Il linguaggio dei computer: rappresentazione in binario e algoritmi di conversione 20 settembre 2017

Transcript

1 Il linguaggio dei computer: rappresentazione in binario e algoritmi di conversione 20 settembre 2017

2 Architettura degli Elaboratori L Architettura (informatica) è l insieme dei criteri in base ai quali è progettato e realizzato un sistema informatico. L Elaboratore (o calcolatore, o computer) è una macchina in grado di eseguire autonomamente sequenze di operazioni logiche-aritmetiche sui dati in ingresso (input) e restituire i risultati di tali operazioni in uscita (output)

3 Dal libro [P] Modello di calcolo

4 Achitettura Harward La memoria è suddivisa in: Memoria dati e Memoria istruzioni

5 Studieremo il processore MIPS Un processore vero (vedi Appendice E) Sarà il nostro esempio di riferimento per studiare i principi di progettazione di un processore Architettura Harward Modificata (Pipeline) Studieremo UN processore particolare, ma per astrarre concetti fondamentali della architettura degli elaboratori

6 Il nostro obiettivo finale Alla fine del corso saprete come funziona una versione semplificata del processore MIPS Dal libro [PH]

7 Il linguaggio dei computer

8 Linguaggio dei computer I computer «parlano» in binario: Spento, acceso (dei circuiti elettrici) ON, OFF 1, 0 bit = binary digit

9 Rappresentazione in binario Cosa possiamo rappresentare in binario? Numeri (interi, col segno, con la virgola) Parole (codificando le lettere) Istruzioni Programma «Informazione» Idea fondamentale su cui sono costruiti i calcolatori: programmi e dati rappresentati da numeri

10 Rappresentazione in binario Quali/ quanti interi posso rappresentare con una sequenza di n bit? n = 1 n = 2 n = 3 n = = = = = = 0 01 = 1 10 = 2 11 = 3 00 = 4 01 = 5 10 = 6 11 = 7 Osserva: Se con k bit posso rappresentare p sequenze distinte, con k+1 bit posso rappresentare 2p sequenze distinte 0000 = = = = = = 15

11 Rappresentazione con n bit Sarà fondamentale in varie scelte della nostra architettura Con n bit è possibile rappresentare tutti i 2 n interi compresi fra 0 e 2 n -1 Perché?

12 Prova Se con k bit posso rappresentare p sequenze distinte, con k+1 bit posso rappresentare 2p sequenze distinte 1 bit 2= 2 1 sequenze distinte 2 bit 4 = 2 2 sequenze distinte 3 bit 8 = 2 3 sequenze distinte 4 bit 16 = 2 4 sequenze distinte... k bit... 2 k sequenze distinte Si formalizza con una prova per induzione. Osservando che 2 2 k = 2 k+1

13 Rappresentazione in binario n = 1 n = 2 n = 3 n = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 15 Ma perché 101 in binario rappresenta 5 e 1101 = 13?

14 o notazione araba: Notazione decimale = Ogni cifra ha un peso diverso secondo la posizione che occupa: 7 centinaia 5 decine 2 unità E una notazione posizionale

15 Notazione binaria = = = = 13 Ogni cifra ha un peso diverso secondo la posizione che occupa E una notazione posizionale

16 Ambiguità Per distinguere le due rappresentazioni: (101) 2 = (5) 10 (1101) 2 = (13) 10 (1011) 2 = (11) 10

17 Da binario a decimale N = ( ) 2 N = N

18 Da decimale in binario N = (181) 10 Cerco la più grande potenza di 2 contenuta in 181: 181 = = = = = = = 4+1 = = = =1 2 1 =2 2 2 =4 2 3 =8 2 4 = = = = = = ( ) 2 Nota: esiste un unico modo di esprimere un intero come somma di potenze distinte di 2 Vedremo altri «algoritmi» per i passaggi da decimale in binario e viceversa

19 Notazione posizionale (in base b generica) La notazione posizionale è definita solo per 2 e 10? Potremmo definirla per 8? (1 0 1) 10 = (1 0 1) 2 = = (5) 10 (1 0 1) 8 = = ( 65 ) 10 ( ) 10 = ( ) 2 = = (13) 10 ( ) 8 = = ( 577 ) 10

