Fisica Generale - Modulo Fisica II Esercitazione 5 Ingegneria Gestionale-Informatica CARICA E SCARICA DEL CONDENSATORE

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1 AIA E SAIA DEL ONDENSATOE a. Studiare la scarica del condensatore della figura che è connesso I(t) alla resistenza al tempo t=0 quando porta una carica Q(0) = Q 0. Soluzione. Per la relazione di maglia, ad interruttore chiuso il voltaggio ai capi del condensatore ( t) = Q( t) / deve essere pari a quello ai (t) capi della resistenza ( t) = I() t La corrente I(t) che esce dal condensatore è pari alla diminuzione della carica sul condensatore Q () t = I () t dq() t = I () t dt dq t Q t () () dt = dq t dt Q t () Q() t = t () = Q( 0) exp Le grandezze variabili Q(t), I(t) e (t) sono tra loro proporzionali e hanno lo stesso tipo di smorzamento esponenziale (t)/(0) Q(t)/Q(0) I(t)/I(0) 0 0 t/ a. onsideriamo il circuito della figura con g = 6, = kω, = 5 kω, = µf nel quale all istante iniziale il condensatore è scarico (Q(0) = 0) e viene chiuso il contatto g (t) con la batteria. Determinare la corrente iniziale I(0) e quella asintotica I( ) che circola nel circuito dopo un tempo sufficientemente lungo dal collegamento con il generatore. Determinare inoltre la costante di tempo di carica del condensatore. Soluzione. Poiché Q(0) = 0 la differenza di potenziale iniziale su sarà (0) = 0 e dalla batteria uscirà inizialmente la corrente I(0) = g /. Quando, dopo un tempo idealmente infinito, la carica del condensatore è completata, non assorbe più corrente; tutta la corrente uscente dalla batteria passa attraverso la serie di e e vale perciò g I( ) = La differenza di potenziale (t) ai capi del condensatore passa da zero, al tempo iniziale, al valore asintotico ( ) = I( ) = g /( ). Dal punto di vista del condensatore, le due resistenze e sono connesse in parallelo ai suoi morsetti; perciò la costante di tempo della carica sarà τ = La legge di variazione temporale di (t) è simile a quella della scarica, ossia si passa dal valore iniziale (0) a quello asintotico (I( ) ) con un processo esponenziale avente costante di tempo τ

2 t t = = ( t) ( ) e τ b e Inserendo i valori assegnati ai parametri si ottiene il grafico della figura. ommenti. Se in un circuito inizialmente a riposo (cioè con condensatori scarichi) vengono accese delle differenze di potenziale, le correnti iniziali si possono calcolare ponendo al posto dei condensatori dei cortocircuiti; perciò, inizialmente, nel circuito tutta la differenza di potenziale del generatore risulta applicata su, in cui circola una corrente g /. Le correnti asintotiche, o di regime, si calcolano scollegando idealmente i condensatori, ossia ignorando i loro contributi a maglie e nodi. La corrente asintotica del generatore è perciò data dal rapporto tra g e ( ). (t) 0 0 t (0 3 s) a3. Una batteria con = 6 volt e una resistenza interna di in = 0. Ω viene collegata al tempo t = 0 a un circuito formato dal parallelo tra un condensatore di capacità = mf e una resistenza in = 0 Ω. Quale tra le seguenti affermazioni sono vere (segnare con no quelle sbagliate con si le giuste): (A) L energia immagazzinata in è sempre minore di (/) (B) La corrente che passa in è nulla al tempo t = 0 () L energia complessivamente dissipata in in nel primo secondo è maggiore dell energia immagazzinata nello stesso tempo in (D) La corrente che passa in in è massima a t = 0 (E) La potenza dissipata in è sempre maggiore o uguale di quella dissipata in in Soluzione. Un analisi semplificata di un circuito in corrente continua ( costante) con condensatori inizialmente scarichi si effettua come segue: i. All istante iniziale i condensatori vengono considerati dei cortocircuiti. Nel nostro caso, al tempo t = 0, in in passa perciò la corrente massima / in e in non passa alcuna corrente, avendo differenza di potenziale nulla ai suoi estremi. Segue che le risposte B e D sono giuste e la E sbagliata perché all istante iniziale la potenza dissipata in in è maggiore di quella dissipata in. ii. Dopo un tempo lungo, molto maggiore del tempo di carica dei condensatori, questi raggiungono un valore asintotico di voltaggio e di carica e per questo non assorbono più corrente; possono perciò essere considerati come circuiti aperti e trascurati dal punto di vista delle correnti; la corrente asintotica che passa nelle due resistenze è I a = /( in ) mentre il voltaggio asintotico ai capi di, e quindi del condensatore, è a = I a L energia asintotica sul condensatore è perciò a E = = 0.96 < in La Soluzione A è esatta. iii. Per analizzare l affermazione consideriamo prima il circuito privo della resistenza (ovvero, poniamo = ) e indichiamo con Q a = la carica asintoticamente raggiunta dal condensatore. Quando il condensatore ha raggiunto una qualunque carica Q Q a, la sua e- nergia è E =Q / mentre l energia complessivamente prodotta dal generatore è E g = Q.

