Esercizi di Fisica Matematica 3, anno

Transcript

1 Esercizi di Fisica Matematica 3, anno Dario Bambusi, Andrea Carati Abstract Tra i seguenti esercizi verranno scelti gli esercizi dell esame di Fisica Matematica 3. 1 Meccanica Hamiltoniana Esercizio 1.1. Nel piano si consideri il gruppo di matrici [ ] cosθ sinθ R(θ) := sinθ cosθ. (1.1) Si consideri il gruppo di trasformazioni di coordinate x = R(t)y e si completi tale trasformazione di coordinate nello spazio delle configurazioni ad una trasformazione canonica nel corrispondente spazio delle fasi. Calcolare la quantità conservata associata all invarianza sotto il gruppo di trasformazioni canoniche cosí ottenuto. Esercizio 1.. Nel piano si consideri il gruppo di trasformazioni x = x+t y = y (1.) Si completi tale trasformazione di coordinate nello spazio delle configurazioni ad una trasrormazione canonica nel corrispondente spazio delle fasi. Calcolare la quantità conservata associata all invarianza sotto il gruppo di trasformazioni canoniche cosí ottenuto. Esercizio 1.3. Dire per quali valori dei parametri α e β la seguente trasformazione di coordinate è canonica. P = αpe βq, Q = 1 α e βq (1.3) Esercizio 1.4. Dire per quali valori dei parametri α, β e γ la seguente trasformazione di coordinate è canonica. P = p α sin(βq), Q = p γ cos(βq) (1.4) 1

2 Esercizio 1.5. Determinare dei valori opportuni delle costanti A, α, β in corrispondenza dei quali la seguente trasfromazione è canonica Q = log(e αp /q), P = Aqe βp Esercizio 1.6. Determinare le variabili azione angolo per l oscillatore armonico H(p,q) = p m + 1 ω q. Esercizio 1.7. Determinare la trasformazine canonica che rimuove la perturbazione a ordine ǫ per l Hamiltoniana H(A,φ,t) = A +ǫ(cosφ+cos(φ t)). Esercizio 1.8. Determinare la funzione generatrice della trasformazine canonica che rimuove la perturbazione a ordine ǫ per l Hamiltoniana H(A 1,A,φ 1,φ ) = A 1 + A +ǫ[(a 1 A )sin (φ 1 φ )+cosφ 1 ]. Meccanica Hamiltoniana e quantizzazione Esercizio.1. Data la langragiana Si calcoli la corrispondente Hamiltoniana risolvere le equazioni di Hamilton L(q, q) = 1 q +q q 3q. (.1) si scriva la Hamiltoniana quantistica del sistema. Esercizio.. Data la langragiana Si calcoli la corrispondente Hamiltoniana risolvere le equazioni di Hamilton L(q, q) = 1 ( q +q q) q (.) si scriva la Hamiltoniana quantistica del sistema. Esercizio.3. Data la langragiana Si calcoli la corrispondente Hamiltoniana L(q, q) = q 1+q 3 4 q (.3) si scriva la Hamiltoniana quantistica del sistema.

3 3 Meccanica quantistica A premessa di tutti gli esercizi si ricordano le seguenti formule; quelle rilevanti verranno anche ricordate nel testo dei compiti + π + e σx dx = σ, e a x π +bx dx = a e b 4a, [ ] [ ] [ ] i 1 0 σ x =, σ 1 0 y =, σ i 0 z =. 0 1 Le autofunzioni dell oscillatore armonico sono Ĥ := mx + 1 Kx (3.1) u n (x) = N n H n (αx)e 1 α x, n = 0,1,... (3.) con H n i polinomi di Hermite e α = (mk/ ) 1/4. I primi sono dati da H 0 (ξ) = 1, H 1 (ξ) = ξ, H (ξ) = 4ξ. (3.3) Nell oscillatore armonico con K = m = = 1 gli operatori di creazione e distruzione a, a sono dati da a = ˆq +iˆp, a = ˆq iˆp Esercizio 3.1. Determinare i livelli energetici e le autofunzioni normalizzate di una particella soggetta ad un potenziale V tale che V = 0 per 0 x L e V = altrimenti. Calcolare il valor medio e lo scarto quadratico medio della posizione. Calcolare le stesse quantità nel sistema classico e confrontare i risultati. Esercizio 3.. Determinare i livelli energetici e le autofunzioni normalizzate di una particella soggetta ad un potenziale V tale che V = 0 per 0 x L e V = altrimenti. Trovare la distribuzione del momento per una particella che si trovi nell nesimo livello energetico Esercizio 3.3. Scrivere l equazione di Schrödinger per un oscillatore armonico in rappresentazione momento. Scriverne la soluzione. Calcolare la distribuzione di probabilità del momento nello stato fondamentale e nel primo stato eccitato. Esercizio 3.4. Scrivere la soluzione dell equazione di Schrödinger per una particella soggetta al potenziale V(x) = Fx. Esercizio 3.5. Si consideri una particella quantistica soggetta la potenziale V = V 0 cos(bx). Scrivere l equazione per le autofunzioni del corrispondente operatore di Schrödinger. Scrivere la corrispondente equazione in rappresentazione momento 1 1 Cioé l equazione per la quantità c(p) data da ψ(x) = 1 c(p)e i px dp. π R 3

