Calcolo di edificio con struttura prefabbricata situato in zona sismica di I categoria.

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Ippolito Salvadori
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1 Politecnico di Torino Calcolo di edificio con struttura prefabbricata situato in zona sismica di I categoria. II parte Pag. 1

2 Pag. 2

3 Peso tegolo g T = 7,30 kn/m Peso trave laterale g BL = 5,85 kn/m Peso trave centrale g BC = 7,10 kn/m Peso finiture g F = 0,20 kn/m² Peso neve qs = 1,28 kn/m² Calcoli esemplificativi telaio B Peso totale tegoli n*l T *g T = 22*17,80*7,30 = 2858,68 kn Peso totale travi L t *g BC = 101,60*7,10 = 721,36 kn Peso finiture L t *l T *g F = 101,6*17,80*0,20 = 445,50 kn Peso complessivo G = 4025,54 kn Peso neve L t *l T * qs = 101,5*17,55*1,28 = 2257,32 kn Pag. 3

4 W B = G B + 0,2Q B = 4025,54+0,2*2257,32 = kn Pag. 4

5 1 equazioni di equilibrio alla traslazione e di congruenza, ricordando che: β = 0,80 ξ = x/d δ = d /d ε s = ε su (x-d )/(d-x) ε s * = ε su (h/2-x)/(d-x) per sezione rettangolare con x distanza dell asse neutro dal bordo superiore compresso e d distanza dal bordo compresso del baricentro dei ferri tesi inferiori con d distanza dal bordo compresso del baricentro dei ferri tesi compressi superiori prefissando la deformazione massima del cls o dell acciaio. Pag. 5

6 1 Di seguito sono esplicitati in termini adimensionali le grandezze utilizzate in figura: b = 500 mm; h = 500 mm; Φ = 22 mm; c = 25 mm; f sd = 373,9 N/mm² f cd = 30 N/mm² ε yd = f sd /E s = 373,9/ = 1,82% 0 ε u = 10 % 0 ε = ε u / ε yd = 10/1,82 = 5,4826 d = c + Φ/2 = 25+22/2 = 36 mm d = h d = = 464 mm δ = d /d = 36/464 = 0,0776 ω s = A s f sd /(bdf cd ) = 1140*373,9/(500*464*30) = 0,0612 ω s = A s f sd /(bdf cd ) = 1140*373,9/(500*464*30) = 0,0612 ω * s = A s * f sd /(bdf cd ) = 760*373,9/(500*464*30) = 0,0408 e quindi risolvendo l equazione di secondo grado in ξ, ottenuta sostituendo i valori ridotti nell equazione di equilibrio della pagina precedente posso definire la posizione dell asse di separazione. Pag. 6

7 1 Nota la posizione dell asse neutro è possibile ottenere il valore del momento resistente di calcolo, facendo equilibrio alla rotazione intorno asse mediano. Pag. 7

8 riportando, come esempio, il calcolo per esteso del pilastro B1 υ B1 = N ad,b1 /(b*d*f cd ) = /(500*464*30) = 0,043 ξ = x/d = 0,1475 x = ξd = 0,1475*464 = 68,4 mm ε s = ε su (ξ-δ)/(1- ξ) = 10(0,1475-0,0776)/(1-0,1475) = 0,820%o σ s = ε s E s = 0,820*10-3 *205*10 9 = 168,08 N/mm² ε s = ε su [(h/(2*d)- ξ)/(1- ξ)] = 10*[(500/(464*2)-0,1475)/(1-0,1475)] = 4,590%o σ s = f yd = 373,9 N/mm² M rd = βbxf cd (h/2-βx/2)+a s σ s ' (h/2-d )+A s f sd (d-h/2) = = 0,8*500*68,4*30(500/2-0,8*68,4/2)+ 1140*168,08(500/2-36)+1140*373,9( /2)= = 315,045 kn/m Pag. 8

9 Per la corretta determinazione del periodo proprio di vibrazione T = 2π m/k, definito in campo elastico. È importante la valutazione della rigidezza elastica alla traslazione della struttura, analizzata nella stato di effettivo comportamento di sezione fessurata tenendo conto nel modo più corretto degli effetti Il diagramma momento-curvature, specifico per ogni valore di N sd, viene approssimato da una bilatera con momento massimo di snervamento M y = 0,75 M rd La rigidezza alla traslazione è influenzata dalla fessurazione e dalla presenza di fenomeni del secondo ordine. Una valutazione approssimata della rigidezza si ottiene dimezzando il valore della rigidezza degli elementi considerati non fessurati. Pag. 9

10 É la classica trattazione per le strutture pressoinflesse per cui scrivendo l espressione dell equilibrio alla rotazione intorno al punto di applicazione della forza esterna si ottiene l equazione di terzo grado la cui soluzione permette l individuazione dell assse neutro, assumendo n=15. Pag. 10

11 Ottenuta la posizione dell asse neutro utilizzando l equazione di equilibrio alla traslazione si ottiene il valore della tensione del calcestruzzo e da questa gli altri valori tensionali. Il valore tensionale nell acciaio ci permette di risalire ai valori della curvatura e quindi della rigidezza rotazionale della sezione. Pag. 11

