Risoluzione dei sistemi di equazioni col metodo delle matrici
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- Camilla Poggi
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1 Risoluzione ei sistemi i equzioni ol metoo elle mtrii Un sistem i n equzioni e n inonite può essere rppresentto ome mtrie formt i soli oeffiienti. Dto il sistem: x+ y+ z= x+ y+ z= x+ y+ z= L su mtrie srà: MATRICE INCOMPLETA (A) In questo so n=. L mtrie formt solmente i oeffiienti elle inonite prene il nome i mtrie inomplet e verrà init on l sil A. Sostitueno nell mtrie inomplet l olonn orrisponente un' inonit on l olonn ei termini noti, ottenimo le mtrii A x, A, A y z A x = A y = A z =
2 Determinnte i un mtrie Il eterminnte i qulsisi mtrie (he iniheremo on l sil eneri ) i tipo n= si lol pplino l seuente reol: = et =. -. I termini ell mtrie sono initi on l sil ij, ove i efinise l ri, mentre j efinise l olonn. Per le mtrii i tipo n> il eterminnte si riv moltiplino isun termine i un ri o un olonn selt piere per il proprio omplemento lerio e sommno i prootti ottenuti. Per lolre il omplemento lerio i un termine ij i un mtrie si elimin l ri i e l olonn j. Dll mtrie ottenut, he himeremo ij, si riv il eterminnte, he v preso on seno: positivo se (i+j) è pri netivo se (i+j) è ispri Se l mtrie ij è i tipo n> si proee on lo stesso riterio fino ottenere n=. Esempio Consierimo l mtrie = 4 e supponimo i over lolre il omplemento lerio el termine - 5 Eliminimo quini l seon ri e l terz olonn, otteneno l mtrie = - il ui eterminnte srà: et =. (-). =-7
3 Dto he (+) è ispri, il eterminnte ppen lolto v preso on seno netivo: -(-7)=+7, he è il omplemento lerio el termine. Esempio Consierimo l mtrie = i ui volimo lolre il eterminnte Selimo ( piere) l terz olonn, quini lolimo i omplementi lerii ei termini,,. Eliminno l prim ri e l terz olonn ottenimo l mtrie = 4 et =-9; (+) è pri, quini il - omplemento lerio el termine srà: +(-9)=-9 Eliminno l seon ri e l terz olonn ottenimo l mtrie = 0 et =-; (+) è ispri, quini il - omplemento lerio el termine srà: -(-)=+ Eliminno l terz ri e l terz olonn ottenimo l mtrie = 0 et =; (+) è pri, quini il 4 omplemento lerio el termine srà + A questo punto, per lolre il eterminnte ell mtrie, moltiplihimo i termini,, per i rispettivi omplementi lerii e sommimo i prootti ottenuti: et =(-)(-9)+. +. =69
4 Risoluzione ei sistemi Il vlore i isun inonit è to ll frzione vente per enomintore il eterminnte ell mtrie inomplet el sistem, per numertore il eterminnte ell mtrie ottenut sostitueno l olonn orrisponente ll' inonit on l olonn ei termini noti. Esempio x+y+z=6 x+y-z= A= - x-y+z= A x = - A y = - A z = Determinnte ell mtrie A Clolimo i omplementi lerii ei termini ell prim ri (selt piere): A = - et A =-; (+) è pri, quini il - omplemento lerio el primo termine srà: +(-)=- A = - et A =4; (+) è ispri, quini il omplemento lerio el seono termine srà -4 A = et A =-8; (+) è pri, quini il - omplemento lerio el terzo termine srà: +(-8)=-8
5 Moltiplihimo i termini ell prim ri per i rispettivi omplementi lerii e sommimo i prootti ottenuti: et A=(-)+(-4)+(-8)=-4 Determinnte ell mtrie A x Clolimo i omplementi lerii ei termini ell prim ri (selt piere): A x = - et A x =-; (+) è pri, quini il - omplemento lerio el primo termine srà: +(-)=- A x = - et A x =0; il omplemento lerio el seono termine srà 0 - A x = et A x =-; (+) è pri, quini il - - omplemento lerio el terzo termine srà: +(-)=- et A x =6(-)+(-)=-4 Determinnte ell mtrie A y Clolimo i omplementi lerii ei termini ell seon olonn: A y = - et A y =4; (+) è ispri, quini il omplemento lerio el primo termine srà -4
6 A y = et A y =-; (+) è pri, quini il omplemento lerio el seono termine srà: +(-)=- A y = et A y =-; (+) è ispri, quini il - omplemento lerio el terzo termine srà: -(-)=+ et A y =6. (-4)+(-)+(-)=-8 Determinnte ell mtrie A Z Clolimo i omplementi lerii ei termini ell prim olonn: A z = et A z =; (+) è pri, quini il omplemento lerio el primo termine srà - - A z = 6 et A z =7; (+) è ispri, quini il - - omplemento lerio el seono termine srà -7 A z = 6 et A z =-5; (+) è pri, quini il omplemento lerio el terzo termine srà -5 et A z =.+(-7)+(-5)=-4
7 et A x et A y et A z x= y= z= et A et A et A x= -4 y= -8 z= x=; y=; z= ppuntinrete
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