Esercizio 1. Esercizio 2. Assegnata la funzione:

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1 Esercizio 1 Assegnata la funzione: f ) = 3, mostrare che verifica il teorema di Rolle nei rispettivi intervalli compatti [ 1, 0] e [0, 1]. Determinare inoltre i punti 0 tali che f 0 ) = 0. Risulta: f è continua in [ 1, 0] f è derivabile in 1, 0) f 1) = f 0) = 0 = 0 a,b) f 0 ) = 0 In maniera del tutto analoga per l intervallo [0, 1]. Calcoliamo ora i punti 0. A tale scopo determiniamo la derivata prima: Gli zeri della derivata: f ) = 1 f ) = 0 = 1 3, donde: 1 3 = 0 [ 1, 0] 1 3 = 0 [0, 1] Esercizio Mostrare che per la funzione f ) = 3 ), non è possibile applicare il teorema di Rolle nell intervallo [0, 4]. Risulta: f è continua in [0, 4] f 0) = f 4) = 3 4 1

2 Riguardo alla derivabilità in 0, 4), osserviamo che la derivata prima è f ) = 3, pertanto la funzione non è derivabile in = 0 [0, 4], quindi non è applicabile il teorema di Rolle. Esercizio 3 Mostrare che per la funzione f ) = tan, non è possibile applicare il teorema di Rolle nell intervallo [0,π]. Il punto π = 0 [0,π] è una singolarità per f, per cui viene violata una delle ipotesi del teorema di Rolle, che pertanto diviene inapplicabile. Esercizio 4 Servendosi del teorema di Lagrange, dimostrare che: Poniamo: 0, + ), < ln ) < 1 Per il teorema di Lagrange: f ) = ln, 0, + ) o, ciò che è lo stesso: f + 1) f ) = f + θ), con 0 < θ < 1 ln + 1) ln = 1 + θ ln ) = 1 + θ, < ln ) < 1, 0, + )

3 Esercizio 5 Assegnata la funzione: f ) = 3, mostrare che essa verifica il teorema di Lagrange nell intervallo [, 1] e trovare il punto ξ. Le ipotesi del teorema di Lagrange sono verificate, per cui: f ) f 1) ξ, 1) = f ξ) 1 Per determinare i punti ξ dobbiamo risolvere l equazione: La derivata prima è: f ξ) = 1) donde la??) diventa: f ) = 1 3, 1 3ξ = = ξ = ±1, di cui solo la soluzione ξ 1 = 1 è accettabile, in quanto interna all intervallo compatto [, 1].!ξ, 1) f ) f 1) 1 = f ξ) Nella figura 1) riportiamo il grafico della funzione nell intervallo [, 1]. In tale grafico è riportata la retta secante congiungente i punti A, 6), B 1, 0), e la retta tangente passante per ξ 1,f ξ 1 )) = 1, 0). Esercizio 6 Assegnata la funzione: f ) = 3 4, mostrare che essa verifica il teorema di Lagrange nell intervallo [ 1, 1] e trovare il punto ξ. 3

4 y 6 4 Ξ Figure 1: Grafico della funzione nell intervallo [, 1]. A a,f a)),b b,f b)), e la tangente per ξ,f ξ)). Sono tracciate la secante per Calcoliamo innanzitutto la derivata prima: f ) = ) Le ipotesi del teorema di Lagrange sono verificate, per cui: f 1) f 1) ξ 1, 1) = f ξ) 1 1 Per determinare i punti ξ dobbiamo risolvere l equazione: Dalla ) si ottiene ξ = 0. f ξ) = 0 3)!ξ 1, 1) f 1) f 1) 1 1 = f ξ) Esercizio 7 Assegnata la funzione: f ) = 3 1, mostrare che essa verifica il teorema di Rolle nell intervallo [ 0, 3 ] e trovare i punti 0 0, 3 ) tali che f 0 ) = 0. 4

