Diagrammi di Influenza (Influence Diagrams: ID)

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1 Digrmmi di Influnz (Influnc Digrms: ID) Linguggio pr l rpprsntzion grfic di prolmi dcisionli Crttristich vntggi prmttono un rpprsntzion dll struttur gnrl dl prolm, st su un pproccio visul prmttono di formlizzr l struttur di dti dl prolm, il loro formto l loro rlzioni forniscono un intrprtzion visul di lcuni conctti s (cquisizion di informzion, mnipolzion di proilità,...) sono un nturl intrfcci pr sistmi intrttivi: Svntggi rccolt gstion di dti mnipolzion di proilità (Bys) soluzion di prolmi dcisionli nlisi (vpi, vsi, sottoprolmi, scnri,...) rigidità: rpprsntno solo prolmi dcisionli totlmnt simmtrici (corrispondnti d lri dcisionli complti) ridondnz: costringono volt rplicr dti scrs trsprnz chirzz di lcuni sptti torici prtici mncnz di uno stndrd comun tr i sistmi softwr 1

2 ID: grfi orintti ciclici Nodi com ngli lri dcisionli, si distinguono nodi vnto (circolri) nodi dcision (qudrti) si ggiungono i nodi romo pr rpprsntr i pyoff (non stndrd, solo in lcuni softwr) Archi orintti il significto dipnd di nodi strmi nch l ssnz di un rco può vr un significto non sono prmssi cicli orintti Nodi pyoff t d i pyoff di t dipndono si dll vnto ch dll dcision d in gnrl, s nl nodo pyoff ntrno q rchi, i pyoff sono contnuti in un tll di vlori (mtric) q-dimnsionl possono sistr più nodi pyoff non ci sono rchi uscnti d nodi pyoff 2

3 Archi vnto-vnto sist un rlzion sttistic tr gli vnti d (qusti vnti non sono proilisticmnt indipndnti) ni dti dl prolm, tutt l proilità rltiv d sono condiziont risptto d Archi dcision-vnto d l proilità rltiv d dipndono dll sclt d non si può prlr di dipndnz sttistic, prché d non è un vnto ltorio Archi dcision-dcision f d l dcision f vin prs prim dll dcision d mmori : l sclt ftt in f è not qundo si dcid in d Archi vnto-dcision d l sito dll vnto è noto qundo vin prs l dcision d s (,d) mnc, d vin prs snz conoscr l sito di 3

4 Assunzioni fondmntli il dcisor è unico il dcisor prnd l dcisioni in squnz il dcisor h mmori prftt dll dcisioni prs dgli siti pprsi nl pssto Vdimo il significto dll ssunzioni nl sgunt ID d f g h c rchi dcision-dcision: l ordin in cui sono prs l dcisioni è d-f-g-h, occorrono tutti gli rchi dcision-dcision mostrti rchi vnto-dcision: dti gli rchi vnto-dcision continui, sono richisti qulli trttggiti Not: in prtic, molti softwr sono più tollrnti: è sufficint l prsnz di un cmmino orintto contnnt tutti i nodi dcision: nll smpio, gli rchi (d, g), (d, h) (f, h) sono suprflui si ssum implicitmnt l mmori dgli siti pprsi: gli rchi trttggiti sono suprflui 4

5 Struttur dll informzioni proilistich Si S l insim di prdcssori dirtti dl nodo d f c S l proilità rltiv d sono condiziont risptto tutto l insim S, cioè hnno l form ( S) s S = q, ( S) rpprsnt un tll q-dimnsionl di distriuzioni (vttori) di proilità sugli siti di imo l proilità non condiziont p() s solo s q = 0 Esmpio (roultt): = colonn, = color, = prità ( ) (, ) ( ) rdcssori dirtti di : S = {,}; S = q = 2 Tll 2-dimnsionl dll proilità ( S) = (, ): guch cntr droit roug noir roug noir roug noir pir 1/3 2/3 1/2 1/2 1/2 1/2 impir 2/3 1/3 1/2 1/2 1/2 1/2 5