12 Di seguito è sviluppato un calcolo esemplificativo con n=15. M y = 0,75 M Rd = 0,75*315,045 = 236,284 knm N ad = 302,375 kn e = M y /N ad = 236,284/302,375 = 0,7814 m x = 171,9 mm σ c = 13,58 N/mm² e = 781,4mm σ s = E s *ε s =n σ c (x-d )/x =5,75*13,58(171,9-36)/171,9 = 161,04 N/mm² σ *s = E s *ε *s =n σ c (h/2-x )/x =5,75*13,58(500/2-171,9)/171,9 = 92,55 N/mm² σ s = E s *ε s =n σ c (d-x)/x =5,75*13,58( ,9)/171,9 = 346,2 N/mm² ε y = σ s / E s = 346,2/205*10-3 =1,689*10-3 χ y = ε y /(d-x) = 1,689*10-3 /(0,464-0,1719) = 5,782*10-3 m -1 k φ = M y /χ y = 236,284/5,782*10-3 =40867 kn/m² Pag. 12

13 Si ricorda la definizione di rigidezza come rapporto fra la forza e lo spostamento da essa provocato k = F/x Per il pilastro la rigidezza totale k δ è costituta dai due termini competente alla curvatura della sezione k l e all effetto del secondo ordine k g, i due valori vengono così ricavati k φ = M y /χ φ M y =k φ χ φ k l = 3EJ/h³*k φ χ φ / M y = 3k φ /h³ La forza fittizia conseguente al fenomeno del secondo ordine è valutata come F 2 = Nd/h, quindi k g = N ad* d/(h*d) = N ad /h pertanto esemplificando un calcolo numerico: k l = 3k φ /h³ = 3*40867,973/5,38³ = 787,331 kn/m k g = N ad /h = -302,375/5,38 = -56,204 kn/m L Ordinanaza consente la valutazione approssimata della rigidezza con un valore pari a quella offerta dalla metà del valore competente alla sezione interamente reagente (non fessurata); questo valore per lo stesso pilastro è: k 1/2 = 3EJ/2h³ = 3*35685*10 3 *0,5 4 /[2*(12*5,38 3 )] = 1790 kn/m Pag. 13

14 Nel Modo 2 il 50% circa della massa della copertura rimane fermo, non partecipa alla oscillazione Pag. 14

15 Dove le rigidezze sono quelle complessive per i telai considerati; quindi, al solito, come esempio numerico si ha per il telaio B: n B1 = 2 pilastri B1 componenti il telaio n B6 = 9 pilastri B6 componenti il telaio k B = n B1* k δ,b6 + n B1* k δ,b6 = 2*731,128 +9*748,295= kn/m per cui m B = W B /g = /9,81 = 456,38 kns²/m T 1 = 2π (m/k) = 2π (456,38/8196,82) = 1,48 s Pag. 15

Norma e quindi β 0d = β 0 /q = 2,5/3,5 = 0,714 η = 1 effetto di smorzamento β d = S*η* β 0d

16 A questo punto é possibile calcolare le forze sismiche sui telai con riferimento allo spettro di risposta di progetto Dove, assumendo q = 3,5 fattore di struttura definito dalla Norma e quindi β 0d = β 0 /q = 2,5/3,5 = 0,714 η = 1 effetto di smorzamento β d = S*η* β 0d * Tc/T =1,25*1*0,714*0,5/1,48 = 0,3011 F B = α g * β d *W = 0,35*0,3011* = 471,743 kn Pag. 16

17 Importanza della valutazione di T 1 Da T 1 discende il valore della forza sismica quindi la sua corretta valutazione è determinante. La forza sismica calcolata per il periodo valutato con precisione per la sezione fessurata vale F B = 471,743kN La forza sismica valutata con la rigidezza calcolata con la rigidezza pari alla metà di quella della sezione interamente reagente k 1/2 = 1790 kn/m porta a un periodo proprio di: T 1,1/2 = 2π (m/k) = 2π (456,38/(11*1790) = 0,96 s E quindi la relativa forza sismica: β 0d = β 0 /q = 2,5/3,5 = 0,714 η = 1 effetto di smorzamento β d = S*η* β 0d * Tc/T =1,25*1*0,714*0,5/0,96 = 0,4648 F B,1/2 = α g * β d *W = 0,35*0,4648* = 728,4 kn L incremento di sollecitazione è del S =[(F B,1/2 / F B )-1]/100 = [(728,4/471,7)-1]/100 = 54,6% Pag. 17

F x F y La ripartizione delle forze avviene in modo proporzionale alle rigidezze, con riferimento al pilastro B6 F B6,x,ad = k δ,i /k x = 748,29/8196,820*471,743 =43,065 kn (relativo al telaio B) F

18 F x F y La ripartizione delle forze avviene in modo proporzionale alle rigidezze, con riferimento al pilastro B6 F B6,x,ad = k δ,i /k x = 748,29/8196,820*471,743 =43,065 kn (relativo al telaio B) F B6,y,ad = k δ,i /k y = 748,29/2343,311*110,581 =35,312 kn (relativo al telaio 6) M B6,x,ad = F B6,x,ad *h = 43,065*5,38 =231,691 knm (relativo al telaio B M B6,y,ad = F B6i,y,ad * h = 35,312*5,38 =189,977 knm (relativo al telaio 6) B6 X Y B6 Pag. 18

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