3 L energia complessivamente dissipata dalla resistenza in è la differenza Q Q Q Q Q E E Q Q a Q a g = = che è pertanto maggiore di E fino a quando il condensatore non raggiunge un voltaggio asintotico pari a quello del generatore. Si noti che questo ragionamento è indipendente dal valore di in : caricare un condensatore con un generatore a voltaggio costante comporta sempre la dissipazione di metà dell energia totale fornita dal generatore. In presenza di una resistenza in parallelo a, il voltaggio asintotico è minore di quello del generatore e la dissipazione su in aumenta a causa della corrente che passa per. Perciò la Soluzione è sempre vera. a. Durante il processo di carica di un condensatore, inizialmente scarico e collegato al tempo t = 0 ad un generatore continuo mediante una resistenza, la potenza immagazzinata dal condensatore è massima al tempo (in unità ) (A) 0 (B) () (D) (E) Soluzione. La carica sul condensatore è Q ( t) ( exp( t / ) ) = e la corrente è dq I ( t) = = exp( t / ) dt La potenza immagazzinata nel condensatore, W, è uguale alla potenza prodotta dal generatore, I(t), meno la potenza dissipata sulla resistenza, I (t) W = I I W peri = max = exp( t / ) t / = ln t = a5. In un condensatore = µf isolato è immagazzinata un energia di 0.5 J; i suoi estremi sono collegati all istante i- niziale, mediante una resistenza = Ω, a un condensatore = 3µF fra le cui armature vi è una differenza di potenziale di 700, polarizzato nella stessa direzione. Tra le seguenti affermazioni sono vere: (A) l energia complessiva finale dei due condensatori è minore di quella iniziale (B) la costante di tempo relativa al raggiungimento dell equilibrio vale () la corrente fluisce da verso (D) la tensione ai capi di diminuisce (E) la tensione ai capi di rimane costante Soluzione Si calcola innanzitutto la differenza di potenziale iniziale di da: E = 0.5 J = = 000 Alla chiusura del circuito, la corrente fluisce da verso sino a che si raggiunge il potenziale di equilibrio intermedio tra 700 e 000 (risposte e D corrette, E errata). L energia finale del sistema è minore (A corretta) perché vi è passaggio di corrente con conseguente dissipazione: il calcolo si potrebbe fare calcolando il voltaggio finale fin, dall equazione di = conservazione della carica complessiva: ( ) fin 3

4 ed esprimendo le energie in funzione di e, ma non è necessario. La Soluzione B è errata in quanto, durante il raggiungimento dell equilibrio, la corrente percorre la serie di e ; la costante di tempo sarà a6. Ad un condensatore carico si collega una resistenza = Ω; si osserva che dopo un tempo t / = s il voltaggio ai capi del condensatore si è dimezzato rispetto al valore iniziale e che, nello stesso tempo, sulla resistenza è stata dissipata un energia E = J. La capacità del condensatore vale circa (A) 0.8 F (B) 0.36 F () 0.7 F (D). F (E) F a7. Nel circuito della figura la forza elettromotrice del generatore è = 0 mentre = 0 Ω, = 5Ω ed il condensatore di capacità = 0.00 F della figura è scarico al tempo t = 0. Tra le seguenti affermazioni, indicare con SI quelle giuste e con NO quelle sbagliate. (A) La potenza dissipata in all istante t = 0 non dipende da (B) La potenza dissipata in all istante t = 0 non dipende da se 0 () Quando il condensatore è completamente carico la potenza erogata dal generatore è W =0 W (D) Quando il condensatore è completamente carico la corrente assorbita da è nulla. (E) Quando il condensatore è carico la sua energia vale 0.00 J a8. Se nel circuito del problema precedente il generatore viene scollegato, lasciando il circuito aperto tra la terra e l estremo sinistro di, la carica del condensatore si riduce alla metà in un tempo di circa (A) 0 ms (B) 8 ms () 7 ms (D) 5 ms (E) 3.5 ms a9. Quale è falsa tra le seguenti affermazioni? (A) Un condensatore che si sta caricando assorbe potenza. (B) Un condensatore che si sta caricando immagazzina energia. () Una resistenza elettrica percorsa da corrente produce sempre calore. (D) All'incirca, solo la metà dell energia immagazzinata da un condensatore può essere riutilizzata in forma elettrica. (E) aricando un condensatore con un generatore a voltaggio costante, il condensatore assorbe solo la metà dell energia erogata dal generatore. a0. Il condensatore = 0. F ha inizialmente carica Q = 0 e viene chiuso all istante iniziale sulla resistenza = 0 Ω in serie con un condensatore di capacità = 0. F inizialmente scarico. L energia dissipata in nel primo minuto dopo la connessione vale circa (A) 83 J (B) 5 J () 63 J (D) J (E) a. La costante di tempo τ secondo cui si spegne la corrente che passa nella resistenza del problema precedente è (A) (B) () ( ) (D) (E)

5 a. on riferimento al problema precedente, la potenza dissipata in al tempo t = 0 s vale circa (A) 6.5 W (B) 5 W () 50 W (D)775 W (E) a3. Nel circuito della figura, il generatore di tensione continua viene collegato quando e sono scarichi. Se =, dire se le seguenti affermazioni sono vere. (segnare le risposte esatte con SI) (A) Il voltaggio su tende asintoticamente al valore /3 (B) Il voltaggio su tende asintoticamente al valore /3 () La potenza dissipata in è sempre uguale a quella dissipata in se le due resistenze sono uguali. a. Un alimentatore con = e resistenza interna = Ω viene chiuso all istante iniziale su di un condensatore scarico in parallelo con una resistenza. Dopo un secondo, la differenza di potenziale ai capi del condensatore vale AB = ; dopo un minuto si ha AB = 8. La resistenza vale (A) Ω (B) 8 Ω () Ω (D) 0 Ω (E) 0 Ω A B a5. on riferimento al problema precedente, la capacità del condensatore vale (A) 0.9 F (B) 0.3 F () 0.8 F (D).3 F (E).8 F IUITI ELETTII b. Nel circuito della figura si ha = 5 Ω, = Ω e 3 = 3 Ω e nella resistenza passa una corrente di A.Il voltaggio ai capi della batteria vale (A) 5 (B) 0.5 ().0 (D) (E) I = A Soluzione Ai capi di vi è un voltaggio = I = 5 ; perciò in fluisce una corrente I = 5/ =.5 A e nella resistenza 3 passa la somma delle correnti I e I ; I 3 = I I = 3.5 A. La caduta di tensione ai capi di 3 è perciò 3 = I 3 3 = 0.5 e il voltaggio richiesto è = 3 = 5.5. La soluzione deve essere scritta in (E) b. Una batteria può essere schematizzata come un generatore di tensione in serie a una resistenza interna in. Quando la resistenza esterna vale = Ω si misura una corrente I =. A; quando la resistenza esterna vale =.5 Ω la corrente misurata si riduce a I =. A. La resistenza interna vale all incirca (A) 0. Ω (B) 0. Ω () 0.5 Ω (D) 0.67Ω (E).0 Ω 3 5