6 Indipndnz proilistic S l ID non contin l rco (,) né l rco (, ) llor d sono considrti vnti indipndnti, ovvro si ssum ch: 1. ( ) = () ( ) = ( ) 2. (,S) = ( S) (,S ) = ( S ), dov S S sono i prdcssori dirtti di d, rispttivmnt Ossrvzion: s S non è vuoto, l condizion 2. è in gnrl più rstrittiv dll condizion 1. ossimo vrificr qust ossrvzion sull tvol d roultt, utilizzndo ( colonn ) nl ruolo di, ponndo S = {}: imo ( ) = () ( ) = (), prchè ogni colonn contin si numri pri si dispri non vl (,) = ( ), ovvro (,S) = ( S), dl momnto ch l tr sottomtrici corrispondnti ll colonn guch, cntr droit non sono uguli! rltro, l proilità ( ) sono l sgunti: roug noir pir 4/9 5/9 impir 5/9 4/9 Dunqu, s nll ID si omttss l rco (, ), si fr un ssunzion di indipndnz non corrtt, in ltr prol, si vr un sostnzil prdit di informzion 6

7 Mnipolzioni Grfich Non modificno l ntur dl prolm dcisionl rpprsntto Aggiunt di un rco dl nodo (vnto o dcision) l nodo vnto si spnd ltlldiproilitàdi: d( S)(,S) pr costruir (,S) si rplic ( S) pr ogni vlor di (sito o sclt) sfruttndo l ssunzion (, S) = ( S) si prd pr smpr l informzion sull indipndnz di d Invrsion di un rco dl nodo vnto l nodo vnto corrispond ll ppliczion dll mtodologi Bysin ( ) ( ) ( ) ( ) Rstrizion: si può invrtir l rco (,) solo s d hnno gli stssi prdcssori dirtti, o più formlmnt: i prdcssori dirtti di d sono rispttivmnt S S {}; qusto prché invrtir (,)richidltlldiproilità(,s)( S),ncssri pr pplicr l mtodologi Bysin gnrlizzt S d non hnno gli stssi prdcssori dirtti, si può procdr ggiungndo rchi (ntrnti in /o in ) oppur invrtndo prvntivmnt ltri rchi 7

8 Mtodologi Bysin gnrlizzt Considrimo l rco (, ), supponimo not l tll di proilità ( S) (,S) Invrtir l rco (, ), ottnndo l rco (, ), richid di clcolr l tll di proilità ( S) (,S) Indichimo con S = s l ssgnzion di un cominzion di vlori i nodi in S (un sclt pr ogni nodo dcision, un sito pr ogni nodo vnto) Dt l cominzion di vlori s procdimo com sgu: 1. dll tll ( S) (, S) ottnimo, rispttivmnt: un distriuzion di proilità p su : p = ( S = s) un mtric Q di proilità condizionli di dto : Q = (,S = s) 2. d p Q ottnimo, con l mtodologi not: un distriuzion di proilità su : () un mtric di proilità condizionli di dto : ( ) 3. ponimo ( S = s) = () (,S = s) = ( ) Itrndo il procdimnto pr ogni possiil cominzion di vlori s ottnimo l tll di proilità richist (,S) ( S) Vl l pn di notr ch i sistmi softwr pr l gstion dgli ID sguono in mnir utomtic tutto il lvoro ncssrio (riptitivo potnzilmnt psnt) 8

9 Esmpio continuto (roultt) (vdi ID tll pgin 5) Applichimo l mtodologi Bysin gnrlizzt pr invrtir l rco (, ) Aimo S = {}, l sgunti proilità ( ) = ( S): guch cntr droit roug 1/2 1/3 2/3 noir 1/2 2/3 1/3 r invrtir l rco (, ) considrimo sprtmnt i tr possiili siti di (guch, cntr droit) Dunqu pplichimo Bys tr distint coppi (p, Q), ottnut dividndo l tll dll ( ) dll (,) guch cntr droit roug noir roug noir roug noir 1/2 1/2 1/3 2/3 2/3 1/3 pir 1/3 2/3 1/2 1/2 1/2 1/2 impir 2/3 1/3 1/2 1/2 1/2 1/2 Ottnimo tr mtrici di proilità condizionli invrs ( ): guch cntr droit pir impir pir impir pir impir roug 1/3 2/3 1/3 1/3 2/3 2/3 noir 2/3 1/3 2/3 2/3 1/3 1/3 ch possimo ttccr pr ottnr l proilità (, ) Ottnimo nch tr distriuzioni di proilità () (qui omss, prché i vlori sono tutti 1/2) d cui ottnimo l proilità ( ) 9