5 Le ipotesi del teorema di Rolle sono banalmente verificate, per cui: 0 0, ) 3 f 0 ) = 0 Per determinare i punti 0 dobbiamo risolvere l equazione: La derivata prima è: donde la 4) diventa: f 0 ) = 0 4) f ) = 3 4 ), 4 = 0 = = ±, di cui solo la soluzione 0 = è accettabile, in quanto interna all intervallo compatto [ 0, 3 ].! 0 0, ) 3 f 0 ) = 0 Nella figura ) riportiamo il grafico della funzione nell intervallo [ 0, 3 ]. y Figure : Grafico della funzione assegnata. Esercizio 8 La funzione: f ) = 4 verifica il teorema di Rolle nell intervallo [0, 4]? 5

6 f non è continua in = : lim f ) = +, lim f ) =, + per cui viene violata una delle ipotesi del teorema di Rolle. Ci si aspetta quindi: Ciò è confermato da un calcolo diretto della derivata: 0 0, 4) f 0 ) = 0 5) Infatti: f ) = ) R = 0 donde la 5). Esercizio 9 Servendosi del teorema di Lagrange, dimostrare la relazione: Poniamo: sin + ) = sin + cos + θ ), con 0 < θ < 1 f ) = sin 6) Comunque prendiamo un incremento della variabile indipendente, la funzione 6) verifica le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo compatto [0, ], donde: Cioè: f + ) f ) = f ξ), con ξ, + ) f + ) = f ) + cos ξ Osserviamo che il punto interno ξ all intervallo [, ] può essere espresso come ξ = +θ, essendo θ un opportuno numero reale compreso tra 0 e 1. sin + ) = sin + cos + θ ), con 0 < θ < 1 6

7 Esercizio 10 Determinare le coordinate cartesiane di un punto P 0 appartenente al segmento di parabola y = compreso tra i punti A a,a ) e B b,b ) tale che la tangente alla parabola in P 0 sia parallela alla corda AB. Per il teorema di Lagrange: avendo posto 0 a,b) f b) f a) b a = f 0 ), f ) = Quindi l ascissa del punto richiesto è la soluzione dell equazione: Cioè: 0 = f b) f a) b a Perciò: 0 = b + a = 0 = a + b ) a + b P 0, a + ab + b 4 Esercizio 11 Determinare il punto ξ a,b) richiesto dal teorema di Lagrange applicato alla funzione: Per il teorema di Lagrange: f ) = La derivata della funzione è: 0 a,b) f b) f a) b a = f 0 ), Quindi ξ è la soluzione dell equazione: f ) =

8 Cioè: ξ = a + b ξ = a + b Esercizio 1 Esaminare l applicabilità del teorema di Rolle per la funzione: nell intervallo [0, 4]. f ) = 4 +, In [0, 4] la funzione verifica le ipotesi del teorema di Rolle. Pertanto: Infatti: 0 0, 4) f 0 ) = 0 e i suoi zeri sono: f ) = ) f ) = = 0 = ± 3 = 1 ± ) 3 ) 3 1 = 0 0, 4) f 0 ) = 0 Esercizio 13 Determinare un valore approssimato di 6 65, utilizzando il teorema di Lagrange. Poniamo: f ) = 6 7) Tale funzione verifica le ipotesi del teorema di Lagrange in [ 0, 0 + ], > 0. 8

9 f 0 + ) f 0 ) = f 0 + θ ), con 0 < θ < 1 Prendiamo 0 = 64, = 1 f 65) f 64) = f 64 + θ) Tenendo conto della 7) e della sua derivata prima: = +, con 0 < θ < θ) 5 6 Assegnando un valore a θ in 0, 1) si ottiene un valore approssimato di Esercizio 14 Servendosi del teorema di Lagrange dimostrare: Poniamo: 1 + < ln 1 + ) <, 1, + ) f ) = ln 8) Tale funzione verifica le ipotesi del teorema di Lagrange in [ 0, 0 + ], 0 > 0 e per ogni tale 0 + ) 0, + ). f 0 + ) f 0 ) Prendiamo 0 = 1, = = f 0 + θ ), con 0 < θ < 1 da cui: Abbiamo: ln 1 + ) ln 1 ln 1 + ) = = θ 1 + θ > 0 = 1 < 1 + θ < 1 + = 1 > θ > = > 1 + θ > 1 + 9

