Multicollinearità Strumenti quantitativi per la gestione
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- Norberto Silvestri
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1 Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer Quando non tutto va come dovrebbe I dati Scatter plot Correlazioni RLS e RLM Individuare la MC Variance Inflation Factor Cosa fare in caso di MC Alcune soluzioni per la MC Quando non tutto va come dovrebbe Si parla di multi collinearità (MC) o collinearità quando due o più variabili indipendenti sono correlate fra loro (a due a due o a gruppi). I principali problemi causati dalla MC riguardano l interpretazione dei risultati che sono spesso confusi Esempio: una compagnia high tech vuole misurare l effetto della pubblicità sulle vendite e vuole distinguere tra pubblicità tradizionale (TV e giornali) e pubblicità su internet. I dati a disposizione riguardano le variabili Y : Vendite (in $m) X 1 : pubblicità TV e giornali (Pubblicità in $m) X 2 : pubblicità internet (Internet in $m) I dati file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/3c_mc.html 1/5
2 Vendite Pubblicità Internet Scatter plot file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/3c_mc.html 2/5
3 Correlazioni Vendite Pubblicità Internet Vendite Pubblicità Internet Ci sono correlazioni elevate non solo tra input e Y (quello che stiamo cercando) ma anche tra X 1 e X 2 (quello che crea confusione) RLS e RLM RLS Y X 1 (Intercept) Pubblicità RLS Y X 2 (Intercept) Internet RLM Y + X 1 X 2 (Intercept) Pubblicità Internet Le RLS indicano che i due predittori, presi singolarmente, hanno capacità predittiva per Y indicato dai t test e dal test F). (come La RLM, in base ai t test, indica che i due predittori, presi assieme, non sembrano avere capacità predittiva per Y. Il modello nel complesso sembra funzionare, come indicato dal test F. Si parla di MC quando due o più VI sono correlate tra loro. file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/3c_mc.html 3/5
4 Se la correlazione tra VI è troppo elevata il metodo dei minimi quadrati incorre in problemi numerici nella determinazione delle soluzioni. Nel caso estremo, se esiste perfetta linearità tra due o più VI, gli OLS non si possono calcolare (in pratica non si può invertire una matrice numerica per la determinazione delle soluzioni) Se le VI sono fortemente correlate tra loro è difficile distinguere il contributo di ciascuna VI su Y. Alti livelli di MC: Inflazionano la varianza delle stime dei coefficienti β (e quindi riducono i valori delle statistiche t che spesso non sono significative) I risultati della regressione risultano fuorvianti e confusi. Nell esempio il problema principale è sull interpretazione: non si distingue l effetto dei due canali pubblicitari Il modello tuttavia funziona il test F è significativo e R 2 a = 0.97 Il modello può essere usato così com è per la previsione Individuare la MC Sono indicatori di MC: Correlazioni elevate tra coppie di VI (sufficiente ma non necessaria) t test non significativi (tutti o molti di essi) per i parametri β individuali ma F test per il modello significativo Coefficienti dei parametri stimati di segno opposto a quanto ci si attende Un «Variance Inflation Factor» (VIF) per un parametro β superiore a 10 Variance Inflation Factor X j β^j β^j Il VIF per la variabile è il rapporto tra la varianza di nel del modello completo e la varianza di in un modello di RLS Il valore più piccolo possibile per il VIF è 1, che indica l assenza di MC Di regola un valore del VIF superiore a 10 indica presenza di MC problematica In R i VIF si calcolano con la funzione vif() del pacchetto car : reg3< lm(vendite~pubblicità+internet) library(car) vif(reg3) file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/3c_mc.html 4/5
5 Pubblicità Internet Cosa fare in caso di MC Se la MC è presente ma non eccessiva (no correlazioni elevate, VIF < 10), si può ignorare. Ogni VI fornisce sufficiente informazione per l individuazione del proprio contributo. Se l obbiettivo principale è la previsione (usando le VI a disposizione), si può ignorare la MC senza troppi problemi. Se l obbiettivo principale è l analisi della struttura del fenomeno allora la MC è un problema poiché gli effetti misurati possono essere fuorvianti. Alcune soluzioni per la MC Si raccolgano più dati se possibile; i problemi numerici diminuiscono in presenza di n elevato. Si elimini una o più delle variabili correlate dal modello finale. Una procedura di screening come la regressione Stepwise (lezioni successive) può aiutare. Usare altre tecniche di regressione, ad esempio Ridge regression (lezioni successive) Se si decide di mantenere tutte le variabili prestare attenzione all interpretazione del modello. file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/3c_mc.html 5/5
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