10 Esmpio di mnipolzioni grfich: invrsion ggiunt di rchi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A prtir dll ID sinistr, è possiil, nll ordin: invrtir (,) (i nodi non hnno ltri rchi ntrnti) invrtir (,) (i nodi d non hnno ltri rchi ntrnti) Non è possiil invc invrtir suito (, ), poiché sist l rco (,)mnonl rco(,); inftti, conlproilità( )( ) non è possiil pplicr l mtodologi Bysin gnrlizzt Si può prò ggiungr l rco(, ), ottnndo l proilità (, ) (drivt rplicndo l ( ) pr ogni sito di ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) Conlproilità(,)( )èpossiilpplicrlmtodologi Bysin, dunqu invrtir l rco (, ) Nll ID ottnuto il nodo è prdcssor dirtto di m non di : s oltr d (, ) volssimo invrtir nch l rco (, ), dovrmmo invrtir prvntivmnt (, ) 10

11 Esmpio di mnipolzioni grfich (continu) Invrsion di (, ) (, ), nll ordin: ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) ( ) Ossrvzioni imo visto du divrs squnz di mnipolzioni grfich ch, dllo stsso ID inizil, conducono du divrsi ID: ID 1 : contnnt gli rchi (,) (,) ID 2 : contnnt gli rchi di ID 1 in più l rco (,) possimoggiungrid 1 l rco(,),prdndopròinqusto modo l informzion sull indipndnz tr non possimo liminr d ID 2 l rco (,): l liminzion di un rco non è un mnipolzion grfic! In conclusion, l mnipolzioni grfich mntngono l informzion prsnt nll ID originl, m hnno du vidnti limiti: non sono rvrsiili sono divrgnti, cioè possono portr divrsi risultti vlidi (soprttutto in prsnz di proilità condizionli null) Not: è molto istruttivo vrificr i risultti dll smpio ppn visto usndo l tvol d roultt: pr qusto scopo, si limini dll ID di pgin 5 l rco (,), usndo l tll ( ) di pgin 6 11

12 ID risolviili : Dcision-Tr Digrms (DTD) Un ID è un DTD s soddisf l sgunt proprità: s sist un cmmino orintto dl nodo vnto l nodo dcision d llor sist l rco (, d) I nodi di un DTD possono ssr ordinti in modo ch: gli rchi vnno in un sol dirzion s l vnto prcd l dcision d, sist l rco (,d) L ordinmnto non è ncssrimnt unico L ordinmnto di nodi di un DTD individu i livlli di un lro dcisionl (simmtrico complto) Un prolm dcisionl sprsso con un DTD può ssr risolto in mnir utomtic drivndo d sso un lro dcisionl Notr ch: ogni ID può ssr trsformto in un DTD con opportun squnz di mnipolzioni grfich l trsformzion d ID DTD rifltt (in sostnz) l tcnich pr il trttmnto dll informzion cmpionri Not: molti softwr sguono implicitmnt l trsformzion d ID DTD, dunqu non richidono mnipolzioni splicit 12

13 Esmpio (informzion cmpionri) D: sclt dll ltrntiv; T: sclt dl tst N: stto di ntur; E: sito dl tst T N E D T N E D T N E D T E D N Il primo ID non è un DTD: l rco (N,D) mnc prché lo stto di ntur non è noto l momnto dll dcision r liminr il cmmino d N D occorr ggiungr (T,N) pr potr poi invrtir (N, E) Si ottin un DTD, il cui ordinmnto è unico: nl rltivo lro dcisionl, l proilità di N dipndono dll sito dl tst 13

14 Acquisizion di informzion cmpionri Nll smpio prcdnt, l rco (E, D) implic ch l sito dl tst è noto l momnto dll dcision D Domnd: Com si rpprsnt l sclt di non sguir il tst, ovvro di non cquisir l informzion cmpionri? Rispost: qusto vvin, in mnir piuttosto criptic, ttrvrso l tll di proilità (E N,T) ssocit l nodo E Il principio di fondo è il sgunt: non cquisir informzion cmpionri quivl d cquisir informzion cmpionri sttisticmnt irrilvnt L informzion cmpionri è irrilvnt s l proilità dllo stto di ntur risultno sttisticmnt indipndnti dll sito dl tst: ciò signific ch l mtodologi Bysin rstituisc l proilità di prtnz (N) pr qulunqu sito E i dl tst Dunqusidvonodfinirl(E N,T)inmodoch,nll(N E,T) d ss drivt, risulti pr ogni sito E i : (N E = E i,t = T 0 ) = (N), dov T 0 indic l sclt di non sguir il tst Qusto si può ottnr molto fcilmnt: st ch nll tll (E N,T) tutt l colonn corrispondnti T = T 0 sino uguli vlori positivi Notr ch in qusto modo, pr T = T 0, l proilità ssocit gli siti dl tst E risultno indipndnti dllo stto di ntur N 14

