Reti logiche: analisi, sintesi e minimizzazione. Giovedì 9 ottobre 2014

Transcript

1 Reti logiche: analisi, sintesi e minimizzazione Giovedì 9 ottobre 2014

2 Punto della situazione Stiamo studiando le reti logiche costruite a partire dalle porte logiche AND, OR, NOT per progettare l ALU (Unità Logico Aritmetica), componente essenziale del calcolatore. Reti logiche = espressioni booleane Obiettivo di oggi: passaggio da rete logica ad espressione booleana e viceversa

3 Operatori logici Una funzione di variabili binarie e a valore binario viene detta funzione logica o di commutazione. Ogni funzione logica può essere definita in termini di semplici operatori logici di 1 o 2 variabili: AND, OR, NOT. Esistono però degli altri operatori logici importanti: XOR, NAND, NOR.

4 AND ovvero il prodotto AND(,y) con, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se entrambe le variabili sono poste a Vero, Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0. AND(,y) corrisponde al prodotto y. AND(F,F) = F AND(F,V) = F AND(V,F) = F AND(V,V) = V 0 0 = = = = 1 y * y Tavola di verità

5 OR ovvero la somma OR(,y) con, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se almeno una variabile è posta a Vero, Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0 OR(,y) corrisponde alla somma + y, in cui 1+1 = 1. OR(F,F) = F OR(F,V) = V OR(V,F) = V OR(V,V) = V = = = = 1 y + y Tavola di verità

6 NOT ovvero la negazione NOT() con variabile che può assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se la variabile è posta a Falso; Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0 NOT() corrisponde alla negazione. NOT(V) = F NOT(F) = V 0 = 1 1 =

7

8 La combinazione delle variabili e degli operatori viene chiamata espressione logica.

9 Mappa di verità o tavola di verità: tabella che definisce i valori dell output per ogni possibile input

10 Espressione SOP Letterale = variabile o la sua negazione Un espressione booleana è in forma normale SOP (Sum Of Products) quando è l OR/somma di AND/prodotto di letterali Mintermine = prodotto di letterali in cui compare ogni variabile o vera o negata Una espressione normale SOP è in forma canonica SOP se i suoi termini sono tutti mintermini Scambiando Somma con Prodotto si definiscono le espressioni POS

11 Espressione POS Letterale = variabile o la sua negazione Un espressione booleana è in forma normale POS (Product Of Sums ) quando è il prodotto (AND) di somme (OR) di letterali ( 2 3)( 1 3) Matermine = somma di letterali in cui compare ogni variabile o vera o negata Una espressione normale POS è in forma canonica POS se i suoi termini sono tutti matermini ( 1 2 3)( 1 2 3)

12

13 Rete logica Una rete logica è un interconnessione di porte logiche AND, OR, NOT, in modo che ogni uscita da una porta alimenti al più un ingresso di una porta

14 Risultati principali Corrispondenza fra funzioni logiche e reti logiche: Per ogni funzione logica possiamo costruire una rete logica che la realizza e viceversa Ogni funzione logica può essere espressa in termini soltanto di AND, OR, NOT. Analisi: data una rete determinare la funzione calcolata Sintesi: data una funzione logica costruire una rete che la calcola

15 Analisi di una rete: dalla rete alla funzione Ogni rete logica calcola una funzione booleana dei suoi ingressi f( 1, 2, 3 ) = 3 ( 1. 2 ) + ( )

16 Analisi e Sintesi di reti Analisi è abbastanza semplice: Calcola per ogni porta logica di cui sono specificati tutti gli input l espressione booleana associata all output Fino ad ottenere l espressione associata al terminale d uscita della rete Vediamo ora la sintesi di una funzione logica f: 1. Da f alla tavola di verità 2. Dalla tavola di verità all espressione «SOP» 3. Dall espressione «SOP» ad una rete a due stadi: il primo di porte AND, il secondo con una sola porta OR

17 Tavole di verità di mintermini Per ogni mintermine, la tavola di verità ha un solo valore 1. Per esempio: se f = allora avrà un solo 1 in corrispondenza di 3 =0, 2 =1, 1 =1. Ricorda: Il prodotto è 1 sse ogni fattore è f Viceversa, se la tavola di verità di f ha un solo valore 1 necessariamente f è un mintermine f = 3 2 1

