), r( X ) K[ X ] al che () a( X ) = b( X ) q( X ) + r( X ); () r( X ) = 0 oppure r( X ) 0 e deg( r) < deg( b). I polnom q( X ) ed r( X ) s dcono, rspevamene, quozene e reso della dvsone (eucldea) d a( X ) per b( X ). I polnom a( X ) e b( X ) s dcono, rspevamene, dvdendo e dvsore. Dmosrazone: Provamo prma l essenza. A al fne consderamo l'nseme { } C = a( X ) b( X ) f ( X ) f ( X ) K[ X ]. Se 0 C, allora esse q( X ) K[ X ] ale che a( X ) b( X ) q( X ) = 0 e la es è verfcaa con r( X ) = 0. Supponamo ora che 0 C. Sa D l'nseme de grad de polnom d C. Allora D è un soonseme non vuoo d N. Qund, per l prncpo del mnmo (assoma d buon ordnameno), D possede un mnmo d. Sa r( X ) C ale che deg( r) = d. Allora a( X ) b( X ) q( X ) = r( X ) per qualche q( X ) K[ X ] e dunque è verfcaa la condzone (). Poché r( X ) 0, resa da provare che d < deg( b). Supponamo per assurdo che d deg( b). Sa n = deg( b) e sano d n = 0 = 0 r( X ) = r X, b( X ) = b X, ( r, b K). Sa ora r X = r X r b X b X = a X b X q X + r b X C Allora r '( X ) 0 e d n d n '( ) ( ) d n ( ) ( ) ( )( ( ) d n ).

2 d n d n d n d d n n d n+ d n d d n n d n = 0 = 0 = 0 = 0 r '( X ) = r X r b X b X = r X r b X b X + r X r b b X. 0 deg< d Qund deg( r ') < d, conro la mnmalà d d. Cò fornsce la conraddzone cercaa e conclude la dmosrazone dell'essenza d q( X ), r( X ) K[ X ] verfcan la () e la (). Provamo ora l'uncà. Sano q ( X ), q( X ), r ( X ), r ( X ) K[ X ] al che q( X ) = q ( X ), r( X ) = r ( X ) con =,, verfcano la () e la (). Allora, n parcolare, b( X ) q ( X ) + r ( X ) = b( X ) q ( X ) + r ( X ), () da cu b( X )( q ( X ) q ( X )) = r ( X ) r ( X ). Supponamo per assurdo che sa r ( X ) r ( X ) 0. Allora, uno ra r ( X ), r ( X ) è non nullo. Sa esso r ( X ). Se anche r ( X ) è non nullo, sa r ( X ) quello ra due che ha grado massmo. Allora, n base alle formule del grado (Proposzone 0.), deg( r ) deg( r r ) = deg( b( q q )) = deg( b) + deg( q q ) deg( b) Ma allora deg( r ) deg( b), conro la (). Qund r ( X ) = r ( X ), e dalla () segue che q ( X ) = q ( X ). Cò prova l'uncà del quozene e del reso. Esempo. Per deermnare l quozene ed l reso della dvsone eucldea del polnomo a( X ) per l polnomo b( X ) s può effeuare una dvsone n colonna. Consderamo ad esempo, n Q [ X ], polnom 3 a( X ) = X + X e b( X ) = X + X. X + X X + X 3 + = 3 X 3 X X + X 3 X X X q X ( ) X + X = r X ( ) Abbamo oenuo l quozene q( X ) = X ed l reso r X X X ( ) = +. Defnamo ora la nozone d massmo comune dvsore n K[ X ]: essa è analoga a quella daa n Z (v. Defnzone 6.3). S porà dare, n manera smle, una defnzone d mnmo comune mulplo. Defnzone.3 Sano a( X ), b( X ) K[ X ]. Allora s dce massmo comune dvsore d a( X ) e b( X ) ogn polnomo d( X ) ale che (a) d( X ) a( X ) e d( X ) b( X ) ; (b) per ogn e( X ) K[ X ] ale che e( X ) a( X ) ed e( X ) b( X ), s ha che e( X ) d( X ).

