Le onde. F. Soramel Fisica per Medicina 1

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1 Le onde a) onda sonora: le molecole si addensano e si rarefanno b) onda all interfaccia liquido-aria: le particelle oscillano in alto e in basso c) onda in una corda d) onda in una molla e) onda sismica (S) f) onda elettromagnetica Le onde si possono spostare per distanze grandi, ma il mezzo in cui si muovono fa solo delle piccole oscillazioni locali. Quindi si può affermare che l onda non è materia e che la sua forma viaggia lungo la materia. L onda è un insieme di oscillazioni che si muovono senza trasportare la materia. L onda trasporta l energia che le è stata fornita nel momento in cui è stata generata (ad es. la mano che fa oscillare una corda). F. Soramel Fisica per Medicina 1

2 Le onde possono essere trasversali o longitudinali a seconda che il moto vibrazionale delle molecole del mezzo in cui l onda si propaga sia perpendicolare o parallelo alla direzione di propagazione dell onda. onda longitudinale onda trasversale v = fattore di forza elestica fattore di inerzia = B ρ v = T μ La velocità dell onda trasversale o longitudinale dipende dalle proprietà del mezzo in cui l onda si propaga (B = modulo di compressibilità di un fluido, r = densità, µ = massa per unità di lunghezza e T = tensione della fune). F. Soramel Fisica per Medicina 2

3 L onda può essere continua o periodica ed è generata da una vibrazione o un oscillazione. Ampiezza, cresta, periodo (T), frequenza (f), lunghezza d onda (l) e velocità dell onda (v). La velocità dell onda è diversa (anche in direzione) dalla velocità di una particella del mezzo in cui si propaga l onda v = λ T = λf L onda si ripete sia nel tempo che nello spazio con andamento sinusoidale. F. Soramel Fisica per Medicina 3

4 Ogni particella messa in vibrazione da un onda sinusoidale compie un moto armonico, pertanto ha un energia pari a quella dell oscillatore armonico E = 1 2 ka< l? energia dell? onda è proporzionale al quadrato della sua ampiezza Si definisce intensità I dell onda la potenza trasportata attraverso l unità di superficie perpendicolare alla direzione del flusso di energia I = energia/tempo area = potenza area L intensità si misura in W/m 2. Dato che l energia varia come il quadrato dell ampiezza dell onda, anche I presenta la medesima dipendenza. I A < F. Soramel Fisica per Medicina 4

5 Le onde che si propagano nello spazio isotropo sono onde sferiche. Man mano che le onde si propagano, l energia che trasportano si distribuisce su di una superficie sempre maggiore. Per l intensità si avrà I = potenza area = P 4πr < Se la potenza emessa dalla sorgente dell onda è costante allora I 1 r < Per due punti a distanza r 1 ed r 2 dalla sorgente si ha I < = r < X I < X r < Anche l ampiezza dell onda decresce con proporzionalità inversa da r. A < = r X A X r < Per l onda trasversale questo non avviene perché l area attraversata dal flusso di energia non varia. F. Soramel Fisica per Medicina 5

6 Se abbiamo un onda sinusoidale di frequenza f, ciascuna particella si muove con l energia dell oscillatore armonico. E = 1 2 ka< ; f = 1 T = 1 2π k m E = 2π< mf < A < Quindi m = ρv = ρsl = ρsvt E = 2π < ρsvtf < A < P] = E t = 2π< ρsvf < A < I = P ] S = 2π< ρvf < A < F. Soramel Fisica per Medicina 6

7 Equazione di propagazione dell onda La sorgente di un onda vibra nel tempo con legge sinusoidale, per lo spostamento, nel caso di un onda trasversale che si propaga in direzione x con velocità v, possiamo scrivere (f = 0) y 0, t = A sin ωt Quando l onda, al tempo Dt, raggiunge il punto P a distanza x dalla sorgente, lo spostamento y(x,dt) sarà quello che la sorgente aveva Dt = x/v secondi prima, quindi y x, t = A sin ω t x v = A sin 2π t T x λ = A sin ωt kx λf = v = λ T e k = ω f = 2π λ k = numero d onda F. Soramel Fisica per Medicina 7

8 Riflessione, rifrazione e interferenza Fronte d onda: può essere circolare (sferico) o piano. La direzione del moto dell onda è sempre perpendicolare al fronte d onda (o superficie d onda) ed è rappresentata dal raggio. Lontano dalla sorgente ogni fronte d onda può essere considerato come un fronte d onda piano, si parla quindi di onde piane. Quando un onda piana colpisce una superficie di separazione tra due mezzi, essa in parte si riflette e in parte si trasmette. F. Soramel Fisica per Medicina 8

9 Principio di Huygens: ogni punto di un mezzo raggiunto da una superficie d onda, può essere considerato sorgente di vibrazioni quindi di onde sferiche. La propagazione simultanea di due o più onde nello stesso mezzo avviene in modo indipendente, ovvero per ciascuna onda come se le altre non fossero presenti. Lo stato di vibrazione di un punto del mezzo è rappresentato dalla somma vettoriale degli stati di vibrazione associati alle altre onde presenti nel mezzo in quel punto. Principio di sovrapposizione delle onde. Teorema di Fourier: una funzione periodica f(t) qualsivoglia può essere sempre vista come la somma di un numero finito o infinito di funzioni di tipo seno o coseno con ampiezze opportune e frequenze multiple di quella della funzione f(t) stessa. La scomposizione nelle singole funzioni si chiama analisi di Fourier della funzione f(t), o analisi armonica. Le frequenze delle funzioni presenti nella scomposizione si chiamano armoniche superiori. F. Soramel Fisica per Medicina 9