18 Dalla tavola di verità alla SOP Se invece la tavola di verità ha più occorrenze di 1: f f ha valore 1 se: 3 =0, 2 =1, 1 =1 oppure 3 =1, 2 =0, 1 =1 Espressione SOP f = Per ogni 1 nella tavola di verità trovare il mintermine corrispondente 2. Sommare i mintermini ottenuti

19 Esercizio (maggioranza) Sia f(,y,z) la funzione che vale 1 se (e solo se) la maggioranza delle variabili vale 1. Effettuare la sintesi di f: 1. Da f alla tavola di verità 2. Dalla tavola di verità all espressione SOP 3. Dall espressione SOP ad una rete a due stadi: il primo di porte AND, il secondo con una sola porta OR

20 Dalla tavola di verità alla SOP: esempio 1 Supponiamo di avere una funzione f data tramite la sua tavola di verità Espressione SOP

21 Dalla tavola di verità alla SOP: esempio 2 Dalla tavola di verità all espressione SOP Espressione SOP

22 Dall espressione canonica SOP alla rete a due livelli SOP /AND-to-OR: nel primo livello varie porte AND, nel secondo livello solo una porta OR Nota Nota: le porte sono state estese in modo da poter avere più di 2 ingressi

23

24 Minimizzazione di reti combinatorie Sinonimi: Reti logiche, reti combinatorie Funzioni logiche, funzioni di commutazione

25 Valutazione delle Prestazioni di una Rete Combinatoria Per ogni funzione di commutazione esistono diverse reti combinatorie che la realizzano Qual è la migliore? Quella che ha le migliori prestazioni 25 Le prestazioni di una rete combinatoria vengono misurate in termini di Velocità Costo Esiste una tecnica che ci permette di sintetizzare la rete in modo da massimizzare le prestazioni?

26 Velocità di una Rete Combinatoria 26 La velocità della rete viene misurata calcolando il tempo che passa da quando i segnali sono disponibili sui terminali di input a quando un segnale è disponibile sul terminale di output Quando un segnale attraversa una porta logica subisce un piccolo ritardo La velocità di una rete dipende dal massimo numero di porte logiche che un segnale deve attraversare per andare da un terminale di input al terminale di output Faremo sempre riferimento a reti a due livelli Sono le più veloci tra quelle che possono realizzare qualsiasi funzione Le reti ad un livello possono realizzare un insieme molto limitato di funzioni

27 Costo di una rete/espressione logica 27 Il costo della rete dipende da Numero di porte logiche Numero di linee di input Tra tutte le reti AND-to-OR (SOP) che realizzano una certa funzione di commutazione una rete è minimale se Ha il minor numero di porte AND Tra tutte quelle che hanno il minor numero di porte AND ha il minor numero di linee di input Un espressione in forma normale SOP è minimale se Ha il minor numero di termini prodotto possibile Tra tutte le espressioni equivalenti che hanno il minor numero di prodott,i ha il minor numero di letterali

28 Minimizzazione di espressioni booleane La minimizzazione di espressioni booleane non è un processo semplice e diretto. Si possono utilizzare le regole contenute nella seguente tabella. 28 Per poche variabili invece è possibile utilizzare la Mappa di Karnaugh per semplificare il processo una rappresentazione particolare delle tavole di verità che consente di individuare facilmente i mintermini adiacenti Utile fino a 4 variabili

29 Esercizio: verificare che (+y)(+z) = +yz confrontando le rispettive tavole di verità

30 Esempi f ) )( ( f= ) ( Esempio 1 Applicando la proprietà distributiva e del complemento si ha: Esempio 2 Applicando le leggi di De Morgan si dimostra:

31 Esercizio (SOP) Determinare l espressione canonica SOP della funzione definita dalla seguente tavola di verità 2 1 f

32 Esercizio (POS) Determinare l espressione canonica POS della funzione definita dalla seguente tavola di verità 2 1 f Suggerimento: usare le leggi di De Morgan

33 Risultati principali Corrispondenza fra funzioni logiche e reti logiche: Per ogni funzione logica possiamo costruire una rete logica che la realizza e viceversa Ogni funzione logica può essere espressa in termini soltanto di AND, OR, NOT. Analisi: data una rete determinare la funzione calcolata Sintesi: data una funzione logica costruire una rete che la calcola

34 Riepilogo e riferimenti Analisi e sintesi di rete logiche [PH] appendice C.1, C.2, C.3 [P] par. 4.1, 4.2, 4.3. La prossima volta: la minimizzazione con le mappe di Karnaugh [P] par. 4.4