UNIVERSITA DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA FACOLTA DI INGEGNERIA. Esame di Fisica II (modulo unico) Ingegneria Automatica del

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1 UNIVERSIA DEGLI SUDI DI ROMA LA SAPIENZA FACOLA DI INGEGNERIA Esame di Fisica II (modulo unico) Ingegneria Automatica del N.1 Una vaschetta contenente acqua scivola su un piano liscio inclinato di un angolo α rispetto all orizzontale. Assumendo che il liquido sia in condizioni stazionarie all interno della vaschetta, si determini l inclinazione, rispetto all orizzontale, della superficie di separazione fra aria ed acqua. N.2 Una mole di gas ideale monoatomico si trova inizialmente in uno stato A con volume V e pressione p a temperatura ambiente ( = 3 K) ed è sottoposto alla seguente sequenza di trasformazioni: A B: compressione isocora fino alla pressione 4 p ; B C: espansione isobara fino al volume 2V o ; C D: espansione isoterma fino alla pressione p. Si calcolino il lavoro compiuto e il calore scambiato dal gas durante la sequenza di trasformazioni. N.3 Per sfruttare tutte le fonti energetiche disponibili si vuole costruire una macchina termica ciclica che assorba calore da una sorgente sotterranea di acqua calda alla temperatura di 5 C. Si decide di raffreddare la macchina utilizzando un lago che contiene 1 5 m 3 d acqua a 5 C. Poiché il lago non è in comunicazione con corsi d acqua, la sua temperatura aumenterà progressivamente. rascurando altri possibili scambi termici del lago e della macchina con l ambiente, si calcoli il massimo lavoro che può essere prodotto e il rapporto fra tale lavoro e il calore assorbito dalla sorgente calda. N.4 Discutere il fenomeno dell interferenza. N.5 Dimostrare l equazione delle lenti sottili. N.6 Dimostrare e discutere l effetto Doppler.

2 UNIVERSIA DEGLI SUDI DI ROMA LA SAPIENZA FACOLA DI INGEGNERIA Esame di Fisica II (I modulo e modulo unico) Ingegneria Automatica del Soluzioni N.1 L acqua è in equilibrio in un sistema di riferimento non inerziale solidale con la vaschetta ed è quindi sottoposta, oltre che al peso, anche ad una forza apparente di trascinamento. E immediato convincersi che, rispetto a un osservatore inerziale solidale col piano, la vaschetta e il suo contenuto sono in moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione g sin α. L accelerazione di trascinamento a R del sistema di riferimento solidale con la vaschetta è dunque un vettore parallelo al piano inclinato e rivolto in basso. Poiché le forze apparenti sono proporzionali alla massa, nel sistema non inerziale l acqua è sottoposta ad una forza specifica di volume f v data dalla composizione del peso e della forza di trascinamento (opposta ad a R ): fv = ρg ρar = ρ( g ar). (1) Poiché la f v è costante, è dotata di potenziale; inoltre, poiché il vettore g a R è ortogonale al piano inclinato, le superfici equipotenziali (ortogonali a f v ) sono parallele al piano. La superficie di separazione fra aria ed acqua coincide con una superficie equipotenziale ed è quindi inclinata di un angolo α rispetto all orizzontale. N.2 Procediamo innanzitutto al calcolo di volume, pressione e temperatura del gas in ciascuno degli stati di equilibrio A, B, C, D. Stato A: volume V A = V, pressione p A = p, temperatura A =. pv = nr. (1) Stato B: volume V B = V A = V, pressione p B = 4 p, temperatura B. 4 pv nrb =. (2) Confrontando la (2) e la (1) si ottiene: B = 4. (3) Stato C: volume V C = 2 V, pressione p C = p B = 4 p, temperatura C. 4p2V nrc =. (4) Confrontando la (4) e la (1) si ottiene: C = 8. (5)

