Figura 10: Un azione a calcetto...

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1 Lezione 2: I Vettori Abbiamo visto che numeri reali, coppie di numeri reali o terne di numeri reali possono rappresentare geometricamente la posizione di un punto su una retta, nel piano o nello spazio. Questo ci permette, per esempio, di rappresentare graficamente (in modo esatto) la posizione di un certo numero di elementi in un piano. Supponiamo però di voler rappresentare anche altre informazioni. A tutti è chiaro come interpretare l azione di calcetto che è rappresentata nella figura: ci sono quattro giocatori che si stanno muovendo, due dei quali in direzione Figura 10: Un azione a calcetto... della palla e uno più veloce dell altro. Tutte queste informazioni noi le abbiamo dedotte dalle frecce disegnate a partire da ogni giocatore. Con quel solo simbolo noi deduciamo direzione e verso dello spostamento e ci aspettiamo che più è lunga la freccia più sia veloce il giocatore. In fisica, in statica, in scienze delle costruzioni, spesso ci si trova a considerare spostamenti, velocità o forze che agiscono sugli elementi che stiamo studiando (che possono 1

2 Lezione 2 14 essere particelle, elementi strutturali, ecc...) e a considerare l azione contemporanea di più forze, spostamenti, ecc... Quindi abbiamo bisogno di uno strumento su cui poter operare in modo da comporre i diversi contributi e poter predire il risultato. Esempio 11 Se un oggetto viene spinto in due direzioni diverse, con intensità diverse, in che direzione si sposterà? Figura 11: Spostamenti... Tutti sono in grado di intuire nei vari casi rappresentati nel disegno la direzione risultante, ma questo si può fare in modo rigoroso usando l algebra dei vettori. Definizione 12 Un vettore è un segmento orientato (del piano o dello spazio) di vertici O e P. Figura 12: Vettore...

3 Lezione 2 15 Quindi un vettore è un oggetto che è caratterizzato da una direzione (quella della retta passante per i punti O e P), un verso (quello da O verso P) e una intensità (la lunghezza del segmento OP). I risultati delle composizioni tra spinte diverse che potevamo intuire nell Esempio 1 si possono ottenere utilizzando l operazione di somma tra vettori. La somma tra due vettori è un vettore che si ottiene dai due vettori secondo la regola del parallelogramma. Dati due vettori OP e OQ il vettore OP + OQ è il vettore di estremi O e il vertice opposto a O nel parallelogramma di lati adiacenti OP e OQ. Figura 1: La regola del parallelogramma... Provate ad applicare questa regola ai vari casi disegnati nell Esempio 1 e vedrete che il risultato è quello che ci si aspetta. Un altra operazione che è utile con i vettori è quella di moltiplicazione per un numero, diremo moltiplicazione per uno scalare, (in genere si usa il termine scalare per indicare un numero e non un vettore ). Definizione 1 Se λ R e v è un vettore (del piano o dello spazio) il vettore λv è ottenuto, a seconda dei casi, nel seguente modo: Se λ > 0 il vettore λv ha la stessa direzione di v, stesso verso e lunghezza pari a λ volte quella di v. Figura 14: prodotto per uno scalare positivo

4 Lezione 2 16 Se λ = 0 il vettore λv degenera nel punto O Se λ < 0 il vettore λv ha la stessa direzione di v, lunghezza pari a λ volte quella di v e verso opposto. Figura 15: prodotto per uno scalare negativo Vediamo un esempio in cui si fa uso di questa operazione appena definita. Tutti voi conoscete la legge di Newton: F = ma (forza = massa per accelerazione). Qui la forza e l accelerazione sono delle quantità vettoriali, mentre la massa è una quantità scalare (un numero). Esempio 14 La bilancia. Prendiamo due pesi di massa m 1 e m 2 e mettiamoli sui due piatti di una bilancia. L accelerazione di gravità g è costante, la forza di gravità -m 2 g -m 1 g m 1 g m 2 g Figura 16: La bilancia applicata a un grave cambia con la massa. La bilancia è in equilibrio se m 1 g = m 2 g

5 Lezione m 2 g Se m 1 =m 2 la risultante e nulla m 1 g Figura 17: Risultante nulla mentre se prendo il secondo peso più pesante il primo peso si sposta verso l alto. -m 2 g Se m 2> m 1 la risultante... (m 1 -m 2 )g m 1 g Figura 18: Il secondo peso pesa di più In questo esempio facile abbiamo usato la moltiplicazione di un vettore per uno scalare e la somma di due vettori. Quando si calcolano i carichi su una struttura si fanno operazioni di questo tipo, anche evidentemente più complicate, quindi dobbiamo familiarizzare con le operazioni tra vettori.

