Cenni di statistica statistica

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1 Cenni di statistica La statistica è una disciplina che ha come fine lo studio quantitativo e qualitativo di un particolare fenomeno in condizioni di incertezza o non determinismo, ovvero di non completa conoscenza di esso o parte di esso. Essa è uno strumento del metodo scientifico e si avvale della matematica e del metodo sperimentale per studiare i modi in cui un fenomeno collettivo può essere sintetizzato e compreso. Ciò avviene attraverso la raccolta e l'analisi delle informazioni relative al fenomeno studiato

2 Metodo scientifico La conduzione di un indagine scientifica (esperimento) è un percorso di ricerca articolato in 4 fasi: 1) definizione del problema 2) formulazione di un ipotesi per via induttiva 3) verifica deduttiva dell ipotesi mediante un esperimento 4) analisi dei dati

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4 I dati vengono rilevati tramite misure sperimentali e sono soggetti a 2 tipi di errori: casuali (stessa prob. sia in eccesso che in difetto) sistematici (incertezze sperimentali che non vengono individuate attraverso la ripetizione delle misure

5 Accuratezza: è il grado di corrispondenza del dato teorico, desumibile da una serie di valori misurati (campione di dati), con il dato reale o di riferimento, ovvero la differenza tra valor medio campionario e valore vero o di riferimento. Indica la vicinanza del valore trovato a quello reale. È un concetto qualitativo che dipende sia dagli errori casuali che da quelli sistematici. Precisione: è il grado di "convergenza" (o "dispersione") di dati rilevati individualmente (campione) rispetto al valore medio della serie cui appartengono ovvero, in altri termini, la loro varianza rispetto alla media campionaria Caso A: accurato e preciso Caso B: non accurato e preciso Caso C: accurato e non preciso Caso D: non accurato e non preciso

6 Gli errori generalmente si distribuiscono in questa maniera

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12 =5 2 =4 f(x) FALSO Distribuzione normale Distribuzione di ripartizione normale F(x) VERO Cumulata

13 Generazione di numeri casuali Campionamento da distribuzione statistica nota Excel può essere usato come generatore di numeri casuali, utili ad esempio per simulare esperimenti. Lo Strumento di Analisi Generazione di un numero casuale genera campioni di numeri random distribuiti secondo una distribuzione di probabilità nota (ad esempio Normale) Numero di campioni da generare (1) Numeri da generare in ciascun campione (15) Tipo di distribuzione (scegliere normale) Definire i parametri della distribuzione (media e deviazione standard se scelgo la normale)

14 Distribuzione normale standardizzata

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17 p Esempio: abbiamo una popolazione di bambini con vario peso: media ( )=3.2 Kg dev. standard ( )=0.6 Kg Qual è la probabilità di avere un bambino con peso maggiore di 4.8 Kg? standardizzo e trovo z=(x- )/ = ( )/0.6 = 2.67 Guardo la tabella per trovare la probabilità corrispondente che è: p=

18 Esercizio: abbiamo una popolazione di bambini con vario peso: media ( )=3.2 Kg dev. standard ( )=0.6 Kg Qual è la probabilità (P) di trovare bambini con peso tra 2.2 Kg e 3.9 Kg? 1) z1=( )/0.6= che corrisponde a p1( z1 )= ) z2=( )/0.6=1.17 che corrisponde a p2(z2)=0.12 3) P=A tot -(p1+p2)=1-( )=0.83 P p1 p2

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20 Livello di significatività Valori di soglia ( ) di probabilità p sono: 1) =0.01 (1%) 2) =0.05 (5%) più utilizzato 3) =0.10 (10%) Il 5% di probabilità viene equamente suddiviso tra la coda destra e quella sinistra della distribuzione normale standardizzata. Quindi in tabella cerco quella z /2 corrispondente ad =0.05/2=0.025 z /2 =1.96 P /2 /2

21 Esercizio: =75 m =10 m voglio trovare i limiti fiduciali attorno alla media per il dato valore x. Dalla regola della standardizzazione z=(x- )/ esplicito per x= z (poiché z può essere sia negativo che positivo) 1) soglia superiore x= *10=94.6 m 2) soglia inferiore x= *10=55.4 m P /2 /2

22 Inferenza statistica Campionamento

23 Intervalli di confidenza intorno media (varianza della popolazione nota) Quando vogliamo stimare la media ( ) della popolazione consideriamo la media campionaria, x Assumendo che la dev. standard ( ) della popolazione sia nota σ definiamo l errore standard, n considerato la dev. standard della distribuzione delle medie campionarie, quindi σ μ = x ± z α/2 n

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25 Esempio: in un bosco voglio stimare l altezza media ( =?) degli alberi e conosco solo la =12 m. Allora eseguo un campionamento (n=25) e trovo che x=32 m. Quanto vale? l errore standard=12/5=2.4 Ricorro ai limiti fiduciali per =0.05, z /2 =1.96 μ = x ± z α/2 σ n 1) soglia superiore = *2.4=36.7 m 2) soglia inferiore = *2.4=27.3 m

26 Intervalli di confidenza intorno media (varianza della popolazione incognita) Assumendo che la dev. standard ( ) della popolazione sia ignota (casi reali), usiamo la media campionaria, x e la varianza campionaria (commettendo un errore di approssimazione). Invece di z usiamo il t di Student che è più prudenziale: t=( x- )/s st s dove ora definiamo s st come l errore standard, n considerato la dev. standard del campione. Importante notare che il valore t dipende anche dai gradi di libertà (GL). In tabella andrò a prendere t a seconda di e GL Quindi i nuovi limiti fiduciali saranno μ = x ± t GL,α s n

27 Esercizio: in un bosco voglio stimare l altezza media ( =?) degli alberi. Non conosco. Quindi eseguo un campionamento (n=16) e trovo che x=26 m ed s=2.45 m. Quanto vale? l errore standard=2.45/4=0.61 Ricorro ai limiti fiduciali per =0.05 dove /2=0.025 GL=n-1 quindi 16-1=15 quindi t GL, =2.13 (In Excel comando «INV.T(1- /2,GL)») μ = x ± t GL, /2 1) soglia superiore = *0.61= ) soglia inferiore = *0.61=24.69 s n Margine di errore

28 Dal Menu Strumenti vado in Dati, Analisi Dati, Strumenti di Analisi, Statistica descrittiva: attivo Livello di confidenza per media al 95%

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