LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA

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1 LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO CONVEGNO MATHESIS Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015

2 Perché Assenza di ogni riferimento alla geometria analitica dello spazio nel quadri di Mondrian La geometria analitica dello spazio è una delle novità principali previste dalle indicazioni nazionali nel riordino dei licei Permette di utilizzare l'algebra lineare e vettoriale É uno degli argomenti peggio (bis)trattati nei libri di testo

3 Dalle indicazioni nazionali PRIMO BIENNIO - algebra [Lo studente] Studierà i concetti di vettore, di dipendenza e indipendenza lineare, di prodotto scalare e vettoriale nel piano e nello spazio nonché gli elementi del calcolo matriciale. QUINTO ANNNO geometria L'introduzione delle coordinate cartesiane nello spazio permetterà allo studente di studiare dal punto di vista analitico rette, piani e sfere.

4 Sui libri di testo...

5 Sui libri di testo...

6 Sui libri di testo...

7 Sui libri di testo...

8 Prerequisiti Saper operare con le matrici (quadrate di ordine 3) Saper operare con i vettori in componenti cartesiane Conoscere condizione di dipendenza lineare di un insieme di vettori Prodotto scalare e vettoriale di due vettori

9 Equazione cartesiana di un piano

10 Piani paralleli e piani ortogonali

11 Equazione parametrica di un piano

12 Gli Equazione Elementi: cartesiana parametrica definizioni di di un un piano Scrivendo esplicitamente le componenti otteniamo x x 0 = kv 1 + hw 1 y y 0 = kv 2 + hw 2 z z 0 = kv 3 + hw 3 da cui x = x 0 + kv 1 + hw 1 y = y 0 + kv 2 + hw 2 z = z 0 + kv 3 + hw 3 che rappresenta l equazione parametrica di un piano

13 Gli Equazione Dall equazione Elementi: cartesiana definizioni parametrica di un piano alla cartesiana Per passare dall equazione parametrica a quella cartesiana si può operare algebricamente sulle equazioni ricavandosi i parametri k, h oppure determinare il vettore direzione del piano attraverso il prodotto vettoriale n = v w e quindi arrivare direttamente all equazione a x x 0 + b y y 0 + c z z 0 = 0 oppure imporre che i vettori P 0 P, v, w siano linearmente dipendenti cioè x x 0 y y 0 z z 0 v 1 v 2 v 3 = 0 w 1 w 2 w 3

14 Equazione parametrica di una retta Una retta nello spazio è determinata univocamente da un punto P(x 0, y 0, z 0 ) e da una direzione fissata da un vettore (direttore) v = (v 1, v 2, v 3 ) Un punto P(x, y,z) appartiene alla retta r se i vettori P 0 P e v sono collineari (paralleli, linearmente dipendenti) quindi se P 0 P = λ v

15 Equazione parametrica di una retta Da cui x x 0 = λv 1 y y 0 = λv 2 z z 0 = λv 3 x = x 0 + λv 1 y = y 0 + λv 2 z = z 0 + λv 3

16 Retta passante per due punti Dati i punti A(x A, y A, z A ) e B x B, y B, z B determinare l equazione della retta r passante per A, B AB = (x B x A, y B y A,z B z A ) è il vettore direzione della retta r e quindi una possibile equazione parametrica di r sarà x = x A + λ(x B x A ) y = y A + λ(y B y A ) z = z A + λ(z B z A ) oppure considerato un punto P x, y, z appartiene alla retta AB solo se i vettori AP e AB sono collineari cioè AP = λ AB e quindi x x A, y y A, z z A = λ(x B x A, y B y A z B z A ) x x A x B x A = y y A y B y A = z z A z B z A

17 Piano passante per tre punti Dati tre punti non allineati A(x A, y A, z A ) B x B, y B, z B C x C, y C, z C determina l equazione (cartesiana) del piano da essi individuato Un punto P x, y, z appartiene al piano se e solo se i vettori AP, AB, AC sono linearmente dipendenti, se e solo se x x A y y A z z A x B x A y B y A z B z A = 0 x C x A y C y A z C z A

18 Alcune tipologie di problemi semplici Determinare l equazione della retta passante per un punto assegnato e perpendicolare ad un piano dato Determinare l equazione del piano parallelo o perpendicolare ad un piano dato e passante per un punto assegnato Determinare l equazione di una retta passante per un punto assegnato e parallela o perpendicolare ad una retta data Determinare l equazione del piano contenente una retta data e passante per un punto assegnato

19 e più difficili Dati una retta r (equazione parametrica) ed un punto Q x Q, y Q, z Q determinare la proiezione ortogonale Q di Q su r

20 Proiezione ortogonale di un punto su una retta Supposta la retta r scritta nella forma OP = OP 0 + λ v r: x = x 0 + λv 1 y = y 0 + λv 2 z = z 0 + λv 3 dovrà essere Q Q v quindi Q Q v = 0 e P 0 Q = λ v per qualche λ. Da P 0 Q = P 0 Q + Q Q si ottiene Q Q = P 0 Q P 0 Q = P 0 Q λ v quindi v Q Q = v (P 0 Q λ v) = v P 0 Q λ v 2 = 0 da cui λ = v P oq v 2 e OQ = OP 0 + v P oq v 2 v, vale a dire x Q y Q z Q = x 0 y 0 + v 1, v 2, v 3 (x Q x 0, y Q y 0 z Q z 0 ) z 0 v v v 3 v 1 v 2 v 3

21 Un po di materiale web.ticino.com/lucarovelli/appunti/3n_cap1_geom_vettoriale.pd Allegati/quadernididattici/favro.pdf Allegati/quadernididattici/favro.pdf