LEZIONE 2 e 3. La teoria della selezione di portafoglio di Markowitz

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1 LEZIONE e 3 La teora della selezone d portafoglo d Markowtz Unverstà degl Stud d Bergamo Premessa Unverstà degl Stud d Bergamo

2 Premessa () È puttosto frequente osservare come gl nvesttor tendano a non concentrare la loro rcchezza su un solo ttolo, preferendo detenere portafogl compost da pù ttol Unverstà degl Stud d Bergamo 3 (segue): premessa () Tale comportamento rsponde alla prescrzone dettata dal buon senso secondo la quale non sarebbe convenente rporre tutte le uova n un panere Unverstà degl Stud d Bergamo 4

3 (segue): premessa (3) Quanto precede suggersce l opportuntà d far luogo all anals del rendmento e del rscho assocat a portafogl d attvtà fnanzare Unverstà degl Stud d Bergamo 5 (segue): premessa (4) In tale ambto s farà partcolare rfermento a precett teorc propost da Harry Markowtz nell artcolo Portfolo Selecton pubblcato sul Journal of Fnance nel ann dopo la pubblcazone dell artcolo l autore condvse con Wllam F. Sharpe e Merton H. Mller l premo Nobel per l economa Unverstà degl Stud d Bergamo 6 3

4 Il modello d Markowtz nel caso elementare che preveda la presenza d due sol ttol n portafoglo Unverstà degl Stud d Bergamo 7 Il modello d Markowtz: due sol ttol () Il modello svluppato da Markowtz s fonda sulle seguent potes:. gl nvesttor selezonano portafogl sulla base del rendmento medo atteso e del rscho atteso. l orzzonte temporale è unperodale 3. gl nvesttor sono avvers al rscho Unverstà degl Stud d Bergamo 8 4

5 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol () Dalla prma e dalla terza potes dscende l prncpo della MEDIA VARIANZA Esso sancsce che tra due stratege d nvestmento è preferble quella che presenta maggor rendmento atteso e mnor devazone standard la ragone per cu l prncpo è noto come prncpo meda varanza e non come prncpo meda devazone standard derva dal solo dal fatto che Markowtz, nel suo artcolo orgnaro del 95, preferì utlzzare come msura d rscho la varanza Unverstà degl Stud d Bergamo 9 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol (3) In smbol: se E( rx ) E( ry ) e x y con almeno una dsuguaglanza forte allora l portafoglo X domna l portafoglo Y Unverstà degl Stud d Bergamo 0 5

6 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol (4) Alcun esemp numerc contrburanno a charre quanto appena affermato : Esempo E( r A ) Portafoglo A: = 5% = 6% E( r B ) A B Portafoglo B: = 3% = 8% E (r ) 5% A 3% B tutt gl esemp qu rprodott sono tratt da P. L. Fabrz L economa del mercato moblare, Mlano, 003 6% 8% (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol (5) Sulla base del prncpo meda varanza s può affermare che, poché l portafoglo A presenta rendmento atteso superore e rscho nferore al portafoglo B, l portafoglo A domna l portafoglo B Unverstà degl Stud d Bergamo 6

7 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol (6) E( r A ) Esempo Portafoglo A: = 5% = 6% E( r C ) A C Portafoglo C: = 5% = 8% E (r ) 5% A C 6% 8% 3 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol (7) Il prncpo meda varanza permette d affermare che l portafoglo A domna anche l portafoglo C Unverstà degl Stud d Bergamo 4 7

8 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol (8) E( r A ) Esempo 3 Portafoglo A: = 5% = 6% E( r D ) A D Portafoglo D: = 3% = 6% E (r ) 5% 3% A D 6% 5 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol (9) Il prncpo meda varanza permette d affermare che l portafoglo A domna anche l portafoglo D Unverstà degl Stud d Bergamo 6 8

9 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol (0) Il prncpo della meda varanza non offre crter d selezone delle opportuntà d nvestmento quando E ( rx ) > E( ry ) essendo > x y Unverstà degl Stud d Bergamo 7 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol () S veda l seguente esempo: E( r A ) Portafoglo A: = 5% = 6% E( r E ) A E Portafoglo E: = 7% = 8% E (r ) 7% 5% A E 6% 8% 8 9

10 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol () Nell esempo precedente l potes d avversone al rscho e l prncpo meda varanza non permettono d ndentfcare un portafoglo effcente e uno domnato, n quanto l portafoglo pù rschoso è anche caratterzzato da un maggor lvello d rendmento atteso Unverstà degl Stud d Bergamo 9 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol (3) La scelta tra l portafoglo A e l portafoglo E non è qund estrapolable dalle potes alla base del modello d Markowtz la scelta dell una ovvero dell altra opportuntà d nvestmento dscenderà dal grado d propensone al rscho dell nvesttore Unverstà degl Stud d Bergamo 0 0

11 (segue): l modello d Markowtz: due sol ttol (4) Allo scopo d procedere nell anals della teora d portafoglo è necessaro approfondre l tema della stma del rendmento e del rscho d portafoglo Unverstà degl Stud d Bergamo La quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo n presenza d due sol ttol Unverstà degl Stud d Bergamo

