p V Velocita di propagazione del suono ρ = densita del mezzo k = modulo di compressione

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1 1 Onde longitudinali o acustiche del tutto in generale si definisce onda acustica qualsiasi onda longitudinale dovuta alla perturbazione longitudinale di un qualsiasi mezzo meccanico nello specifico e detto suono un onda longitudinale dovuta alla compressione dell aria Velocita di propagazione del suono se le variazioni di pressione sono piccole la velocita del suono e v k ρ ρ densita del mezzo k modulo di compressione k p V ( ) V

2 per un gas perfetto il modulo di compressione e proporzionale alla pressione per cui k γ p inoltre 1 V per un gas perfetto : ρ m γρ ρ nm Velocita del suono nell aria dove pv nr R dunque: k v M la massa molecolare dell aria e 9 g/mole γ calore specifico a pressione costante calore specifico a volume costante M e la massa molecolare p γ R M nr V γ 1.4 la velocita del suono nell aria a zero gradi centigradi e v ms 1

3 Onde trasversali in una corda tesa all equilibrio la corda e tesa lungo l asse delle quindi yt (,) y( t, ) 0 0 rappresenta lo spostamento trasversale lungo la corda rispetto alla condizione di equilibrio (,) t yt (,) y(,) t per ogni e per ogni t 0 e la perturbazione y y y(,t) Corda tesa Corda perturbata ψ (,) t yt (,) sia la tensione nella corda e la densita lineare di massa della corda dm d risolvendo le equazioni del moto verticale di un tratto infinitesimo d di corda si ottiene 3

4 4 yt (,) yt (,) t e dalla ψ ψ v t si deduce che lungo la corda si propaga una perturbazione trasversale con velocita di propagazione pari a v Proprietà elastica Proprietà inerziale

5 ensione meccanica nei fili si definisce tensione in ogni punto del filo il modulo della forza che la corda sviluppa in quel punto un filo ideale ha : dimensioni trasverse infinitesime, tensione uguale dappertutto e massa nulla ad ogni estremo di un filo ideale si esercita una forza diretta nella direzione del filo se il filo e fermo, o si muove di moto rettilineo uniforme, le due forze agli estremi sono opposte ed uguali inoltre la tensione avra lo stesso modulo ovunque nella corda y() d d 5

6 6 se la corda e in moto accelerato la tensione variera da punto a punto della corda per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio possiamo assumere che il modulo della tensione sia lo stesso ovunque ma le tensioni ai capi di un piccolo tratto di corda tesa, al limite infinitesimo, comunque non si equilibrano perfettamente pur avendo lo stesso modulo dovranno avere direzione leggermente diversa a causa della curvatura della corda y() + ψ ( ) ψ ( + d) +d

7 y() ψ ( + d) ψ ( ) senα dm cosα α d α d dψ ψ ( ) ψ ( + d) α ' cosα ' senα ' R cosα' cosα ( cosα' cosα) R senα' senα ( senα' senα) y +d la risultante delle forze agenti su di un tratto infinitesimo di corda, trascurando la gravita, sara per angoli piccoli si potranno usare le approssimazioni delle funzioni armoniche senα α tgα e cosα 1 7

8 per cui e R cos α' cosα 0 R ( senα' senα) ( tgα' tgα) y la risultante lungo l asse delle e nulla dunque non vi sara moto della corda in quella direzione per piccoli angoli lo spostamento della corda e solo trasversale sviluppando in serie di aylor la funzione tgα e tgα tgα' tgα + d +... ma quindi tgα d da cui si ricava approssimazione valida per piccoli angoli, e derivando parzialmente rispetto ad α' α ψ tg tg d ψ Ry ( tgα' tgα) d arrestandosi al primo ordine tgα tgα' tgα d tgα 8

9 la seconda legge di Newton proiettata lungo l asse trasverso per una massa infinitesima dm d e y ψ Fy dm ay da y d d t t Ry d d t t ma, in generale t che si propaga con velocita ψ v v e l equazione di un onda cio dimostra che lungo la corda si propaga una onda trasversale con velocita v che dipende dalla tensione e dalla densita lineare di massa della corda 9

10 Supponiamo di avere due corde di uguale spessore, ma diversa densita lineare di materia unite in un punto di coordinata 0 y() dm 1 1 d dm d 0 assumeremo che la perturbazione sia descrivibile come onda armonica 10

