N.B. Per la risoluzione dei seguenti esercizi, si fa riferimento alle Tabelle riportate alla fine del documento.

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1 N.B. Per la risoluzione dei seguenti esercizi, si fa riferimento alle Tabelle riportate alla fine del documento. Esercizio 1 Un chimico che lavora per una fabbrica di batterie, sta cercando una batteria per calcolatrici che duri significativamente più a lungo rispetto alle batterie correnti. Si sa che la durata delle batterie correnti per calcolatrici è distribuita normalmente con =100,3 min =6,25 min. Il chimico sviluppa una batteria migliore che teoricamente dovrebbe durare più a lungo, e da verifiche preliminari egli assume che anche la durata di queste batterie di distribuisca normalmente con =6,25 min. Per eseguire un test di H 0 : =100,3, egli prende un campione di n=15 durate di queste nuove batterie e trova che x =105,6 min. Si esegua un test bidirezionale per H 0 usando =0,01. Soluzione Esercizio 1 Dati disponibili: 0 =100,3 (media di popolazione) =6,25 (deviazione standard di popolazione) x =105,6 (media osservata sul campione) n=15 (numerosità del campione) =0,01 (livello di significatività) Il sistema d ipotesi è: H 0 : = 100,3 H 1 : 100,3 La varianza di popolazione è nota. Quindi, per determinare il valore della statistica test si usa la seguente formula: x ( z 0 ~ N(0,1) n) N.B. Il simbolo ~ (la tilde) va letto si distribuisce come. Quindi, la formula precedente va letta z= si distribuisce come una Normale con media=0 e varianza=1. In particolare, la Normale con queste caratteristiche (media=0 e varianza=1) è la Normale standardizzata. 105,6 100,3 Il valore della statistica test è z 3, 284. (6,25 15) Dal momento che l ipotesi H 1 è di tipo bidirezionale (leggere le pagine 349 e 350 del libro), la zona di rifiuto è composta dalle due code (una a destra e una a sinistra) della distribuzione considerata. Avendo scelto un livello di significatività =0,01, le due code avranno complessivamente un area pari a 0,01 e cioè 0,005 ciascuna.

2 Bisogna guardare la tabella della Normale standardizzata. Se si prende in considerazione la Tabella A.1, i valori più vicini a un area pari a 0,005 sono z=-2,57 (0,00508) e z=-2,58 (0,00494). Quindi la coda di sinistra inizia tra i valori z=-2,57 e z=-2,58. Dal momento che la distribuzione è simmetrica, la coda di destra inizierà tra i valori z=2,57 e z=2,58. Perciò, l ipotesi H 0 va rifiutata, e di conseguenza accettata l ipotesi alternativa H 1, se il valore della statistica test calcolato con la formula esce dall intervallo [-2,57;2,57]. Nel nostro caso, il valore 3,284 è esterno all intervallo [-2,57;2,57] e quindi l ipotesi H 0 va rifiutata; di conseguenza si può dire che la nuova batteria duri più a lungo. Sviluppo: Entro quali limiti deve stare la media del campione per non rifiutare H 0, cioè per poter dire che la macchina è tarata bene? Per non cadere nella zona di rifiuto, con la formula si doveva ottenere un valore superiore a compreso nell intervallo [-2,57;2,57]. Per determinare a quale durata di batteria corrispondono i valori critici, cioè gli estremi dell intervallo, si effettua il seguente calcolo: Se x allora si ricava che x z ( n) 0 ( n) z 0 Quindi, facendo riferimento all estremo superiore dell intervallo, cioè 2,57, si ha che: x 2,57 (6,25 15) 100,3 104,48 Per l estremo inferiore, cioè -2,57, invece si ottiene: x 2,57 (6,25 15) 100,3 96,15 Quindi, non avremmo rifiutato H 0 nel caso la durata media delle batterie del campione fosse compresa nell intervallo [ 96, 15;104,48].