4 Esercizio 3.6. Trovare l unica autofunzione propria ed il corrispondente valore dell energia per una particella soggetta ad un potenziale della forma V(x) = qδ(x). Esercizio 3.7. Trovare le relazioni di indeterminazione tra le osservabili q e F(p), dove F è un polinomio. Esercizio 3.8. Si stimi l energia dello stato fondamentale di un oscillatore armonico usando le relazioni di indeterminazione. Si assuma che in tale stato valga x = p = 0. Esercizio 3.9. Si consideri la funzione d onda ψ(x) = φ(x)e i p0x con φ a valori reali. Si calcoli il valor medio del mmento. Come si interpreta p 0? Esercizio Si mostri che gli autostati di una particella soggetta ad un potenziale soddisfano a p = 0. Esercizio Dimostrare che, nel caso di operatori limitati vale la formula La serie converge? eˆl Âe ˆL = Â+[ˆL,Â]+ 1! [ˆL,[ˆL,Â]]+ 1 3! [ˆL,[ˆL,[ˆL,Â]]]+... Esercizio 3.1. Calcolare l espressione di ˆp x in coordinate sferiche. Esercizio Sapendo che x = cosφsinθ r + 1 r cosφcosθ θ 1 sinφ r sinθ φ y = sinφsinθ r + 1 r sinφcosθ θ + 1 cosφ r sinθ φ z = cosθ r 1 r sinθ θ calcolare, in coordinate sferiche l espressione dell operatore relativo all osservabile momento angolare lungo l asse z. Esercizio Sapendo che x = cosφsinθ r + 1 r cosφcosθ θ 1 sinφ r sinθ φ y = sinφsinθ r + 1 r sinφcosθ θ + 1 cosφ r sinθ φ z = cosθ r 1 r sinθ θ 4

5 calcolare, in coordinate sferiche l espressione dell operatore relativo all osservabile momento angolare lungo l asse x. Esercizio Sapendo che x = cosφsinθ r + 1 r cosφcosθ θ 1 sinφ r sinθ φ y = sinφsinθ r + 1 r sinφcosθ θ + 1 cosφ r sinθ φ z = cosθ r 1 r sinθ θ calcolare, in coordinate sferiche l espressione dell operatore relativo all osservabile momento angolare lungo l asse y. Esercizio Calcolare le relazioni di commutazione [ ˆM i,ˆx j ] e [ ˆM i, ˆp j ], dove ˆM i sono le varie componenti dell operatore momento angolare. Esercizio Calcolare le relazioni di commutazione [ ˆM i,(ˆx +ŷ +ẑ )] e [ ˆM i,(ˆp x + ˆp y + ˆp z)], dove ˆM i sono le varie componenti dell operatore momento angolare. Esercizio Mostare che in un autostato di ˆMz i valori di aspettazione di M x ed M y sono nulli. Calcolare in un siffatto stato il valore di aspettazione della componente del momento angolare lungo un asse che forma un angolo θ con l asse z. Esercizio Si calcolino, al primo ordine in ǫ gli autovalori dell Hamiltoniana per una particella soggetta ad un potenziale della forma { ǫsinx se x [0,π] V(x) = se x [0,π] (3.4) Esercizio 3.0. Si calcolino, al primo ordine in ǫ gli autovalori dell operatore xx +ǫsin(4x) su ( π,π) con condizioni periodiche al bordo: u( π) = u(π), u ( π) = u (π). Esercizio 3.1. Si ricorda che l hamiltoniana di unaparticella in un campo magnetico è data da Ĥ = 1 ( ˆp e ) m c A +V(x) dove ˆp (ˆp x, ˆp y, ˆp z ) e A è il potenziale vettore. Avendo definito l operatore velocità come i ˆv j [Ĥ,ˆx i], si calcoli tale operatore e si calcolino le relazioni di commutazione tra le sue componenti. Utilizzare il risultato per calcolare lo spettro di Ĥ nel caso di potenziale nullo e campo magnetico uniforme. 5