3 Da a( X ), b( X ) K[ X ], esse sempre un loro massmo comune dvsore. Cò segue dal prossmo enuncao, analogo alla Proposzone 6.5. La sua dmosrazone, che non rporamo per brevà, s basa, come nel caso dell'anello Z, sul Teorema d dvsone eucldea e sfrua l prncpo del mnmo, applcao ad nsem cu elemen sono grad d polnom verfcan una cera propreà. In alr ermn, la dmosrazone del prossmo enuncao s effeua operando, sulla dmosrazone della Proposzone 6.5, modfche analoghe a quelle che hanno prodoo la dmosrazone del Teorema. a parre da quella del Teorema 6.0. Proposzone. (Lemma d Bézou) Sano a( X ), b( X ) K[ X ]. Allora esse un massmo comune dvsore d( X ) d a( X ) e b( X ). Inolre essono s( X ), ( X ) K[ X ] al che s( X ) a( X ) + ( X ) b( X ) = d( X ). () Tale uguaglanza s dce denà d Bézou. I polnom s( X ), ( X ) s dcono coeffcen d Bézou d a( X ) e b( X ). Come per numer ner, massm comun dvsor d due polnom fssa sono a due a due assoca. Il prossmo rsulao è analogo alla Proposzone 6.6. Proposzone.5 Sano a( X ), b( X ) K[ X ] e sa d( X ) un massmo comune dvsore d a( X ) e b( X ). Allora massm comun dvsor d a( X ) e b( X ) sono u e sol polnom ud( X ), ove u K *. Noa S ha d( X ) = 0 se e solo se a( X ) = b( X ) = 0. In u gl alr cas esse uno ed un solo massmo comune dvsore d a( X ) e b( X ) avene coeffcene dreore uguale a (un polnomo sffao s dce monco). Queso vene ndcao con l smbolo MCD( a( X ), b( X )). Anche n K[ X ] massm comun dvsor s deermnano con l'algormo delle dvson successve, d cu proponamo qu d seguo la versone per polnom. Sano a( X ), b( X ) K[ X ], enramb non null. S comnca effeuando la dvsone con reso d a( X ) per b( X ) : ) a( X ) = b( X ) q ( X ) + r ( X ) ( r ( X ) = 0 oppure r ( X ) 0 e deg( r ) < deg( b). ) Se r ( X ) 0, s prosegue effeuando la dvsone con reso d b( X ) per r ( X ) : b( X ) = r ( X ) q ( X ) + r ( X ) ( r ( X ) = 0 oppure r ( X ) 0 e deg( r ) < deg( r ).) ) Se r ( X ) 0, s prosegue effeuando la dvsone con reso d r ( X ) per r ( X ) : r ( X ) = r ( X ) q ( X ) + r ( X ). ( r 3 ( X ) = 0 oppure r 3 ( X ) 0 e deg( r3 ) < deg( r ).) 3) 3 3 Fnano che non s rova un reso nullo, s va avan, rcorsvamene, effeuando ogn vola la dvsone del penulmo reso per l'ulmo reso rovao. In queso modo, l passo -esmo fornsce l'uguaglanza:

4 .) r ( X ) = r ( X ) q ( X ) + r ( X ) ( r ( X ) = 0 oppure r ( X ) 0 e deg( r ) < deg( ). ) In base a quano osservao a margne delle uguaglanze.),.), 3.),.), (e che derva dalla condzone () del Teorema.), s conclude che la sequenza de grad de res non null è sreamene decrescene: r deg( ) > deg( ) > deg( ) > > deg( ) > r r r3 r Poché ques numer sono u maggor o ugual a zero, la sequenza de res non null non può essere nfna. Qund l nosro procedmeno s conclude con le seguen due uguaglanze: n.) rn 3( X ) = rn ( X ) qn ( X ) + rn ( X ) ( r ( ) 0 n X e deg( rn ) < deg( rn ). ) n. ) r ( X ) = r ( X ) q ( X ) n n n S prova allora che r ( ) n X è un massmo comune dvsore d a( X ) e b( X ) ; nfa vale la seguene proposzone, analoga alla Proposzone 6.8: Proposzone.6 Un massmo comune dvsore d due polnom non null (che non sano uno dvsore dell alro) è l'ulmo reso non nullo che compare nel relavo algormo delle dvson successve. Eserczo.7* Sano, come nell'esempo., che MCD( a( X ), b( X )) =. a( X ) = X + X e 3 b( X ) = X + X. Provare Nel reso d quesa lezone preseneremo, n K[ X ], nozon analoghe a quelle vse nella Lezone 7. Osservamo prelmnarmene che, n vrù del Corollaro 0.7, polnom nverbl d K[ X ] sono * u e sol quell cosan e non null (ossa, U ( K[ X ]) = K ), equvalenemene: polnom d grado zero. I prossm re enunca corrspondono, nell'ordne, alle Defnzon 7. e 7. e al Lemma 7.3. Defnzone.8 Un polnomo p( X ) K[ X ], non nullo e non nverble, s dce prmo se, per ogn a( X ), b( X ) K[ X ], Alrmen p( X ) s dce composo. p( X ) a( X ) b( X ) p( X ) a( X ) oppure p( X ) b( X ). Defnzone.9 Un polnomo p( X ) K[ X ], non nullo e non nverble, s dce rrducble se, per ogn a( X ), b( X ) K[ X ], p( X ) = a( X ) b( X ) a( X ) è nverble oppure b( X ) è nverble.