6 Soluzione La resistenza interna è in serie alla resistenza esterna e possiamo scrivere l equazione della maglia una volta con = e un altra con = : I I = = Ω = ( ) in 0.5 in I I I = ( in ) I = ( in ) I = 6 b3. Il generatore di voltaggio della figura viene connesso all istante t = 0 al circuito a riposo (condensatore scarico). I valori degli elementi sono: = ; = 6 Ω; = Ω; 3 = Ω; = 3 Ω; = mf. La corrente iniziale in vale (A) 0 A (B) A () /3 A (D) A (E) 6/3 A Soluzione. La resistenza vista dal generatore all istante iniziale, in cui si considera il condensatore come un cortocircuito, è 3 (somma o serie di due coppie di resistenze in parallelo) e si scrive 3 9 come tot = = Ω 3 6 La corrente all istante iniziale I = = A, dal generatore si ripartisce tra e in modo 3 inversamente proporzionale alle resistenze stesse: I tot 6 = A 3 8 = I = b. on riferimento al problema precedente, la corrente in quando il condensatore è completamente carico è (A) 0 (B) A () /3 A (D) A (E) 8/3 A Soluzione. Si usa la stessa impostazione precedente facendo tendere ad infinito la resistenza 3 poiché nel ramo del condensatore a regime non passa corrente. Si ha 9 8 tot = = Ω I = A I = A A 3 b5. Dato il circuito della figura dove il generatore = 8 eroga 8 W e i valori delle resistenze sono = 3 = 5 =6 Ω e = = 6 =8 Ω ( - ladder ) il voltaggio è pari a (A) (B) () (D) 0.5 (E) b6. Due batterie nominalmente uguali ma stato di carica diversa, una con = 6.0 e resistenza interna = Ω, l altra = 5.9 e resistenza interna = Ω, sono connesse in parallelo ad una resistenza incognita in cui fluisce una corrente di intensità A. Il valore di è I = A 6

7 (A).3 Ω (B).00Ω ().58 Ω (D).89 Ω (E) b7. Se la caduta di tensione su è di 0 e = 5, allora x è circa uguale a =0Ω (A) 5 Ω (B) 0 Ω () 5 Ω = x (D) 6.7 Ω (E) b8. Quando due batterie di uguale fem ( x ) e resistenza interna ( x ) sono contemporaneamente collegate ad un carico con L = 0 Ω in questo circola una corrente I L = A. Quale deve essere x perché in L circoli I L = 0.95 A quando una delle batterie viene scollegata? (A). (B) 0.56 () 9.8 (D) (E) b9. Nel circuito della figura = 3 Ω e la differenza di potenziale fra i punti A e B è A B =.5. Il potenziale del generatore è pari a (A).5 (B) () 3 (D) 6 (E) x x x L =0 Ω I L = A A x 3 B b0. Nel circuito della figura si ha = 3 Ω, = 6 Ω, 3 = 9 Ω. Se = 6 e la differenza di potenziale tra A e B è AB = la tensione vale (A) (B).33 ().5 (D) 0.33 (E) I I A I 3 3 B b. Nel problema precedente la potenza erogata dal generatore vale (segno negativo = potenza assorbita) (A) /9 W (B) 0.7 W () /9 W (D).67 W (E).33 W b. Nel circuito della figura, se out =.5 ; il voltaggio g del generatore vale (A) 5 (B) 7.5 () 0 (D) 5 (E) g =0 Ω 3 =0 Ω =5 Ω =0 Ω I 3 out b3. Su di un nastro isolante lungo m e largo 3 cm è depositato uno strato di grafite () alto 5 µm. Agli estremi del nastro è applicata una differenza di potenziale di (resistività della grafite a 0 = Ω m). La corrente che circola nel nastro a 0 vale (A) A (B) 0.75 A ().3 A (D).68 A (E).69 A 7

