Capitolo 5. Primo principio della Termodinamica nei sistemi aperti

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1 Capitolo 5. Primo principio della Termodinamica nei sistemi aperti 5.1. I sistemi aperti I sistemi aperti sono quei sistemi termodinamici nei quali, oltre allo scambio di lavoro e calore è possibile lo scambio di massa. Nel caso dei sistemi chiusi, lo studio si basava sul fatto che la massa, definita anche massa di controllo, è costante durante la trasformazione. Per i sistemi aperti risulta molto complesso valutare le caratteristiche di una determinata massa di sostanza durante il suo movimento all interno del dispositivo o della macchina da analizzare. E preferibile invece basare lo studio su un determinato volume geometrico, definito in base alle esigenze del particolare dispositivo o macchina, e applicare ad esso le relazioni fondamentali. Dal punto di vista formale si può parlare indifferentemente di volume di controllo o sistema aperto, indicando con ciò un volume dello spazio contenente il sistema termodinamico in esame. La superficie del volume di controllo, detta superficie di controllo, è caratterizzata da zone attraverso le quali la massa può entrare od uscire (Figura 5.1). Figura 5.1 Volume di controllo o sistema aperto Nei sistemi termodinamici aperti, le equazioni fondamentali per il loro studio sono due: l equazione di continuità l equazione dell energia 1

2 Prima di applicarle ai sistemi aperti è necessaria qualche nozione preliminare. Massa del sistema scritta in forma integrale Si ricorda innanzitutto l espressione della massa di un sistema aperto, scritta mediante un integrale esteso al sistema aperto, cioè al volume di controllo. Essa è data da (5.1) Nella (5.1), è la densità della sostanza, è l elemento infinitesimo di volume e l integrale è esteso al volume di controllo. Se la massa del sistema sta variando nel tempo, la sua variazione nell unità di tempo è data dalla derivata temporale della (5.1): [ ] (5.2) Portata attraverso una superficie Per valutare la portata di fluido in una porzione della superficie di controllo, occorre definire nell area infinitesima presa in un intorno del punto, il versore normale alla superficie e il vettore di velocità, come si vede nella Figura 5.2. Figura 5.2. Flusso attraverso l elemento infinitesimo di superficie di controllo. La portata volumica infinitesima (da non confondere col calore scambiato) nell elemento di superficie è data da: ( ) [ ] Il prodotto scalare dell angolo tra i vettori, cioè ( ). è pari al prodotto dei moduli per il coseno 2

3 In modo analogo, la portata massica infinitesima è: ( ) [ ] Per ricavare la portata volumica o massica in tutta la superficie di controllo, occorre quindi ricorrere a integrali estesi alla superficie di controllo: ( ) ( ) (5.3) Lavoro di pulsione Il volume di controllo è attraversato da un flusso di sostanza, che entra da alcune superfici e fuoriesce da altre. Questo flusso richiede della energia per essere realizzato, ed è mantenuto dal cosiddetto lavoro di pulsione, scambiato tra ambiente esterno e sistema nelle sezioni di ingresso ed uscita del flusso. Il lavoro di pulsione nella sezione di ingresso può essere schematizzato come in Figura 5.3, dove il fluido entra nel volume di controllo come se fosse presente un pistone in movimento che agisce contro la pressione interna in ingresso. Sup. di Controllo Figura 5.3. Lavoro di pulsione sulla superficie di ingresso del volume di controllo Il lavoro infinitesimo di pulsione, scambiato dal sistema per uno spostamento del pistone fittizio, è pari al prodotto scalare tra il vettore forza, dovuta al fluido che contrasta il pistone, e il vettore spostamento: Si supporrà, nella maggior parte dei casi, che il flusso nel condotto di ingresso sia monodimensionale, col significato che in tutta la sezione le grandezze termodinamiche e cinetiche siano uniformi. Con questa ipotesi, la forza è data dal prodotto della pressione in ingresso per l area della sezione di ingresso. Il lavoro infinitesimo di pulsione vale dunque: 3