3 Esercizio 2 Si estrae un campione (n=20, x =4,0, s=0,83) da una popolazione distribuita normalmente che ha e entrambi non noti. Si esegua un test unidirezionale di H 0 : =3,6 e si discuta la decisione che si prende in base al livello di significatività che si sceglie. Soluzione Esercizio 2 Dati disponibili: 0 =3,6 (media di popolazione) x =4,0 (media osservata sul campione) s=0,83 (deviazione standard del campione) n=20 (numerosità del campione) =da scegliere (livello di significatività) Il sistema d ipotesi è: H 0 : = 3,6 H 1 : > 3,6 La varianza di popolazione NON è nota. Quindi, per determinare il valore della statistica test si usa la seguente formula: T x 0 ~ T Student (n (s n) 1) 4,0 3,6 Il valore della statistica test è T 2, (0,83 20) Dal momento che l ipotesi H 1 è di tipo unidirezionale (leggere le pagine 349 e 350 del libro), la zona di rifiuto è composta da una sola coda, in questo caso quella di destra della distribuzione considerata. Scegliendo un livello di significatività =0,05 bisogna guardare la tabella della T di Student (Tabella A.3) nella colonna 0,95 (che è il complemento a 1 di 0,05, cioè 0,95+0,05=1). I gradi di libertà sono 19. Infatti, n=20 e i gradi di libertà sono n-1=20-1=19. Si osserva che il valore della T 0,05, con 19 gradi di libertà è pari a 1, Scegliendo invece un livello di significatività =0,01 bisogna guardare la tabella della T di Student (Tabella A.3) nella colonna 0,99 (che è il complemento a 1 di 0,01, cioè 0,99+0,01=1). Si osserva che il valore della T 0,01, con 19 gradi di libertà è pari a 2, Siccome 2,1552 è superiore al valore critico 1,72913, quello per =0,05, ma non al valore critico 2,53948, quello per =0,01, si può rifiutare H 0, solo a un livello di significatività =0,05.

4 Esercizio 3 Sulla base dei dati della seguente tabella rispondere ai successivi punti: Classi di età Iscritti Totale a) Descrivere la tabella, indicando unità statistica, carattere rilevato, tipo di carattere rilevato, numerosità del collettivo e rappresentazioni grafiche idonee per questo tipo di dati; b) Calcolare la distribuzione di frequenza relativa e relativa percentuale; c) Determinare l età media, l età mediana, il primo e il terzo quartile. Soluzione Esercizio 3 a) La tabella rappresenta una distribuzione di frequenza assoluta. L unità statistica è l Iscritto. Il carattere rilevato è l età, è di tipo quantitativo discreto. La numerosità del collettivo è pari a 639. Si ottiene sommando le frequenze assolute: n= =639 Dal momento che le classi hanno intervalli di ampiezza differenti, la rappresentazione grafica più adatta è l istogramma, ma è necessario calcolare la densità di frequenza: h i =n i /w i dove w i è l ampiezza dell intervallo. L ampiezza di un intervallo, con un estremo compreso e l altro escluso, va calcolata facendo la differenza tra l estremo superiore e l estremo inferiore dell intervallo. Quindi, l ampiezza dell intervallo 3-15 (3 escluso e 15 compreso) è pari a w 1 =15-3=12. L istogramma che ne risulta è rappresentato nella seguente figura:

5 Cl. di età n i w i h i f i p i xˆ i xˆ i ni N i P i ,58 0,180 18, , ,60 0,244 24, , ,67 0,203 20,3 32, , ,00 0,172 17, , ,00 0,141 14, , ,80 0,060 6, ,0 Totale b) Per calcolare la distribuzione di frequenza relativa si usa la seguente formula: ni fi n n1 115 n2 156 Quindi, f1 0, 180, f2 0, 244, n 639 n 639 La distribuzione di frequenza percentuale si ottiene moltiplicando per 100 le frequenze relative: ni pi fi n Le distribuzioni di frequenza relativa e relativa percentuale sono calcolate nella tabella riportata alla fine dei punto a) di questo esercizio. c) Dal momento che il carattere è suddiviso in classi intervallari, per calcolare la media aritmetica bisogna usare un valore rappresentativo di ciascuna classe. Il valore centrale di classe xˆ i è quello che usualmente viene impiegato. Se ciascun intervallo (come nel caso in questione) ha un estremo compreso e uno escluso, il valore centrale di classe si calcola facendo la semisomma degli estremi: xˆ , xˆ2 20, 2 2 A questo punto è possibile calcolare la media aritmetica per una distribuzione di frequenza con la formula: x k xˆ i ni n i , La numerosità del collettivo è 639, cioè dispari, quindi la mediana si calcola individuando la classe di età alla quale appartiene l unità statistica che occupa la posizione centrale determinata dalla seguente formula: n Pos Q2 =