11 y() ψ I + ψ R ψ +d ψ ψ ( ω ) sen t k I 0I 1 ψ ψ ( ω ) sen t + k R 0R 1 ψ ψ ( ω ) sen t k 0 funzione d onda dell onda incidente funzione d onda dell onda riflessa funzione d onda dell onda trasmessa, o rifratta lo spostamento verticale della corda : nella zona delle negative e nella zona delle positive e ψ ψ + ψ ψ ψ I R 11

12 nel punto ad 0 dove le due corde sono unite lo spostamento verticale della corda dovra essere lo stesso, altrimenti la corda si spezzerebbe in quel punto condizione di continuita della perturbazione in un punto di discontinuita : in 0 ψ I + ψ R ψ ossia : ψ sen( ωt) + ψ sen( ωt) ψ sen( ωt) 0I 0R 0 da cui si ottiene ψ + ψ ψ 0I 0R 0 relazione che lega tra loro le ampiezze dell onda incidente riflessa e trasmessa 1

13 in questo caso particolare y() una seconda relazione potrebbe provenire dalla forza che agisce verticalmente in ciascun punto della corda per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio si avra Fy senα tgα senα ψ ( ) ψ ( + d) 0 +d nella regione delle negative sono presenti l onda incidente e quella riflessa F y ( < 0) ψ I + ψ nella regione delle positive y> 0 R dm cosα α d I R ( + ) F α d dξ α ' cosα ' senα ' 13

14 nel punto di giunzione, la forza verticale dovra essere la stessa sia che la si calcoli a partire dalle ascisse negative sia da quella delle ascisse positive a 0, dovra quindi essere ovvero ψ I ψ R ψ + F y ( 0) calcolando le derivate delle funzioni armoniche I R ( + ) k( ψ cos( ωt k) + ψ cos( ωt+ k)) kψ cos( ωt k) 1 0I 1 0R 1 0 kψ cos( ωt) + kψ cos( ωt) kψ cos( ωt) nel punto I R sperimentalmente si constata che la pulsazione dell onda non cambia quando si passa da un mezzo ad un altro kψ + kψ kψ 1 0I 1 0R 0 che cambiata di segno diviene k1ψ0 k1ψ0 kψ0 I R 14

15 k k ψ0i + ψ0r ψ ψ 0 R ψ k + k k1 k1ψ0i k1ψ0r kψ0 ψ ψ k + k ω k v ψ 1 0R 0I + 1 ψ ψ 1 0 0I 1 dato che la velocita dell onda in una corda tesa e e 0 0I I + v 1 ψ si ha k ω definiamo ψ 0R r ψ ψ 0 coefficiente di riflessione ψ 0I 0I t coefficiente di trasmissione ( o rifrazione) 15

16 r 1 + da notare che: 1 e t t e sempre positivo l ampiezza dell onda trasmessa (rifratta) ha sempre lo stesso segno dell onda incidente ossia l onda incidente e l onda trasmessa sono sempre in fase tra loro r puo essere positivo, se 1 >, o negativo, se 1 < ossia a seconda che la perturbazione passi da una corda di densita maggiore ad una di densita minore o viceversa in generale: se si passa da un mezzo meno denso ad mezzo piu denso 1 < l onda riflessa ha sempre ampiezza opposta a quella dell onda incidente ( l onda riflessa e l onda incidente sono in opposizione di fase, o anche l onda riflessa ha subito uno sfasamento di π rispetto all onda incidente ) 16

17 si puo dimostrare che l energia riflessa e proporzionale a r e che l energia trasmessa e proporzionale a t 17

18 Riflessione e trasmissione alla superficie di separazione fra due mezzi l onda si divide sempre in onde riflessa e trasmessa e in generale si puo affermare che l intensita dell onda e proporzionale al quadrato dell ampiezza poiche caso semplice: incidenza normale per la continuità dell onda fra i due mezzi: per la conservazione dell energia: da cui I A A t Ai Ar Z1 Z ( )( ) si usa porre Ai Ar Ai + Ar Z1 A t Ai + Ar Z I A Z e detta impedenza del Z Ii Ir + It dividendo membro a membro le due uguaglianze mezzo A + A A i r t Ai Ar At + Z Z Z A A Z A A + A Z A Z1 Ai Ar At Z i r 1 t i r t

19 19 A t Ai Z 1+ Z 1 A r Ai 1 Z / Z Z1 1+ Z ( ) 1 se Z At >> Z A 1 r 0 A i (sfasamento di π) versi opposti! se Z At << Z A 1 r A A i i se Z1 Z A r 0 quindi, per trasferire completamente un onda da un mezzo all altro, bisogna accordare le impedenze dei due mezzi.

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