4 ( ) ( ) dove l angolo è quello tra le direzioni positive dei vettori e. Nel caso di flusso in ingresso quest angolo è pari a e il lavoro è negativo. Osservando che il prodotto dell area di ingresso per lo spostamento infinitesimo rappresenta il volume infinitesimo di fluido in ingresso, il lavoro infinitesimo diventa: (5.4) dove il segno meno è contenuto in, per convenzione negativa. Analogamente si può scrivere una espressione per il lavoro di pulsione in uscita, che risulterà positivo. Pertanto, se nell intervallo la massa in transito è pari a, la (5.4) permette di scrivere l espressione generale del lavoro di pulsione: (5.5) Del lavoro di pulsione occorrerà tener conto al momento della scrittura del primo principio per un sistema aperto. Energia in transito per portata massica in ingresso e uscita. Nella sezione di ingresso e di uscita, il flusso è caratterizzato da energia interna oltre che da velocità e quota valutate rispetto ad un sistema di riferimento. Nella Figura 5.4 si riportano quote e velocità per un semplice sistema aperto con un solo ingresso di fluido ed una sola uscita. Superficie di controllo Figura 5.4. Velocità del flusso e quota nelle sezioni di ingresso ed uscita Nel sistema sono quindi presenti flussi in ingresso/uscita di energia interna, energia cinetica e potenziale, scambiate dal sistema aperto con l ambiente esterno, come conseguenza della massa che fluisce nelle superfici di ingresso 4

5 e uscita. Alla portata massica che attraversa la Superficie di Controllo è associato un contributo di energia interna e meccanica, data da: ( ) (5.6) 5.2. Equazione di continuità L equazione di continuità definisce in forma matematica il principio fisico della conservazione della massa di un sistema aperto. Forma generale della equazione di continuità In generale, la superficie di controllo presenta zone in cui il flusso è entrante, come nel punto della Figura 5.5, mentre nel punto il flusso è uscente. Una portata entrante (massica o volumica) è per definizione negativa, come si può verificare dalla equazione (5.3), mentre una portata uscente risulta positiva. Figura 5.5. Zone della superfice di controllo con portate positive ( ) e negative ( ). La superficie di controllo si può dividere in due zone, una ( ) nella quale il flusso è entrante, l altra ( ) nella quale il flusso è uscente (vedi Figura 5.5). La portata attraverso tutta la superficie di controllo si può considerare come somma delle portate attraverso le superfici di ingresso e di uscita: ( ) ( ) (5.7) Nella Figura 5.6 è mostrato lo schema a blocchi di un sistema aperto: se in un dato intervallo di tempo la massa entrata è in valore assoluto diversa da quella uscita, la massa contenuta nel sistema deve variare della somma delle due masse, ognuna considerata col proprio segno. La equazione di continuità si scrive:: 5

6 Portata massica entrante Variazione della massa nel tempo Portata massica uscente Figura 5.6. Bilancio di portata massica in un sistema aperto. Dividendo per l intervallo di tempo e passando al limite per, si può scrivere l equazione di conservazione della portata massica per un sistema aperto: (5.8) e, ricordando le espressioni (5.2) e (5.3), si ottiene la forma integrale della equazione di continuità per un sistema aperto: ( ) ( ) (5.9) Nella maggior parte dei sistemi aperti che verranno considerati, i condotti di ingresso e di uscita sono costituiti da tubazioni (vedi Figura 5.7) e la velocità è considerata uniforme e perpendicolare alla superficie di controllo nelle sezioni di ingresso e uscita. Superficie di controllo Figura 5.7. Sistema aperto ad un ingresso ed una uscita. Pertanto le grandezze che compaiono negli integrali della (5.9) sono costanti rispetto alla variabile di integrazione. Tenendo conto di ciò e del segno del prodotto scalare si ottiene una forma equivalente della equazione di conservazione della massa: 6

7 ( ) ( ) ( ) (5.10) Si osservi come tutte le espressioni dell equazione di continuità (5.8, 5.9 e 5.10) siano equazioni di bilancio ed in quanto tali presentano dei termini di accumulo di massa e dei termini di transito di massa. Equazione di continuità per i processi stazionari Si definisce stazionario, un processo o una trasformazione termodinamica nella quale i parametri che definiscono lo stato termodinamico non subiscono variazioni nel tempo, in ogni punto del sistema. Si osservi che se un parametro è costante nel tempo la sua derivata temporale è nulla. Si deduce che un sistema aperto che compie una trasformazione stazionaria deve necessariamente avere massa costante nel tempo e quindi. L equazione (5.8) diventa: (5.11) La (5.11) afferma che in un sistema aperto in stato stazionario la somma della portata massica entrante (per definizione ) e di quella uscente ( ) è pari a zero. Pertanto, considerando i valori assoluti Equazione dell energia per i sistemi aperti L equazione dell energia per un volume di controllo si ricava applicando ad esso l equazione di bilancio già vista per i sistemi chiusi, cioè il primo principio della termodinamica, modificata per tener conto dei termini visti nel paragrafo 4.1. Espressione del primo principio della Termodinamica per i sistemi aperti Nella Figura 5.8 è rappresentato un sistema termodinamico aperto, con tutte le grandezze utili a definire le sue interazioni con l esterno. Sono anche evidenziati gli elementi fluidi che entreranno/usciranno nel/dal volume di controllo in un dato intervallo di tempo. Il primo principio della termodinamica, così come visto per i sistemi chiusi, ma con l integrazione del lavoro di pulsione e dell energia scambiata per l ingresso e l uscita di massa, si scrive: 7

