Introduzione ai Modelli di Durata: Alcuni Modelli Parametrici

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Aloisio Bianco
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1 Inroduzone a Modell d Duraa: Alun Modell Paramer a.a. 2009/ Quaro Perodo Prof. Flppo DOMMA Corso d Laurea Spealsa/Magsrale n Eonoma Applaa Faolà d Eonoma UnCal

2 1. Esponenzale Modell Paramer Le funzon d densà, rparzone e sopravvvenza, rspevamene, sono: f(; ) e 0 >0 F(; ) 1 e S(; ) e Il valore aeso è: E( T) Propreà: perda d memora (ale propreà è poo realsa) P r ( T T ) P ( T ) 0 / 0 r D onseguenza, la va meda resdua è: ( T ) E T / E( T) F. DOMMA Modell d Duraa 2

3 F. DOMMA Modell d Duraa 3 e e S f h ) ; ( ) ; ( ) ; ( Dalla defnzone d hazard funon s ha: Per la v.. esponenzale la hazard funon è osanemene par a.

4 Esempo. 10, 7, 32*, 23, 22, 6, 16, 34*, 32*, 25*, 11*, 20*, 19*, 6, 17*, 35*, 6, 13, 9*, 6*, 10* Il smbolo * nda he la duraa è ensuraa. C sono 9 durae omplee e 12 ensurae. Supponamo d voler adaare un modello Esponenzale e rovamo lo smaore d m.v. del paramero. L n [ f] [ S ] n n n e n e n n e n n n F. DOMMA Modell d Duraa 4

5 2. Webull La dsrbuzone d Webull è largamene ulzzaa nell anals de da d duraa (al puno da far pensare he mol lavor presen n leeraura sono Webull-dpenden), ò dpende da fao he presena una hazard funon monoono; n parolare, può essere sempre deresene, sempre resene o osane a seonda del valore del paramero. E mporane soolneare he nelle sue dverse forme non presena quello non-monoono. Inolre, nlude ome aso parolare la esponenzale ed è legaa ad alre dsrbuzon ulzza nell ambo d al sud. La funzone d densà e d sopravvvenza, rspevamene, sono: 1 ( ) ( exp ( ) f (;, ) ) ( ( ) S(;, ) exp ) dove e governano, rspevamene, la sala e la forma della dsrbuzone. F. DOMMA Modell d Duraa 5

6 La hazard funon rsula essere: h (;, ) 1 ( ) S osserv he per ogn >0, s ha: h ( ) > < > < L andameno della hazard funon è nfluenzao solo ed eslusvamene dal paramero. Per 1 oenamo l modello esponenzale ome aso parolare. F. DOMMA Modell d Duraa 6

7 Andamen della hazard funon d un modello Webull al varare d. F. DOMMA Modell d Duraa 7

8 3. Log-Normale Il modello log-normale, analogamene a quello d Webull, è sao nensamene ulzzao per desrvere da d sopravvvenza. S de he T ha dsrbuzone log-normale se Ylg(T) s dsrbuse seondo una Normale d paramer, damo, µ e σ 2. La funzone d densà e d sopravvvenza, rspevamene, sono: µ σ σ π µ σ f >0 S µ σ Φ µ σ dove Φ(.) è la funzone d rparzone della normale sandardzzaa. F. DOMMA Modell d Duraa 8

9 Momeno prmo e varanza sono: σ T µ E VT { ( σ ) } { µ σ } La hazard funon non ha una espressone espla hµ σ fµ σ S µ σ S dmosra he per 0, h() è zero, all aumenare d rese fno a raggungere un massmo, per po deresere è endere a zero quando ende ad nfno. F. DOMMA Modell d Duraa 9

10 Tpo andameno della hazard funon d una Log-Normale. F. DOMMA Modell d Duraa 10

11 4. Log-Logsa Una v.. T segue una dsrbuzone log-logsa se Ylg(T) segue una dsrbuzone Logsa. La funzone d densà e d rparzone d T, rspevamene, sono: f ( ) S E mmedao verfare he la hazard funon è: h F. DOMMA Modell d Duraa 11

12 h ( ) { } ( ) Se 1 allora h(;,) è sempre deresene; Se >1 allora h(;,) presena un massmo n ( ) F. DOMMA Modell d Duraa 12

13 F. DOMMA Modell d Duraa 13

14 F. DOMMA Modell d Duraa 14 f 5. Burr XII S no he la v.. Burr XII può essere vsa ome una generalzzazone della v.. Log-Logsa; nfa, basa porre 1 1, 2 1/ e 3, ad esempo, nella funzone d sopravvvenza per oenere la funzone d sopravvvenza della log-logsa. S Negl ulm ann, ra modell pù ulzza, n parolar modo per l anals de da d duraa n eonoma, v è l modello Burr XII. Tale modello presena le seguen funzon d densà e d sopravvvenza: on >0 per 1,2,3.

15 F. DOMMA Modell d Duraa 15 ( ) h Il modello Burr XII presena la seguene hazard funon S dmosra he: se 3 1 allora h(; 1, 2, 3 ) è sempre deresene; se 3 >1 allora h(; 1, 2, 3 ) presena un massmo n ( ) [ ]

16 F. DOMMA Modell d Duraa Modello d Hjorh (1980) Hazard funon bahub h ( ) h ( ) > h * è un puno d mnmo. Al fne d osrure un modello apae d desrvere la va delle persone, delle ellule e., Hjorh (1980) propone la seguene hazard funon: E semple verfare he

17 F. DOMMA Modell d Duraa 17

18 F. DOMMA Modell d Duraa 18 Ulzzando la relazone essene ra la hazard funon e la funzone d sopravvvenza, abbamo: ( ) e udu du u S ( ) e f

19 7. Burr III [oppure Dagum (1977, 1980)] f θ θ θ [ θ ] S θ [ θ ] h θ θ θ [ θ ] [ θ ] S dmosra (non è mmedaa) he h(;,,θ) può essere sempre deresene, può presenare un massmo oppure un mnmo ed un massmo. F. DOMMA Modell d Duraa 19

20 F. DOMMA Modell d Duraa 20

21 F. DOMMA Modell d Duraa 21

22 F. DOMMA Modell d Duraa 22

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