8 b. on riferimento al problema precedente, a quale temperatura la potenza dissipata nel conduttore sul nastro diminuisce dell % rispetto al valore a 0? (la resistività della grafite diminuisce di 500 parti per milione per un aumento di di temperatura) (A) 0 (B) 0 () 0 (D) 6 (E) POTENZA ELETTIA c. Nel circuito della figura le resistenze valgono = Ω, = Ω, 3 = 3 Ω, = Ω, 5 = Ω. Se la potenza erogata dal generatore = 6 è di 6 W, il voltaggio vale (A) (B) 3 () 3 (D) 6 (E) 5 Soluzione. Questo problema va risolto con passaggi successivi. Da potenza e si ha la corrente in : I =W/ ( A) Si calcola la differenza di potenziale ai capi di : = I () Si calcola la corrente in : I = / (A) Dalla differenza delle correnti I e I si ha la corrente uscente dal nodo I 3 =I I (0A) Si calcola la differenza di potenziale ai capi di 5 da: = I 3 3 () Si calcola I 5 = / 5 (A) La corrente entrante nel nodo è I = I 5 I 3 ( A) Il risultato è = I (3) c. on riferimento al problema precedente, la potenza erogata dal generatore vale (A) W (B) 3 W () W (D) 6 W (E) Soluzione. La potenza richiesta è W = I = 3 W c3. Una centrale idroelettrica eroga una potenza W tot di (0 5 ) W a una fabbrica distante 5 km. La linea elettrica è costituita da due cavi di rame (resistività del rame.7(0 8 ) Ωm) di sezione S = cm e lunghezza complessiva l = 0 m. alcolare il rapporto delle potenza dissipata nei cavi quando la linea è alimentata a 000 e quando la linea è alimentata a = 0. (A) 0. (B) () 0 (D) 00 (E) resistività lunghezza Soluzione. La resistenza dei cavi è = = Ω =.7 Ω sezione 0 La corrente che vi passa è I = W tot /, pari a 00 A per la linea a 000 e pari a 0 A per la linea a 0. La potenza W dissipata nella resistenza della linea è 00.7 = 6.8(0 )W a 000 W = I = 0.7 = 680W a 0 Il rapporto tra le potenze dissipate è perciò 00, pari al quadrato del reciproco del rapporto tra i voltaggi. Oltre che aumentare il voltaggio, per diminuire le perdite si può aumentare la sezione S della linea, con corrispondente riduzione della resistenza per unità di lunghezza, ma con aumento di costo e peso della linea. Il rapporto delle potenze dissipate nei due casi dalla linea è in realtà indipendente dalla resistività e dalla lunghezza della linea stessa, infatti da W W = I e I = Wtot / si ha W tot = ; poiché qui Wtot e sono costanti, si ha 8

9 W, da cui subito il risultato. c. Per portare da 0 a 00 un litro d'acqua (c s = kcal/kg ) utilizzando una resistenza elettrica in cui viene dissipata una potenza di 000 W, trascurando le perdite, occorre un tempo pari a circa (A) 0 s (B) 90 s () 6' (D) 5' (E) h Soluzione icordando che cal =.8 J: mcs T Wt = mcs T t = =.8 s 376s 6 min W 000 c5. Una camicia viene inumidita con 00 cm 3 di acqua a 0. Trascurando la capacità termica di stoffa e metallo e perdite di calore per contatto con aria ed asse da stiro, il tempo minimo di stiratura della camicia quando si utilizza un ferro da 750 W è di circa (calore specifico dell acqua: cal/g ; calore di evaporazione: 530 cal/g). (A) 5 min s (B) 3 min 30s () 8 min 35s (D) min 30s (E) Soluzione. L'energia richiesta è la somma di quella necessaria a scaldare l acqua dalla temperatura iniziale (0 ) alla temperatura di ebollizione (00 ), e di quella per farla evaporare. Si ha quindi: Q = Q Q = cm T cem = m( c T ce ) Tenendo presente che cal. J, si ottiene: Q = 00. (80530) J = 56. kj, da cui Q 5600 J t = = = 3 s (Soluzione A). W 750 W c6. La dinamo di una bicicletta che va a 30 km/h può essere