8 Il segno negativo dei termini aggiuntivi è legato alla convenzione di segno della portata massica. Anche se ciò è abbastanza raro nei casi che si esamineranno in questo corso, il fluido contenuto nel volume di controllo possedere energia potenziale e cinetica legate alla sua massa, velocità e quota. E quello che succede in alcuni casi, come ad esempio quando il sistema aperto è un motore turbogetto, che sta variando la sua energia cinetica o potenziale in virtù delle variazioni di velocità e di quota dell aereo sul quale è installato. Si osservi che questi termini energetici sono differenti da quelli dovuti al flusso d aria in ingresso e uscita dal motore, descritti dalla relazione (5.6).,,,,,,,,,,, Superficie di controllo Figura 5.8. Flussi di energia in un sistema aperto. Tenendo conto di ciò, in riferimento ad un dato intervallo di tempo nel quale il sistema ha accumulato o scambiato energia, una prima espressione del primo principio della termodinamica per i sistemi aperti è: (5.12) A primo membro della (5.12) si ha l energia accumulata dal sistema aperto (o volume di controllo) in termini di energia interna, cinetica e potenziale: A secondo membro figura l energia in transito (o energia scambiata) tra sistema e ambiente esterno: Il termine rappresenta il calore scambiato dal sistema con l ambiente esterno; 8

9 Il termine contiene le diverse tipologie di lavoro già viste anche per i sistemi chiusi: lavoro di variazione di volume, d elica, elettrico, chimico, etc.: ; Il termine, è il lavoro di pulsione. Ricordando la convenzione dei segni per le masse in entrata ed in uscita dal volume di controllo, esso è dato da: ( ); Il termine rappresenta il flusso di energia interna, cinetica e potenziale dovuto alle masse che entrano e escono dal sistema nel tempo considerato: ( ) ( ) Della (5.12) si può scrivere una forma più utile, nella quale si fa comparire l entalpia. Sostituendo i termini di lavoro di pulsione e di energia legato alle masse in transito, si ha: ( ) ( ) Ricordando la definizione della funzione entalpia, dalla precedente si ottiene l espressione generale del primo principio della termodinamica per sistemi aperti, scritto in termini di energia: ( ) (5.14) La (5.14) afferma che la variazione dell energia totale del volume di controllo è dovuta agli scambi di lavoro e calore attraverso la Superficie di Controllo, e allo scambio di energia associato alla massa entrante e uscente dal Volume di Controllo. Anche nella (5.14) vale le convenzione che le masse entranti sono negative e quelle uscenti positive. Si osservi inoltre che, mentre nel primo membro il termine comprende l energia interna, del sistema, nel secondo è presente solo l entalpia dei flussi in transito. La (5.14) effettua un bilancio di energia relativo a un dato intervallo di tempo ; si può facilmente ricavare una espressione equivalente per le potenze (energie nell unità di tempo), dividendo ambo i membri per e passando al limite per : ( ) (5.15) 9

10 Nella (5.15) si è posto, definito come la potenza scambiata dal sistema nelle varie modalità già discusse. Sistemi aperti in flusso stazionario. Sistemi con un ingresso e un uscita. Un caso particolare di applicazione del primo principio ai sistemi aperti è quello relativo ai sistemi in stato stazionario. Essendo nulla, in questo caso, la variazione nel tempo di tutti parametri termodinamici del volume di controllo, la derivata a primo membro della equazione (5.15) è pari a zero. Pertanto, il primo principio della termodinamica per i sistemi aperti in regime stazionario, in termini di potenze, si scrive: ( ) (5.16) Spesso verranno trattati sistemi aperti con un solo ingresso di massa ed una sola uscita. Essendo valida l equazione di conservazione della portata massica espressa dalla (5.8), per questi sistemi si ottiene: Poiché dunque le portate sono uguali in valore assoluto, si può porre, con, e. Applicando queste relazioni alla (5.16), si ottiene l espressione del primo principio della termodinamica per un sistema aperto in stato stazionario, con un ingresso ed una uscita, spesso utilizzata negli esercizi: ( ) ( ) (5.17) La (5.17) si scrive in forma compatta: [ ( )] (5.18) Dividendo ambo i membri della (5.18) per la portata massica, si ottiene una espressione equivalente in termini specifici: ( ) [ ] (5.19) 10