15 Esmpio (roultt) N (stto di ntur): pir o impir E (sito dl tst): noir o roug T: T 0 s non si sgu il tst, T 1 s si sgu il tst Dto un qulunu α, 0 < α < 1, dfinimo (E N,T) com: T 1 T 0 pir impir pir impir roug 4/9 5/9 α α noir 5/9 4/9 1 α 1 α Con l ggiunt dll rco (T,N), si ottin l tll (N T) rplicndo l (N): T 1 T 0 pir 1/2 1/2 impir 1/2 1/2 Invrtndo l rco (N,E), ottnimo l (N E,T): T 1 T 0 roug noir roug noir pir 4/9 5/9 1/2 1/2 impir 5/9 4/9 1/2 1/2 Si h (N E = E i,t = T 0 ) = (N) pr E i {roug,noir}, dunqu con l dcision T 0 l sito E i è sttisticmnt irrilvnt 15

16 Esmpio (roultt): pssi intrmdi dl clcolo dll (N E,T) Trttimo sprtmnt l du coppi (p,q) pr T 1 T 0 T 1 T 0 pir impir pir impir 1/2 1/2 1/2 1/2 roug 4/9 5/9 α α noir 5/9 4/9 1 α 1 α Al primo psso clcolimo l proilità congiunt: T 1 T 0 pir impir pir impir roug 4/18 5/18 α/2 α/2 noir 5/18 4/18 (1 α)/2 (1 α)/2 Al scondo psso ottnimo l (E) sommndo pr rig: T 1 T 0 roug 9/18 α noir 9/18 (1 α) Notr ch pr T 1 ottnimo l proilità corrtt, pr T 0 i vlori ritrri (dipndnti d α) insriti nll (E N,T) Al trzo psso clcolimo l (N E) dividndo pr rig; trsponndo ttccndo qust mtrici ottnimo l (N E,T) T 1 T 0 pir impir pir impir roug 4/9 = 4/18 9/18 5/9 = 5/18 9/18 1/2 = α/2 α 1/2 = α/2 α noir 5/9 = 5/18 9/18 4/9 = 4/18 9/18 1/2 = (1 α)/2 (1 α) 16 1/2 = (1 α)/2 (1 α)

17 Clcolo dl vlor dll informzion L cquisizion di informzion si sprim molto fcilmnt in un ID (molto più fcilmnt risptto gli lri dcisionli!) N E D 1. N E D 2. N E D 3. N E D I tr csi mostrti corrispondono ll cquisizion di: 1. sito dl tst : E (notr ch l ID ottnuto non è un DTD) 2. stto di ntur : N 3. informzion prftt : N E Attnzion: non si trtt di mnipolzioni grfich, m di nuovi ID, corrispondnti nuovi prolmi dcisionli L soluzion di qusti nuovi ID prmtt di clcolr il pyoff ttso s l informzion è disponiil (l nlogo di S ) quindi il vlor di tl informzion 17

18 Esmpio: tst rmunrtivo Il tst (T) h un costo (C), s vin sguito comport un ricvo (R) dipndnt dll sito (E) C T R E N D C T R E N D Nl scondo ID, l sito dl tst è noto prim di prndr l dcisioni: il tst vrrà sguito s solo s risult convnint (cioè, il ricvo corrispondnt ll sito noto gugli o supr il costo) Notr ch, nl scondo ID: l proilità di E non sono condiziont risptto T: non imo l (E N,T), quindi non possimo cquisir informzion irrilvnt : non possimo non conoscr l sito dl tst! si può invrtir l rco (N,E) snz ggiungr l rco (T,N) l unico ordinmnto possiil pr il DTD risultnt è: E T D N 18