20 Sequenze Come indicare una generica sequenza (o stringa) di lunghezza n? Come indicare una generica sequenza di lunghezza 8? a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 Dove a 7, a 6,, a 1, a 0 sono gli elementi della sequenza, in ordine; il relativo indice indica (appunto) la posizione all interno della sequenza. Gli indici sono i=0, 1,,6,7. Gli elementi sono a i. Esempio: a 7 =3, a 6 =5, a 5 =0, a 4 =8, a 3 =2, a 2 =8, a 1 =4, a 0 =7 Una sequenza di lunghezza n la indicheremo così: a n-1 a n-2 a 1 a 0

21 Notazione binaria per numeri naturali In base 2. I simboli ammessi sono 0,1. Una sequenza / stringa di 0 e 1, di lunghezza n con a i {0, 1} per i = 0, 1,, n-1 rappresenta l intero N: a n-1 a n-2 a 1 a 0 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 = = a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n a a In notazione compatta: N n 1 i 0 a i 2 i

22 Notazione posizionale (in base b generica) In base b. I simboli ammessi sono 0,1,, b-1. Una sequenza / stringa di 0, 1,, b-1, di lunghezza n a n-1 a n-2 a 1 a 0 con a i {0, 1,, b-1} per i = 0, 1,, n-1 rappresenta l intero N: N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) b = = a n-1 b n-1 + a n-2 b n a 1 b 1 + a 0 b 0 In notazione compatta: N n 1 i 0 a i i b

23 Esempi (234) 10 (234) (234) (101) 10 (101) (101)

24 Esercizio Da cosa sono caratterizzati i numeri pari in binario? (11010) 2 è pari? Dimostrare nel modo più formale, preciso e convincente la vostra affermazione.

25 Algoritmi di conversione binario decimale Da binario a decimale: moltiplico ogni cifra per l opportuna potenza di 2 e poi sommo Da decimale a binario: esprimo il numero come somma di potenze di 2, partendo dalla più grande potenza di 2 minore del numero Esistono altri «algoritmi» per convertire un numero dalla rappresentazione binaria alla decimale e viceversa. Bisogna conoscere più metodi di soluzione! Per scegliere il più adatto, veloce,. Mai accontentarsi!

26 Algoritmi di conversione Problema della conversione da binario a decimale Dati: n bit a n-1, a n-2,, a 1, a 0 Risultato: l intero N tale che N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 Algoritmo = procedimento di calcolo che risolve il problema con una sequenza finita di passi elementari Problema della conversione da decimale a binario Dati: un intero N Risultato: n bit a n-1, a n-2,, a 1, a 0 tali che N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2

27 Verso un algoritmo di conversione da b=10 b = 10 N = (3752) 10 n = 4 ( ) 10 = oppure lo possiamo ottenere così, leggendo la stringa da sinistra verso destra (immaginate di non sapere quante cifre saranno): = = = S 3 = 3 S 2 = 37 S 1 = 375 S 0 = 3752 = N Idea: = = = ( ) = = ( ( ) ) = = ( ( (3) ) )

28 b = 2 Verso un algoritmo di conversione da b=2 N = (1101) 2 n = 4 ( ) 2 = oppure lo possiamo ottenere così: = = = S 3 = 1 S 2 = 3 S 1 = 6 S 0 = 13 = N Idea: = = = ( ) = = ( ( ) ) = = ( ( (1) 2 + 1) ) 2 + 1

29 Verso un algoritmo di conversione da b=2 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 N = a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n a 1 2+ a 0 = (a n-1 2 n-2 + a n-2 2 n a a 1 ) 2 + a 0 = ( (a n-1 2 n-3 + a n-1 2 n a 2 ) 2 + a 1 ) 2 + a = (( (a n-1 2+ a n-2 ) a 2 ) 2 + a 1 )2 + a 0 S 0 = S a 0 S 1 = S a 1 S 2 = S a 2.. S n-2 = S n a n-2 = (( ( (a n-1 ) 2+ a n-2 ) a 2 ) 2 + a 1 )2 + a 0 S n-1 = a n-1