6 Lezione 2 18 Esercizio 15 Dati i due vettori u e v u v Figura 19:... costruire graficamente i vettori u + 2u, 1 v, u v e u + 2v. 2 Queste due operazioni che finora abbiamo capito geometricamente (graficamente) si possono rendere più semplici (da un punto di vista operativo) usando le coordinate cartesiane. I vettori del piano Abbiamo visto che per sommare due vettori (usando la regola del parallelogramma) questi devono avere il primo estremo (che abbiamo chiamato O) in comune, ossia devono essere entrambi applicati in un stesso punto. Allora nel considerare tutti i vettori del piano li applichiamo tutti in uno stesso punto (l origine degli assi), in modo che ogni vettore applicato nell origine stia a rappresentare un qualsiasi altro vettore del piano con la stessa direzione, lo stesso verso e stessa intensità, ma con estremo di applicazione eventualmente diverso. P O Figura 20: Tutti questi vettori sono rappresentati dal vettore applicato OP A questo punto un qualsiasi vettore v che parte da O è univocamente individuato dall altro suo estremo P. Quindi se le coordinate di P sono (x 0, y 0 ), posso usarle per indicare il vettore v. ( ) x0 Scriveremo v = OP = e l insieme di tutti i vettori del piano sarà indicato con E 2 {( ) x E 2 = y y 0 }, x R, y R.

7 Lezione 2 19 y 0 v P=(x 0,y 0 ) O x 0 Figura 21: Un vettore del piano è individuato dall estremo P Vediamo usando le coordinate cartesiane come si fanno le due operazioni tra vettori che abbiamo definito geometricamente, la somma tra vettori e la moltiplicazione per uno scalare. Prendiamo due vettori del piano, questi saranno individuati da due punti del piano P 1 e P 2, e quindi dalle loro coordinate (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ). L operazione OP 1 +OP 2 usando le coordinate si traduce in ( ) ( ) ( ) x1 x2 x1 + x + = 2 y 1 y 2 y 1 + y 2 ossia la somma si fa componente per componente. y 1 +y 2 y 1 P 1 y 2 P 2 O x 1 x 2 x 1 +x 2 Figura 22: somma di due vettori del piano Esempio 16 ( ) 2 + ( ) ( ) ( ) = = Anche la moltiplicazione per uno scalare si fa componente per componente: per un qualsiasi vettore del piano OP (P = (x, y)) e un numero reale λ si ha ( ) x λ = y ( ) λx. λy

8 Lezione 2 20 Figura 2: Ci sono due triangoli rettangoli simili. L ipotenusa di uno è lunga λ volte quella dell altro. Esempio 17 ( ) ( ) ( ) = 2 2 = 2. Attenzione D ora in poi diremo che due vettori sono paralleli se hanno la stessa direzione. In particolare poiché li applichiamo tutti sullo stesso punto due vettori paralleli giacciono sulla stessa retta. Tanto per non lasciare niente di non detto: per esempio se u = ( 2 ), allora tutti i vettori che seguono sono ad esso paralleli ( ) 1 ( ) ( 2 ) ( 2 2 ), 2 infatti sono tutti proporzionali a u e sappiamo che la moltiplicazione per uno scalare lascia invariata la direzione (vi faccio notare che tra i vettori paralleli a u mettiamo anche u stesso). ( ) 1 Esercizio 18 Fissiamo due vettori u = e v = vettori: a)v + 2u; b)u v; c) 1 5 v. ( ) 2 e determiniamo i seguenti 5 È chiaro che se volete esercitarvi non è difficile inventare esercizi di questo genere. Comunque risolviamo questo: a) b) c) v + 2u = ( ) 1 u v = ( ) ( ) = 5 ( ) 2 = 5 1 v = 1 ( ) 2 = ( ( ) ( ) = ( ) ( ) = ) ( 2 ) 5 = 5. Domanda: È possibile determinare un valore per il parametro λ in modo che sia ( ) 4 = 1 ( ) ( ) λ? 5