descritta come un generatore con d = ed una resistenza interna in. Quando sono collegati in parallelo e funzionanti sia il faro anteriore che il fanalino posteriore la dinamo eroga una corrente I tot =.5 A, il fanalino posteriore assorbe una potenza W p = W mentre quello anteriore una potenza W a = 8W. La resistenza della lampadina posteriore accesa, p, vale (A) 8 Ω (B) 0 Ω () 6 Ω (D) 0 Ω (E) c7. on riferimento al problema precedente, se la lampadina posteriore si rompe quella anteriore assorbe approssimativamente (arrotondare all unità più vicina) una potenza di (si supponga che la sua resistenza non cambi) (A) 7 W (B) 8 W () 0 W (D) W (E) c8. Nel circuito della figura passa una corrente I= A; la potenza complessiva fornita dal generatore di differenza di potenziale pari a G è (A) 0 W (B) 0 W () 360 W (D) 70 W (E) 960 W G =5 Ω I= A =5 Ω 9

10 c9. Un dispositivo alimentato a 00 consuma kw; se è alimentato mediante due fili (uno andata e uno ritorno) ciascuno dei quali ha una resistenza di 0. ohm, qual è la potenza dissipata nei fili? (A) 0 W (B) 0 W () 30 W (D) 0 W (E) 50 W c0. Una resistenza elettrica alimentata a è immersa in un thermos con acqua e ghiaccio a 0 ; se è percorsa da un corrente di 5 A, in quanto tempo all incirca farà sciogliere 00 g di ghiaccio (calore di fusione del ghiaccio 80 cal/g; cal.j) (A) 0 s (B) s () 87 s (D) 93 s (E) c. Uno scaldabagno elettrico assorbe una corrente di 5 A quando è attaccato alla presa ENEL domestica ( MS =0). In quanto tempo circa i 60 litri di acqua contenuta nel suo serbatoio saranno riscaldati da 0 a 60? (calore specifico dell acqua =. kj/kg ) (A) 3800 s (B) 500 s () 7600 s (D) 550 s (E) c. Una batteria al piombo immagazzina complessivamente un energia pari a 00 kj. Se fornisce una tensione di, in quanto tempo verrebbe scaricata completamente da una corrente di 5 A? (A).8(0 6 ) s (B) 500 s () 3h min (D)5h 33min (E) 7h min c3. Il motorino di avviamento di un auto richiede 700 W; in quanto tempo scaricherà la batteria di 35 A h (fem di, resistenza interna trascurabile)? (A) 36 min (B) 30 min () min (D) 5 min (E) c. Un generatore con = è applicato al tempo t = 0 alla rete della figura dove il condensatore è inizialmente scarico e = 3. All istante iniziale il generatore eroga W(0) = 363 W; dopo un secondo (τ / ) eroga W() = 69.5 W e dopo 00 s eroga la potenza asintotica W( ) = 76 W. La resistenza vale (A) 6/ Ω (B) 3/ Ω (). Ω (D) 6/9Ω (E) 3Ω 3 c5. on riferimento al problema precedente, la capacità del condensatore vale (A).0 F (B) 0.96 F () 0.3 F (D) 0.60 F (E) 0.07 F c6. Un treno di massa complessiva m = 50 t sale a 60 km/h lungo un binario con pendenza del 3%. Se le forze di attrito che si oppongono al moto sono complessivamente pari a 0 kn e la linea di alimentazione (in continua) è a 000, la corrente minima che la motrice assorbirà sarà pari a (arrotondare alla decina di ampere) (A) 950 A (B) 70 A () 900 A (D) 0 A (E) 70 A c7. Un voltametro a nitrato d argento è collegato in serie ad una pila, ad un galvanometro e ad una resistenza variabile che mantenga costante l intensità di corrente I. Se in un intervallo di tempo t = s al catodo si sono depositati g di argento, l intensità di corrente circolante è (A) 0.88 A (B) A () A (D) 0.5 A (E) 0