6 Per individuare dove si trova l unità statistica 320 è necessario costruire la distribuzione di frequenza cumulata N i (viene usata la N maiuscola per indicar che si tratta della cumulata): N 1 =n 1 =115, N 2 =N 1 +n 2 = =271, N 3 =N 2 +n 3 = =401, Quindi, l unità statistica 320 si trova nella classe Per individuare la posizione che individua il primo e il terzo quartile (rispettivamente Q 1 e Q 3 ) si usano le seguenti espressioni: n Pos Q1 = n Pos Q3 = L unità statistica che occupa la posizione 160 si trova nella classe 15-25, mentre quella che occupa la posizione 480 si trova nella classe Ricapitolando: Q 1 =15-25 Q 2 =25-40 Q 3 =40-50 Avremmo potuto dare la risposta senza calcolare la posizione, ma semplicemente andando a ragionare sulla distribuzione di frequenza relativa percentuale cumulata P i : il primo quartile appartiene alla classe che contiene il valore 25 (corrispondente al 25% del collettivo). Per la mediana si cerca il 50% e per il terzo quartile il 75%.

7 Esercizio 4 Determinare i 3 quartili per la seguente serie: Soluzione Esercizio 4 Dopo aver verificato che i dati sono ordinati, bisogna calcolare la numerosità del collettivo. In questo caso i valori sono 16. Primo quartile: n Pos Q1 = 4, Il valore che occupa la quarta posizione è il 16, quindi il primo quartile è 16. Per la mediana, visto che la numerosità è pari, le posizioni da individuare sono due: Pos Q2 = n 2 n I valori che occupano l ottava e la nona posizione sono rispettivamente 18 e 19. La mediana è rappresentata dalla media aritmetica dei due valori individuati: Me (o Q 2 )= 18, 5 2 Terzo quartile: n Pos Q3 = , Il valore che occupa la tredicesima posizione è il 23, quindi il primo quartile è 23. Ricapitolando: Q1=16 Q2=18,5 Q3=23

8 Esercizio 5 Trovare la proporzione delle osservazioni, provenienti da una distribuzione Normale standard, che soddisfino le seguenti condizioni. Disegnare una curva Normale e ombreggiare la superficie sotto la curva per rispondere alla domanda. a) Z<0,93 b) Z>0,93 c) Z>0,38 d) -0,38<Z<0,93 Soluzione Esercizio 5 Per rispondere ai quesiti di questo esercizio è necessario utilizzare la tavola della Normale standardizzata (Tabella A.1). In corrispondenza dei vari valori della Z si legge un numero che rappresenta l area sottesa alla funzione di densità della Normale standardizzata tra (meno infinito, cioè l estrema sinistra del grafico) e Z. a) Cercando il valore 0,93 sulla Tabella A.1 (0,9 sulle righe e 0,03 sulle colonne) si individua il valore 0,8238. Tale valore corrisponde alla proporzione delle osservazioni che sono inferiori a 0,93 in una Normale standardizzata. In altre parole, scegliendo un valore a caso, la probabilità che tale valore sia inferiore a 0,93 è pari a 0,8238. P(Z 0,93)=0,8238 Ecco la figura corrispondente: b) Di conseguenza, la proporzione delle osservazioni che sono superiori a 0,93 in una Normale standardizzata sono il complemento a 1 (pari all area da - a + ) del valore individuato sulla Tabella A.1:

9 P(Z>0,93)= 1-P(Z 0,93)=1-0,8238=0,1762 Ecco la figura corrispondente: c) La proporzione delle osservazioni che sono superiori a 0,38 in una Normale standardizzata (riga 0,3 e colonna 0,08 della Tabella A.1) sono il complemento a 1 del valore individuato: P(Z>0,38)= 1-P(Z 0,38)=1-0,6480=0,3520 Ecco la figura corrispondente:

10 d) Per individuare la proporzione delle osservazioni che sono comprese tra -0,38 e 0,93 si possono utilizzare le informazioni già raccolte. Infatti, la proporzione di osservazioni inferiori a -0,38 sono uguali a quelle superiori a 0,38 e cioè pari a 0,3520, dal punto c). Le osservazioni superiori a 0,93 sono pari a 0,1762 dal punto b). Quindi, se si toglie da 1, che rappresenta l area da a +, la somma delle due aree che si riferiscono alle osservazioni rispettivamente inferiori a -0,38 e 0,93, si ottiene il valore richiesto: P(-0,38<Z<0,93)= 1-[P(Z<-0,38)+P(Z>0,93)]=1-(0,3520+0,1762)=0,4718 Ecco la figura corrispondente:

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