5 Alrmen p( X ) s dce rducble. Lemma.0 Sa p( X ) K[ X ] un polnomo non nullo e non nverble. Allora sono equvalen le seguen condzon. () p( X ) è prmo; () p( X ) è rrducble; () dvsor d p( X ) sono u e sol polnom u, up( X ), ove u K *. Osservazone. Rcordamo che, n base al Lemma 7.3, dvsor d un numero prmo p sono,, p, p. Dal confrono con la condzone () del Lemma.0 rsula che, sa nell'anello Z, sa nell'anello K[ X ] dvsor d un elemeno prmo (equvalenemene, rrducble) sono u e sol gl elemen nverbl ed prodo ra ques e l'elemeno sesso. D'ora n po sosuremo la condzone non nullo e non nverble con la condzone equvalene non cosane. Inolre useremo ermn prmo ed rrducble come snonm. Il prossmo enuncao, analogo al Lemma 7.5, s deduce dalla Defnzone.8 con un facle ragonameno nduvo. Lemma.* Sa p( X ) K[ X ] un polnomo prmo e sano a ( ),..., ( ) [ ] X a X K X al che p( X ) a ( X ) a ( X ). Allora p( X ) a ( X ) per qualche {,..., r}. r r Corollaro.3 Sa p( X ) K[ X ]. Se deg( p ) =, allora p( X ) è rrducble. Dmosrazone: Sano a( X ), b( X ) K[ X ] al che p( X ) = a( X ) b( X ). Allora, n base alla formula del grado per l prodoo (Proposzone 0. (b)), segue che Dunque, se deg( ), deg( p) = deg( a) + deg( b). deg( a),deg( b ) = 0,. Dunque uno ra a( X ) e b( X ) ha grado zero, p = allora { } { } ossa a( X ) è nverble oppure b( X ) è nverble. Cò prova che p( X ) è rrducble. Esempo. I polnom d grado maggore d non sono necessaramene rrducbl. Ad esempo, l polnomo quadraco f ( X ) = X + 3X + Q [ X ] è rducble, poché ammee la decomposzone f ( X ) = ( X + )( X + ) n cu nessuno de due faor a secondo membro è nverble. Nell'anello K[ X ], come nell'anello Z, vale un eorema d faorzzazone unca, ossa un enuncao analogo al Teorema 7.6. Teorema.5 (Teorema d faorzzazone unca) Sa f ( X ) K[ X ] un polnomo non cosane. Allora essono, per qualche nero posvo s, s polnom rrducbl p ( X ), p( X ),..., ps ( X ) K[ X ] al che

6 f ( X ) = p ( X ) p ( X ) p ( X ). (3) s Inolre, l numero s ed polnom p ( X ), p( X ),..., ps ( X ) sono unvocamene deermna a meno d molplcazone per polnom cosan non null. Dmosrazone: Supponamo per assurdo che essa polnomo non cosane per l quale non esse una decomposzone del po (3). Allora l'nseme C d al polnom è non vuoo. Sa D l'nseme de grad d al polnom; allora D è un soonseme non vuoo d N ed n quano ale, per l prncpo del mnmo (assoma d buon ordnameno), ammee un mnmo m. Sa f ( X ) C ale che deg( f ) = m. In parcolare f ( X ) non è allora un polnomo rrducble. Perano essono a( X ), b( X ) K[ X ] non nverbl al che f ( X ) = a( X ) b( X ). Allora a( X ), b( X ) sono non null e d grado posvo. D'alra pare, n base alla formula del grado per l prodoo, m = deg( f ) = deg( a) + deg( b), e qund, essendo deg( a ) > 0, deg( b) < m. Analogamene s deduce che