3 Stato D: volume V D, pressione p D = p, temperatura D = C = 8. V p = 8nR. (6) D Confrontando la (6) e la (1) si ricava: VD = 8V. (7) Il lavoro compiuto dal gas durante la sequenza di trasformazioni è la somma dei lavori compiuti lungo le singole trasformazioni: W = WAB + WBC + WCD. (8) La trasformazione A B è una isocora, lungo la quale il gas non compie lavoro: W =. (9) AB La trasformazione B C è una isobara a pressione p B = 4 p, lungo la quale il gas compie il lavoro vc vc BC = = B = B( C B) = 4 = 4. (1) v v W pdv p dv p V V pv R B B La trasformazione C D è una isoterma, per la quale il lavoro compiuto è: vd vd vd nr dv VD CD = = = C Cln 8 ln4 V = =. (11) V V v v v C W pdv dv nr nr R C C C Nella (11) è stata usata l equazione di stato dei gas ideali e si è sfruttato il fato che la trasformazione è isoterma per portare la variabile fuori dal segno di integrale. ramite la (8) si calcola il lavoro complessivo: W = R (4 + 8ln4) = 376 J. (12) Il base al primo principio della termodinamica, il calore assorbito nella trasformazione si può scrivere Q= U + W. (13) Per un gas ideale monoatomico la variazione di energia interna è: 3 21 U = ncv( D A) = n R(8 ) = R = 262J. (14) 2 2

4 Inserendo la (12) e la (14) nella (13), si calcola facilmente il calore scambiato dal gas durante la sequenza di trasformazioni: Q= 638 J. (15) N.3 Poiché la macchina cede calore al lago, la temperatura dell acqua aumenterà progressivamente finché raggiungerà quella della sorgente calda e la macchina, in accordo con l enunciato di Kelvin, non potrà più produrre lavoro. Siccome la macchina è ciclica, al termine del processo non avrà subito alcuna variazione di energia interna; pertanto l applicazione del primo principio alla macchina porta a scrivere W = Q Q, (1) A C dove Q A è il calore assorbito dalla sorgente calda, Q C > è quello ceduto al lago e W il lavoro complessivamente prodotto. Indichiamo con S = 5 C = 323 K la temperatura della sorgente calda, con L = 5 C = 278 K quella iniziale del lago, con m a = 1 8 kg la massa d acqua contenuta nel lago e con c a = 418 J/(kg K) il calore specifico dell acqua. Il calore complessivamente ceduto si calcola immediatamente considerando che al termine del processo la temperatura del lago sarà pari a S : Q = mc ( ). (2) C a a S L Per il calcolo del calore assorbito, occorre qualche ulteriore considerazione. Se, per ottenere la massima efficienza di conversione di calore in lavoro, si utilizza una macchina reversibile, la variazione di entropia dell universo termodinamico costituito dalla macchina, dalla sorgente e dal lago, deve essere nulla. Ciò chiaramente è vero solo se si ipotizza che durante tutto il periodo di funzionamento della macchina non avvengano scambi di calore fra il lago e l ambiente o evaporazione dell acqua del lago: tali ipotesi non sono realistiche, ma non influenzano significativamente il calcolo che stiamo eseguendo. Considerato che la variazione di entropia della macchina (ciclica) è nulla, quella complessiva può essere scritta come: QA S = SS + SL = + mc a aln =, (3) S L dove S S e S L sono le variazioni antropiche della sorgente calda e del lago. Dalla (3) si ricava il calore assorbito: Q = m c ln S. (4) A S a a L Con la (1), la (2) e la (4) e con i dati numerici si calcola il lavoro complessivamente prodotto: 12 W = maca ln + L = J L. (5) Infine, l efficienza dell intero processo, cioè il rapporto fra tutto il lavoro prodotto e il calore assorbito si ottiene dal rapporto fra la (5) e la (4):

5 W Q A ln + L L = =.71. (6) ln L La bassa efficienza del processo è dovuta alla modesta differenza fra le temperature del lago e della sorgente calda. Se si dovesse realizzare una tale macchina si otterrebbe in pratica un efficienza decisamente inferiore, sia per l irreversibilità del processo reale, sia perché è estremamente difficile realizzare macchine in grado di sfruttare efficacemente salti così modesti di temperatura. L eventuale raffreddamento del lago conseguente agli scambi termici con l atmosfera potrebbe aumentare l efficienza, ma probabilmente non in maniera significativa per una pratica applicazione.