10 In sostanza si trova f t = d A e sin nωt = d A e sin 2πxn λ e Di conseguenza la funzione periodica f(t) di lunghezza d onda l è la somma di tante onde sinusoidali di lunghezza d onda l n = l/n e frequenza f n =nf, ciascuna di ampiezza data A n. e F. Soramel Fisica per Medicina 10

11 Onda sonora emessa dalle corde vocali e relativa analisi di Fourier in frequenza. A parità di frequenza l analisi di Fourier caratterizza la qualità della vibrazione. Ad esempio strumenti diversi possono generare due vibrazioni con la stessa frequenza o nota, ma con diversi sviluppi in armoniche, quindi diverso timbro. frequenza 440Hz La F. Soramel Fisica per Medicina 11

12 Nella riflessione sulla superficie di separazione tra il mezzo 1 e il mezzo 2, se il raggio dell onda incidente forma un angolo di incidenza i con la normale alla superficie stessa, il raggio dell onda riflessa formerà un angolo di riflessione r con la normale alla superficie. Risulta che i due angoli sono uguali ı = r Per quanto riguarda la parte di onda trasmessa o rifratta si ottiene n X sin i = n < sin r? sin i sin r? = v X = n < = n v < n X< X Legge di Snell F. Soramel Fisica per Medicina 12

13 Interferenza Fenomeno che si verifica ogni volta che in un mezzo si propagano due o più onde. Prendiamo due onde con la medesima frequenza che si propagano nella stessa direzione e hanno la medesima direzione di vibrazione (longitudinale o trasversale). Inoltre ipotizziamo che le sorgenti delle due onde siano coerenti, ovvero emettano le onde con differenza di fase costante nel tempo. Ipotizziamo anche che Df = 0 e A 1 = A 2 = A, allora y X = Asin 2π h i j k l e y < = Asin 2π h i j m l La vibrazione risultante è la somma delle due vibrazioni y = y X + y < = Asin 2π t T x X λ + Asin 2π t T x < λ y = R sin 2πt T φ L ampiezza R varia nel tempo F. Soramel Fisica per Medicina 13

14 R = A cos 2π x < x X λ φ = π x X + x < λ R dipende dalla differenza di fase tra le due onde nel punto P Df=2pn con n = 0,1,2, interferenza costruttiva Df=p(2n+1) con n = 0,1,2, interferenza distruttiva concordanza di fase opposizione di fase quadratura di fase F. Soramel Fisica per Medicina 14

15 Consideriamo ora due onde di uguale frequenza, uguale ampiezza e stessa velocità di propagazione, che viaggiano in verso opposto lungo l asse x. y X = A sin 2π t T x λ e y < = A sin 2π t T + x λ L onda risultante è un onda stazionaria data da y = y X + y < = 2A cos 2π x λ sin 2π t T L ampiezza varia in funzione di x, mentre ogni punto vibra con la stessa frequenza. L oscillazione in ampiezza dà origine a nodi e ventri, la distanza tra due nodi o due ventri successivi è l/2. F. Soramel Fisica per Medicina 15

16 Su di una corda con entrambe le estremità fisse si può generare un onda stazionaria, così pure in un tubo chiuso o aperto alle estremità, a patto che la lunghezza l della corda o del tubo permetta la formazione di nodi o due ventri alle sue estremità. Deve quindi essere soddisfatta la seguente condizione n λ = l con n = 1,2,3, 2 Se la corda o il tubo hanno un estremità fissa e l altra libera, si generano onde stazionarie se 2n + 1 λ 4 = l con n = 0,1,2,3, Si possono formare onde stazionarie persistenti risonanza. La corda risuona solo per le componenti di Fourier le cui l soddisfano le condizioni per l instaurarsi di onde stazionarie. F. Soramel Fisica per Medicina 16

17 Battimenti Consideriamo ora due onde di frequenza molto vicina, ma diversa. All istante t 0 le due onde sono in fase e si ha interferenza costruttiva e ampiezza elevata. Per t>t 0 le onde si sfasano e l interferenza diviene distruttiva. Si genera così il fenomeno dei battimenti. y X = A sin ω X t e y < = A sin ω < t ω X ω < y = y X + y < = 2A cos t sin ω X + ω < 2 2 t Si genera una vibrazione sinusoidale con frequenza pari alla media delle due frequenze originarie, l ampiezza della vibrazione va come il coseno della differenza tra le frequenze. F. Soramel Fisica per Medicina 17

18 Effetto Doppler Analizziamo ora cosa succede quando c è moto relativo tra la sorgente dell onda e l osservatore che percepisce l onda stessa. Supponiamo che l onda abbia velocità di propagazione v 0 e la sorgente che la emette abbia velocità v s < v 0, l onda abbia poi lunghezza d onda l. Sia d la distanza percorsa dall onda in un periodo T e d s quella percorsa dalla sorgente che si muove verso l osservatore. d = v t T = λ e d u = v u T λ? = d d u = λ v u T = λ 1 v u v t Δλ = λ? λ = λ v u v t l <l f? = v t λ? = f 1 v u v t f >f F. Soramel Fisica per Medicina 18

19 Se la sorgente si allontana dall osservatore si ha Δλ = λ? λ = λ v u v t f? = v t λ? = f 1 + v u v t l >l f <f Quando invece è l osservatore a muoversi con velocità v 1 < v 0 verso una sorgente ferma che emette un onda con velocità di propagazione v 0, si ha che la velocità di propagazione dell onda viene percepita dall osservatore come v somma delle due velocità = v t λ 1 + v X v t Se l osservatore si allontana dalla sorgente si ottiene v? = v t + v X f? = v? λ = v t + v X λ = f 1 + v X v t > f f? = f 1 v X v t < f F. Soramel Fisica per Medicina 19

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