6 Esercizio 3.. Si scriva l Hamiltoniana di due particelle sulla retta interagenti tramite un potenziale centrale. Definite le variabili X := m 1x 1 +m x m 1 +m, x = x 1 x e i corrispondenti operatori momento, cioè ˆP := i X, ˆp := i x, si riscriva l Hamiltoniana in termini di tali operatori e se ne deducano alcune conseguenze. Esercizio 3.3. Un campo di forze a simmetria centrale da luogo ad un sistema discreto di autovalori. Mostrare che il minimo dell energia per un dato l (dove l è il numero quantico orbitale), aumenta con l. Esercizio 3.4. Si consideri ψ 0 (x) = Ce x /. Determinare C in modo che valga ψ 0 L = 1 Si consideri l Hamiltoniana dell oscillatore armonico con K = /m e si calcoli il valor medio dell energia in ψ 0. Commentare. Esercizio 3.5. Si consideri ψ 0 (x) = Ce x. Determinare C in modo che valga ψ 0 L = 1 Si consideri l Hamiltoniana dell oscillatore armonico con K = /m. Si calcoli la probabilità che una misura dell energia fornisca il valore K m. Esercizio 3.6. Si consideri ψ 0 (x) = Ce x /. Determinare C in modo che valga ψ 0 L = 1 Calcolare la soluzione ψ(x, t) dell equazione di Schrödinger per la particella libera con dato iniziale ψ 0. quanto vale lim t ψ(0,t)? Esercizio 3.7. Si consideri l equazione di Schrödinger per una particella libera di massa m e si assuma che all istante iniziale la funzione d onda valga ψ 0 (x) = { 1 se x 1 0 se x > 1 (3.5) Calcolare ψ(x, t) in termini di trasformata di Fourier. Calcolare la probabilità che la quantità di moto all istante t sia tra p e p+dp. 6

7 Esercizio 3.8. Dato il più generale stato a spin / e cioé [ ] e iα cosδ e iβ sinδ calcolare il valor medio della misura dello spin lungo un asse arbitrario. Esercizio 3.9. Dato il più generale stato a spin / e cioé [ ] e iα cosδ e iβ sinδ (3.6) (3.7) calcolare la probabilità che una misura dello spin lungo l asse (1,1,0) dia risultato /. Esercizio Dopo aver misurato la componente z dello spin di una particella di spin / e aver trovato /, si applica al sistema un campo magnetico intensità B nella direzione (1, 0, 0). Calcolare la probabilità che una misura dello spin lungo l asse z all istante t dia risultato /. Calcolare la probabilità che una misura dello spin lungo l asse x all istante t dia risultato /. Si ricorda che la Hamiltoniana di una particella di spin / in un campo magnetico B è µ s B σ, dove µ s = e/(mc) Esercizio Al tempo t = 0 lo stato di un sistema è dato da ψ = 1+i 3 u u 1 (3.8) dove u 0 ed u 1 sono rispettivamente lo stato fondamentale e il primo stato eccitato di un oscillatore armonico con K = m = = 1. Calcolare il valor medio delle osservabili momento e posizione (si ricordi la loro espressione in termini dei creatori e distruttori). Calcolare lo scarto quadratico medio x e p. Verificare la relazione di indeterminazione di Heisenberg. Esercizio 3.3. Calcolare in funzione dell energia (positiva) il coefficiente di riflessione della buca di potenziale { 1 x 1 U(x) = (3.9) 0 x > 1 Esercizio Calcolare in funzione dell energia (maggiore di 1/) il coefficiente di riflessione della buca di potenziale corrispondente ad un onda che arriva da destra 1 x 1 U(x) = 0 x > 1 (3.10) 1 x < 1 7

8 Esercizio Calcolare in funzione dell energia il coefficiente di riflessione della barriera di potenziale U(x) = { 1 x 1 0 x > 1 (3.11) Esercizio Calcolare in funzione dell energia (positiva) il coefficiente di riflessione della buca di potenziale per un onda che arriva da destra 1 x 1 U(x) = 0 x > 1 (3.1) x < 1 1 8