30 Algoritmo di conversione: binario in decimale MSD=cifra più significativa N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 N = (( ( ( a n-1 ) 2+ a n-2 ) a 2 ) 2 + a 1 )2 + a 0 LSD=cifra meno significativa N= S 0 = S a 0 S n-1 = a n-1 S 1 = S a 1 S 2 = S a 2.. S n-2 = S n a n-2 S n-1 = a n-1 Dal basso verso l alto: da a n-1 a a 0 ; da MSD a LSD S n-2 = a n-2 + 2S n-1 S n-3 = a n-3 + 2S n-2.. S i = a i + 2S i+1.. S 0 = a 0 +2S 1 S 0 =N

31 Esempio 1 S n-1 = a n-1 S n-2 = a n-2 +2S n-1 S n-3 = a n-3 +2S n-2.. S i = a i +2S i+1.. S 0 =N N = (a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) 2 n=8 ( ) 2 S 7 = a 7 = 1 S 6 = a 6 +2S 7 = = 2 S 5 = a 5 +2S 6 = = 5 S 4 = a 4 +2S 5 = = 11 S 3 = a 3 +2S 4 = = 22 S 2 = a 2 +2S 3 = = 45 S 1 = a 1 +2S 2 = = 90 S 0 = a 0 +2S 1 = = 181

32 Esempio 2 ( ) 2 n=8 S 7 = a 7 = 1 S 6 = a 6 +2S 7 = = 3 S 5 = a 5 +2S 6 = = 7 S 4 = a 4 +2S 5 = = 14 S 3 = a 3 +2S 4 = = 29 S 2 = a 2 +2S 3 = = 58 S 1 = a 1 +2S 2 = = 116 S 0 = a 0 +2S 1 = = 233

33 Esempio 3 ( ) 2 n=8 S 7 = a 7 = 1 S 6 = a 6 +2S 7 = = 3 S 5 = a 5 +2S 6 = = 7 S 4 = a 4 +2S 5 = = 15 S 3 = a 3 +2S 4 = = 31 S 2 = a 2 +2S 3 = = 63 S 1 = a 1 +2S 2 = = 127 S 0 = a 0 +2S 1 = = 255

34 Algoritmo di conversione: decimale in binario N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 Dato: N. Risultato: a n-1, a n-2,, a 1, a 0 con a i = 0 o 1 Procedura inversa: dall alto verso il basso da a 0 ad a n-1 ; da LSD a MSD N= S 0 = S 1 2 +a 0 a 0 ed S 1 sono rispettivamente il resto e il quoziente della divisione di N= S S 1 = S a 0 per 2. 1 S 2 = S a 2 S i = S i a i S n-2 = S n a n-2 S n-1 = a n-1. a i ed S i+1 sono rispettivamente il resto e il quoziente della divisione di S i per 2.. Fino ad ottenere un S i =0. Algoritmo delle divisioni successive

35 Esempio 1 (decimale in binario) N=152 S 0 = N = a 0 +2 S 1 S 1 = a S 2 S 2 = a S 3.. S i = a i + 2 S i+1.. S n-1 = a n-1 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 S 0 = a 0 +2S 1 = = 152 S 1 = a 1 +2S 2 = = 76 S 2 = a 2 +2S 3 = = 38 S 3 = a 3 +2S 4 = = 19 S 4 = a 4 +2S 5 = = 9 S 5 = a 5 +2S 6 = = 4 S 6 = a 6 +2S 7 = = 2 S 7 = a 7 +2S 8 = =1 N = ( ) : 2 = 76 con resto 0 76 : 2 = 38 con resto 0 38 : 2 = 19 con resto 0 19 : 2 = 9 con resto 1 9 : 2 = 4 con resto 1 4 : 2 = 2 con resto 0 2 : 2 = 1 con resto 0 1 : 2 = 0 con resto 1 STOP

36

37

38 Esercizi (continua) Quanti bit sono necessari per rappresentare 18? Quanti bit sono necessari per rappresentare un intero n?

39 Riepilogo Rappresentazione binaria con n bit Algoritmi di conversione bin->dec e dec->bin [P] parr. 1.1, 1.2, 1.3.1

40 Oggi pomeriggio ricevimento Domani San Matteo: università chiusa! (avete più tempo per studiare e pensare agli esercizi!)