10 Per 1, 0): > ln 1 + ) = 1 + θ > 1 + 1, 0) = 1 > 1 + θ > 1 + = 1 < θ < = > 1,0) 1 + θ > 1 + > ln 1 + ) = 1 + θ > 1 + Esercizio 15 Servendosi del teorema di Lagrange dimostrare: 1 + < 1 +, 1, + ) Poniamo: f ) = 9) Tale funzione verifica le ipotesi del teorema di Lagrange in [ 0, 0 + ], 0 0 e per ogni tale 0 + ) [0, + ). f 0 + ) f 0 ) Prendiamo 0 = 1, = = f 0 + θ ), con 0 < θ < 1 da cui: Abbiamo: = 1 + θ 1 + = θ > 0 = 1 + θ < 1 + = 1 + θ > 1 + = 1 + = θ >

11 Moltiplichiamo l ultima disuguaglianza per 1 + : Per 1, 0): 1 + > = 1 + < 1 + 1, 0) = 1 + θ > 1 + = 1,0) = 1 + = θ > Moltiplichiamo l ultima disuguaglianza per 1 + : 1 + θ > > = 1 + < 1 + Esercizio 16 Mostrare che la funzione f ) = sin verifica il teorema di Rolle in [0,π], e trovare il corrispondente valore 0. La funzione assegnata soddisfa banalmente le ipotesi del teorema di Rolle. Il punto corrispondente è tale che: cioè: f 0 ) = 0 cos 0 = 0 E siccome stiamo considerando l intervallo [0, π], l unica soluzione di tale equazione goniometrica è 0 = π. Esercizio 17 Mostrare che la funzione f ) = 3 verifica il teorema di Lagrange in [0, 6], e trovare il corrispondente valore 0. 11

12 La funzione assegnata soddisfa banalmente le ipotesi del teorema di Lagrange in [0, 6]. cioè: 0 0, 6) f 6) f 0) 6 = f 0 ), f 0 ) = 36 La derivata della funzione è f ) = 3, per cui: La soluzione accettabile è 0 = 3. Esercizio 18 Mostrare che la funzione 3 = 36 = = ± 3 f ) = a + b + c verifica il teorema di Lagrange in [α,β], e trovare il corrispondente valore ξ. La funzione assegnata soddisfa banalmente le ipotesi del teorema di Lagrange in [α,β], per ogni α < β. ξ α,β) f β) f α) β α La derivata della funzione è f ) = a + b, per cui: Esercizio 19 Mostrare che la funzione = f ξ) a β + α) + b = f ξ) a β + α) + b = aξ + b = ξ = α + β f ) = ln verifica il teorema di Lagrange in [1, e], e trovare il corrispondente valore ξ. 1

13 La funzione assegnata soddisfa banalmente le ipotesi del teorema di Lagrange in [1, e]. cioè: ξ 1, e) f e) f 1) e 1 = f ξ) 1 + ln e 1 = 1 ξ ξ = e ln Esercizio 0 Servendosi del teorema di Lagrange, dimostrare: Poniamo: tan >, 0, π ) Abbiamo: f ) = tan 0, [ 0, 0 + ] 0, π ), f 0 + ) f 0 ) = f 0 + θ ), con 0 < θ < 1 giacchè in ogni intervallo compatto contenuto in [ 0, π ] la funzione verifica le ipotesi del teorema di Lagrange. Ora poniamo: 0 = 1, = cioè: [ 0, 0 + ] = f 1 + ) f 1) tan = { [1,], se > 1 [, 1], se < 1 = f 1 + θ) cos 1 + θ) Osservando che il periodo fondamentale di cos 1 + θ) è T = π > π, donde: θ 0, π ) ), cos 1 + θ) < 1 = tan >, 0, π ) 13

14 Esercizio 1 Servendosi del teorema di Lagrange, dimostrare che l equazione: e = 1 +, è compatibile e determinata in R, la cui unica soluzione nel campo reale è = 0. Per dimostrare l asserto basta provare che: Poniamo: Per il teorema di Lagrange: R {0} e = ) f ) = e 11) Cioè: f 0 + ) f 0 ) = f 0 + θ ), con 0 < θ < 1 e 0 e e 0 = e 0 e e 1 = e θ Assumendo come incremento della variabile indipendente = : Ora: Per la 1): cioè la 10). e = 1 + e θ, con 0 < θ < 1 1) R {0} = 1 + e θ > 1 + R {0},e > 1 +, 14