maturità 2016

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1 maturità 6 Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientiico e Scientiico opzione scienze applicate Tema di matematica Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a quesiti del questionario Svolgimento a cura di Nicola De Rosa PROBLEMA Nella igura è rappresentato il graico Γ della unzione continua : [, + ) R, derivabile in ], + ), e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti. Figura È noto che Γ è tangente all asse in, che ed sono un punto di massimo e uno di minimo, che è un punto di lesso con tangente di equazione + =. Nel punto la retta tangente ha equazione + = e per il graico consiste in una semiretta passante per il punto. Si sa inoltre che l area della regione deitata dall arco, dall asse e dall asse vale, mentre l area della regione deitata dall arco e dall asse vale.. In base alle inormazioni disponibili, rappresenta indicativamente i graici delle unzioni y ' x F x x t Quali sono i valori di () e ()? Motiva la tua risposta.. Rappresenta, indicativamente, i graici delle seguenti unzioni: y ' x y y x speciicando l insieme di deinizione di ciascuna di esse.. Determina i valori medi di = ( ) e di = ( ) nell intervallo [,], il valore medio di = ( ) nell intervallo [,7] e il valore medio di = ( ) nell intervallo [9,]. 4. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al graico della unzione ( ) nei suoi punti di ascisse e, motivando le risposte. dt x'

2 maturità 6 SOLGIMENTO Punto La unzione y ' x ha le seguenti caratteristiche: - ' x x visto che x è tangente all asse delle ordinate in A(,); - ' ' 7 in quanto i punti B ed E sono massimo e minimo per x ; - è positiva negli intervalli (,) e 7, in quanto x è strettamente crescente in tali intervalli; - è negativa in (,7) in quanto x è strettamente decrescente in tale intervallo; - presenta un minimo in x in quanto x è strettamente decrescente nell intervallo (,7) ed il valore in corrsipondenza dell ascissa di minimo è - in quanto la tangente inlessionale ha coeiciente angolare -; - presenta un lesso in (,); - in x assume il valore ; - assume valore costante pari a per x in quanto la retta FG ha equazione y x 6;. Quindi ', ' Il suo graico potrebbe essere di questo tipo x La unzione Fx t dt ha le seguenti caratteristiche: - F t dt

3 maturità 6 - F t dt - F t dt t dt t dt - è positiva e crescente in [,] ed assume valore massimo pari a per x ; - è positiva e decrescente in [,) ed assume valore minimo per x ; - è positiva e crescente per x. Il suo graico potrebbe essere di questo tipo Punto Il graico di y ' x si ricava direttamente dal graico di y ' x ribaltando verso le ordinate positive le parti di graico al di sotto dell asse delle ascisse. Il dominio di y ' x è quello di y ' x ovvero,

4 maturità 6 Il graico di y x' si ricava in due passi: - negli intervalli in cui x si ha y x' ' x graico di y ' x; - negli intervalli in cui x si ha y x' ' x ottiene dal graico di y ' x pertanto il graico di coincide con il pertanto il graico di y x' si attraverso una simmetria rispetto all asse delle ordinate ovvero ribaltando verso le ordinate positive\negative le parti di graico di sotto\al di sopra dell asse delle ordinate; y ' x al di Anche in questo caso il dominio di y x' sarà, La unzione x,,,. In particolare: y non è deinita nei punti ad ascissa x, x pertanto il dominio sarà - x, x sono due asintoti verticali: o o x x x x ; x ; x x x - y è asintoto orizzontale destro in quanto - in,, - in, la unzione è strettamente crescente; x la unzione è strettamente crescente; x ;

5 maturità 6 -, è un punto di minimo relativo; 4 4-7, è punto di massimo relativo Punto x y in [,] è dato da, M, x dx x dx M M, x y in [,] è dato da 4, M, x dx x dx M M, x y ' in [,7] è dato da 7 ' x 6 dx M,7 9 4

6 maturità 6 La unzione x y F per Sapendo che 6. y F x per x è un arco di parabola di x ha la seguente orma analitica: x 6dx x x C F si ricava 74 equazione x x 6 x 74 F. x C, quindi y F in [9,] è dato da x M 9, x 6x 74dx x 74x Punto 4 La retta tangente al graico di tangente ha equazione y x. y Fx in (,) è y F' x ; poiché ' F tale La retta tangente al graico di y Fx x y F in (,) è y in quanto (,) è punto di minimo per