3. Determinare il numero di mesi m > 0 tale che i montanti generati dai due impieghi coincidano. M = ) =

Transcript

1 Esercizi di matematica finanziaria 1 Leggi finanziarie in una variabile Esercizio 1.1. Un soggetto può impiegare C o a interessi semplici con tasso annuo i oppure a interessi semplici anticipati con tasso annuo di sconto d. Si ponga C = 1000, i = 10%, d = 9%. La durata dell impiego sia m = 9 mesi. 1. Calcolare il montante M dopo m mesi col primo impiego. 2. Calcolare il montante M dopo m mesi col secondo impiego. 3. Determinare il numero di mesi m > 0 tale che i montanti generati dai due impieghi coincidano. M = ) = M = /12 = Il numero dei mesi m risolve l equazione in m m 12 = m/12 onde: m = Esercizio 1.2. Si desiderano confrontare due impieghi in capitalizzazione composta, il primo di C 1 = 1000 euro ed il secondo di C 2 = 1100 euro, per t anni, ai tassi istantanei rispettivi δ 1 = 12% e δ 2 = 11%. 1. Calcolare i montanti M 1, M 2 dei due impieghi dopo 3 anni e 6 mesi. 2. Individuare la scadenza t in corrispondenza alla quale i due montanti coincidono. 3. Calcolare i tassi d interesse i 1, i 2 che equivalgono a δ 1, δ 2. 1

2 e: M 1 = 1000 e = 1522 M 2 = 1100 e = La scadenza t risolve l equazione in t: C 1 e δ 1t = C 2 e δ 2t onde: ossia: t = ln t = ln C1 C 2 ) /δ 2 δ 1 ) ) 1000 / ) = I due tassi annui d interesse sono: i 1 = e = 12.75% e i 2 = e = %. Esercizio 1.3. Una Banca sconta a un cliente un effetto con valore nominale S = euro a scadenza tra g = 75 giorni. Il tasso di sconto usato è d = 14% e il regime quello commerciale. 1. Calcolare il netto ricavo A riconosciuto al cliente. 2. Determinare a quale tasso d interesse semplice s, attraverso tale operazione, la Banca impiega la sommaa. 3. Determinare a quale tasso d interesse istantaneo δ, attraverso tale operazione, la Banca impiega la somma A. A = S 1 d g ) = ) = Dall equazione si trae: s = A 1 + s 75 ) = S /365 = % 2

3 3. Dall equazione: si trae: δ = Ae 75δ/365 = S ln = % Esercizio 1.4. Un impiego a interessi composti ha la durata di 5 anni. Nei primi due anni il saggio d interesse è i, nei secondi tre i. 1. Calcolare il montante M dell impiego di un euro in capo al quinquennio. 2. Calcolare quale tasso annuo d interesse i avrebbe condotto allo stesso risultato se applicato per tutti e cinque gli anni. 3. Posto: δ = ln1 + i ), δ = ln1 + i ), calcolare quale intensità istantanea d interesse δ avrebbe prodotto lo stesso risultato se applicata sul quinquennio. 2. Dall equazione: si ricava: 3. Dall equazione: si ricava: M = 1 + i ) i ) i) 5 = 1 + i ) i ) 3 i = 1 + i ) i ) 3 1 e 5δ = e 2δ e 3δ δ = 2δ + 3δ 5 Esercizio 1.5. Si consideri la legge finanziaria a interessi semplici: ft) = 1 + it)t con tasso annuo funzione lineare della durata: it) = t 1. Si calcoli il montante M di C = 1000 euro impiegato per 5 anni. 2. Si calcolino ft) e l intensità istantanea d interesse ρt). 3

4 3. Si calcoli il fattore di montante di proseguimento F da x = 5 a y = 7. e: 3. Si ha: M = ) = 1500 ft) = t t 2 ρt) = t t t 2 F 5, 7) = = Esercizio 1.6. Un tesoriere d impresa può investire C = 1000 per 3 mesi a interessi semplici anticipati. Il tasso annuo di sconto è d = 11%. 1. Calcolare il montante M dell impiego. 2. Determinare quale tasso d interesse semplice i produrrebbe lo stesso risultato. 3. Determinare quale intensità istantanea d interesse δ produrrebbe lo stesso risultato. M = /11 = Il tasso d interesse semplice i che produrrebbe lo stesso risultato risolve l equazione: i 3/12) = da cui: i = 11.32% 3. L intensità istantanea d interesse δ che produrrebbe lo stesso risultato risolve l equazione: 1000e 3δ/12 = da cui: δ = % 4

5 Esercizio 1.7. Si consideri l impiego della somma C su un arco di tempo di 5 anni. Durante i primi tre anni l investimento è in capitalizzazione composta con tasso annuo d interesse i 1. Negli ultimi due anni il tasso annuo d interesse composto è i Determinare il montante M in funzione di C, i 1, i Calcolare quale tasso annuo d interesse composto i, vigente nel quinquennio, genererebbe lo stesso risultato. 3. Si dicano δ 1 e δ 2 le intensità istantanee d interesse equivalenti, rispettivamente a i 1 e i 2. Si dica δ l intensità istantanea d interesse equivalente al tasso i di cui al quesito precedente. Si dica in quale relazione sta δ con δ 1 e δ 2. M = C1 + i 1 ) i 2 ) 2 2. Il tasso i richiesto soddisfa l equazione: C1 + i 1 ) i 2 ) 2 = C1 + i) 5 da cui: i = i 1 ) i 2 ) Dall equazione: si ottiene la relazione richiesta: Ce 3δ 1+2δ 2 = Ce 5δ δ = 3δ 1 + 2δ 2 5 Esercizio 1.8. Una banca fornisce mezzi finanziari a un impresa tramite lo sconto d una cambiale finanziaria. Il valore nominale della cambiale è N =, con scadenza g = 90 giorni. Come d uso, l ammontare A erogato dalla banca è ottenuto come valore attuale a sconto razionale di N. Il tasso d interesse usato dalla banca è i = 10%. 1. Determinare A. 2. Determinare A, la variazione d ammontare erogato che seguirebbe alla riduzione di i d un punto percentuale. 3. Quale tasso di sconto commerciale d avrebbe prodotto l ammontare erogato A? 5

6 A = A = /365 = = / Il tasso d risolve l equazione: = 1 90d/365) onde: d = % Esercizio 1.9. I valori di una quota di un fondo d investimento a varie date sono: Data Valore a Calcolare il rendimento annuo composto r per chi investe da 0 a Determinare per quale valore di a il rendimento annuo composto per chi investe da 0 a 1 è ancora r. r = = % a = r) = Esercizio Una banca ha finanziato un azienda mediante un apertura di credito in c/c. Il debito iniziale dell azienda è S =. La banca usa il tasso annuo nominale j = 10% per calcolare gli interessi trimestrali. Durante l anno non vi sono movimenti sul conto. 1. Qual è il debito D dell azienda a fine anno, se la banca capitalizza gli interessi trimestralmente? 6

7 2. Quale sarebbe il debito D dell azienda a fine anno, se la banca capitalizzasse gli interessi non trimestralmente ma annualmente e al tasso j? 3. In ipotesi di capitalizzazione trimestrale, qual è il tasso annuo effettivo x del finanziamento? D = ) 4 = D = ) = Si ha: x = = % 7