deg( a) < m. Dunque a( X ), b( X ) C, qund a( X ), b( X ) s scrvono come prodo d polnom rrducbl, e qund lo sesso vale per f ( X ), conro l'poes. Cò prova che ogn polnomo non cosane d K[ X ] ammee una decomposzone del po (3). Supponamo ora che l polnomo non cosane f ( X ) K[ X ] ammea, olre ad (3), la seguene decomposzone, dove è un nero posvo e q ( X ), q( X ),..., q ( X ) K[ X ] sono polnom rrducbl: f ( X ) = q ( X ) q ( X ) q ( X ). () Provamo allora che s = e che, a meno d rordnare faor n (3) e n (), per ogn =,..., s s ha p = uq per qualche u * K. Procedamo per nduzone su s. Se s =, allora f ( X ) = p ( X ) è rrducble. Dalla () segue allora che =. Non può essere, nfa,, perché alrmen f ( X ) sarebbe l prodoo d q ( X ) e q ( ) ( ) X q X, che sono polnom non cosan e qund non nverbl, e dunque f ( X ) sarebbe rducble. Qund f ( X ) = q ( X ), e perano, n parcolare, p ( X ) = q ( X ). Cò prova la base dell'nduzone. Supponamo ora che sa s > e che la es sa vera per s. Dalla (3) e dalla () segue che s p ( X ) p ( X ) p ( X ) = q ( X ) q ( X ) q ( X ). (5) Poché p ( X ) dvde l prodoo a secondo membro, e p ( ) X è prmo, n vrù del Lemma.5, a meno d rordnare faor, s ha che p ( X ) q ( X ). Ma, n base al Lemma.0, dvsor d q ( X ) sono u e sol polnom nverbl ed prodo d ques ulm con q ( X ). Essendo p ( X ) non cosane, segue che * p = uq per qualche u K. Allora, essendo p ( ) X non nullo e qund cancellable, dalla (5) segue che p ( X ) p ( X ) = q ( X ) q ( X ), ove q ( X ) = u q ( X ) è s assocao a q ( ) X (v. Proposzone 6.6) e qund rrducble (v. Corollaro 6.8). Il numero d faor a prmo membro è s, menre faor a secondo membro sono, qund, per l'poes nduva, s ha s =, coè s =, e, a meno d rordnare faor, per ogn =,..., s, p = uq per qualche u * K. Cò conclude l passo nduvo e complea la dmosrazone.

7 Noa L'uguaglanza (3) s dce faorzzazone o decomposzone n faor rrducbl del polnomo f ( X ). I polnom p ( X ) (ed polnom ad ess assoca) s dcono faor rrducbl d f ( X ). Esempo.6 Sa, come nell'esempo., ammee le seguen faorzzazon: f ( X ) = X + 3X + Q [ X ]. Allora f ( X ) f ( X ) = ( X + )( X + ), f ( X ) = ( X )( X ), f ( X ) = (X + )( X + ). Quese sono solo re delle nfne faorzzazon f ( X ) = ( ax + a)( a X + a ), ove a Q. Nel prossmo eserczo, d caraere eorco, s esende all'anello K[ X ] la defnzone d elemen coprm (nrodoa nella Defnzone 6.0 per numer ner), e s rchede d adaare al caso de polnom le dmosrazon del Corollaro 6., della Proposzone 6. e lo svolgmeno dell'eserczo 7.. Eserczo.7* Sano a( X ), b( X ) K[ X ]. Provare che sono equvalen le seguen condzon. () MCD( a( X ), b( X )) = ; () essono s( X ), ( X ) K[ X ] al che s( X ) a( X ) + ( X ) b( X ) = ; () a( X ) e b( X ) non hanno faor prm n comune. Se valgono (), () e (), polnom a( X ) e b( X ) s dcono coprm.