9 Lezione 2 21 Perchè sia vera questa equazione tra vettori, deve essere vera componente per componente, quindi ci stiamo chiedendo: è possibile trovare λ in modo che siano contemporaneamente vere le seguenti due equazioni? 4 = 2 + λ e 1 = 5 + λ. La prima è verificata per λ = 2 e così anche la seconda. Quindi ( ) la risposta è: SI. 4 Ma se avessi preso un qualsiasi altro vettore al posto di sarebbe ancora stato 1 possibile risolvere questo problema? In altri termini: tutti i vettori del piano si possono scrivere come ( ) ( ) λ 5 per un qualche numero reale λ? ( ) 2 La risposta è NO! Provate a verificarlo con il vettore, si vede subito che non 0 ( ) ( ) ( ) trovo nessun λ per cui = + λ. 0 5 Provate a farvi un idea geometrica di quali sono tutti i vettori con cui lo posso fare...ovviamente sono tanti (infiniti, uno per ogni scelta di λ), ma come sono messi nel piano? Sono tutti quei vettori che si ottengono sommando ( ) 1 la stessa direzione ma diversa lunghezza) di. ( ) 2 a un multiplo (cioè con 5 Figura 24:...sembrerebbe che stanno su una stessa retta......ma questo lo vedremo meglio in seguito. Domanda: Se fisso due punti P 1 = (x 1, y 1 ) e P 2 = (x 2, y 2 ), come costruisco il vettore parallelo al segmento P 1 P 2, della stessa lunghezza e verso da P 1 a P 2? Si può verificare

10 Lezione 2 22 facilmente che questo vettore, che indichiamo con P 1 P 2, è fatto cosı: ( ) x2 x P 1 P 2 = 1. y 2 y 1 Ci sono vari modi per convincersene: uno è di guardare la figura y 2 P 2 y 1 P 1 y 2 -y 1 O x 1 x 2 -x 1 x 2 Figura 25:... e l altro è algebricamente, fatelo per esercizio. Suggerimento: Costruite il parallelogramma che ha il segmento P 1 P 2 e il vettore P 1 P 2, come coppia di lati paralleli opposti. Allora il vettore OP 2 si ottiene come somma di P 1 P 2 e OP 1. In altre parole P 1 P 2 = OP 2 OP 1 I vettori dello spazio Analogamente a quanto fatto nel piano si può definire con E l insieme di tutti i vettori dello spazio. È chiaro che fissato un riferimento cartesiano nello spazio un qualsiasi vettore dello spazio può essere applicato nell origine ed è univocamente individuato dalle coordinate (x, y, z) del suo punto finale P x E = y, x R, y R, z R. z Anche in questo caso le operazioni che abbiamo finora definito, somma e la moltiplicazione per uno scalare, si possono fare componente per componente: dati due qualsiasi vettori dello spazio, questi saranno individuati da due punti P 1 e P 2 di coordinate (x 1, y 1, z 1 ) e (x 2, y 2, z 2 ). Allora il vettore OP 1 + OP 2, somma dei due vettori OP 1 e OP 2, si ottiene x 1 x 2 x 1 + x 2 y 1 + y 2 = y 1 + y 2. z 1 z 2 z 1 + z 2 E così dato un qualsiasi vettore OP, dove il punto P ha coordinate (x, y, z) il vettore λop che si ottiene moltiplicando OP per lo scalare λ è x λx λ y = λy. z λz

11 Lezione Esercizio 19 Dati i due vettori u = 2 e v = 1 calcoliamo: a) u v; b) 4 2v + u; c) v + 2u. Basta farlo come prima, componente per componente, il fatto che il numero delle componenti sia aumentato non rende più difficile l operazione: a) b) c) u v = = 2 1 = v + u = = = v + 0 2u = = Osservazione Questi due insiemi E 2 e E che abbiamo definito, i vettori del piano e dello spazio, hanno delle caratteristiche comuni, una struttura molto simile (tra i loro elementi sono definite le stesse operazioni). Anzi vedremo che ogni volta che definiremo delle operazioni o individueremo delle proprietà dei vettori geometrici, queste si tradurranno in termini delle coordinate in modo del tutto analogo in E 2 e in E. Questi due insiemi sono solo un caso particolare di una classe più generale: gli spazi vettoriali. Per il momento non diciamo altro (e anche in seguito non diremo molto di più), però non credo sia impossibile convincerci, per esempio, che (almeno formalmente) le operazioni che abbiamo fatto in E 2 e E si possano fare tra oggetti del tipo: x 1 x 2 x x 4 x 1, x 2, x, x 4 R cioè quaterne di numeri reali. Come esempio di spazio vettoriale che non ha una interpretazione geometrica cosí come nel caso di E 2 ed E, potremmo considerare l insieme di tutti i polinomi di grado al più. È chiaro che un generico polinomio di grado al più può essere scritto nella forma ax + bx 2 + cx + d, ossia è univocamente individuato dai suoi coefficienti una quaterna di numeri reali. È anche chiaro che la somma di due polinomi di grado al più è ancora un polinomio di grado al più e così anche per la moltiplicazione per uno scalare (x x 2 + 2) + (x + 5x 2 x + 1) = 2x + 4x 2 x + 2(x x 2 + 2x 5) = 2x 2x 2 + 4x 10. Vedete anche in questo caso le operazioni si fanno sui singoli coefficienti (ossia sulle quaterne che rapprentano i polinomi, componente per componente).