12 La quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo () La stma del rendmento atteso d un portafoglo non prospetta dffcoltà partcolar Not rendment attes ( E ( r )) e pes ( X ) assunt da ttol n portafoglo, l rendmento del portafoglo ( E( rp )) è par alla meda ponderata de rendment attes de sngol ttol Analtcamente: n = = E ( r ) [ X E( r )] p () Unverstà degl Stud d Bergamo 3 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo () Esempo S assuma che l nvesttore detenga 5 ttol cu rendment e pes percentual n portafoglo sano quell rportat alla seguente tabella: Ttolo A B C D E E r ) ( 0% % 5% 4% % X 5% 0% 30% 0% 5% Unverstà degl Stud d Bergamo 4

13 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (3) Esempo Il rendmento può essere faclmente calcolato applcando la (): Avremo E( ) = (0% 5%) + (% 0%) + (5% 30%) + (4% 0%) + (% 5%) r p E ( ) = 9,65% r p Unverstà degl Stud d Bergamo 5 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (4) Problem pù compless prospetta la stma del rscho d portafoglo Unverstà degl Stud d Bergamo 6 3

14 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (5) Invero esso non può essere calcolato quale semplce meda ponderata de rsch assocat a ttol component l portafoglo Una sffatta msura, come meglo s avrà modo d vedere n seguto, trascurerebbe l effetto dversfcazone Unverstà degl Stud d Bergamo 7 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (6) Un semplce esempo charrà meglo quanto s va affermando In un sngolo anno ttol ENI e TIM hanno rportato rendment mensl present nella tabella rportata d seguto: Gennao Febbrao Marzo Aprle Maggo Gugno Luglo Agosto Settembre Ottobre Novembre Dcembre ENI -4,545% -,563%,703% 3,95% -3,470% -3,394% -,37%,3%,855% -4,364% -,958% -0,0% TIM -4,70% -0,6% 3,504% -7,90% -,89%,964% -8,70% 3,9% 5,566% 3,03% 30,67% 40,84% 8 4

15 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (7) Nota la formula d calcolo ex post dello scarto quadratco medo è semplce calcolare l rscho de due ttol azonar esamnat: ENI n ( r r) = = n = = ( r r) = 4,83 % TIM n ( r r) = = n = = ( r r) = 4,89 % n r r = numero d rendment mensl utlzzat per la stma della devazone standard = rendmento dell -esmo mese = rendmento medo mensle = n r n = 9 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (8) Ipotzzando che due ttol abbano entramb un peso del 50%, lo scarto quadratco medo calcolato come meda arttmetca ponderata de rsch de sngol ttol sarebbe par a: p = ( 50% 4,83 %) + (50% 4,89 %) = 9,86 % Unverstà degl Stud d Bergamo 30 5

16 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (9) Per dmostrare che la devazone standard de rendment mensl del portafoglo n esame non è par alla msura ottenuta applcando la formula della meda ponderata dentfchamo rendment che s sarebbero ottenut detenendo n ogn mese dell anno un portafoglo equpartto tra ttol ENI e TIM Unverstà degl Stud d Bergamo 3 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (0) Sapendo che l rendmento d un portafoglo è la meda ponderata de rendment attes de sngol ttol, ove coeffcent d ponderazone sono rappresentat da pes assunt da sngol ttol, tal rendment possono essere calcolat applcando la seguente formula: dove: mese () r Portafogl o mese () r ENI r = 50% r + 50% r mese ( ) Portafogl o mese ( ) ENI mese ( ) TIM = rendmento conseguto nel mese dal portafoglo equrpartto composto da ENI e TIM = rendmento conseguto nel mese da ENI mese () r TIM = rendmento conseguto nel mese da TIM Unverstà degl Stud d Bergamo 3 6

17 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo () I dodc rendment mensl che un nvesttore avrebbe ottenuto mantenendo un portafoglo equrpartto sono rportat alla seguente tabella: Gennao Febbrao Marzo Aprle Maggo Gugno Luglo Agosto Settembre Ottobre Novembre Dcembre Rendmento mensle (50%) x (-4,545%) + (50%) x (-4,70%) = -4,63% (50%) x (-,563%) + (50%) x (-0,6%) = -,09% (50%) x (,703%) + (50%) x (3,504%) = 8,0% (50%) x (3,95%) + (50%) x (-7,90%) = -,99% (50%) x (-3,470%) + (50%) x (-,89%) = -,65% (50%) x (-3,394%) + (50%) x (,964%) = -0,% (50%) x (-,37%) + (50%) x (-8,70%) = -5,7% (50%) x (,3%) + (50%) x (3,9%) =,5% (50%) x (-,855%) + (50%) x (5,566%) = 3,7% (50%) x (-4,364%) + (50%) x (3,03%) = -0,67% (50%) x (-,958%) + (50%) x (30,67%) = 4,0% (50%) x (-0,0%) + (50%) x (40,84%) = 0,30% Unverstà degl Stud d Bergamo 33 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo () La devazone standard del portafoglo è pertanto la seguente: Portafogl o n ( r r) = = n = = ( r r) = 7,87 % Il rscho del portafoglo è dunque sensblmente nferore a quello erroneamente calcolato come meda ponderata delle devazon standard assocate a due ttol Invero la stma fondata sul rcorso alla meda ponderata non cogle l effetto dversfcazone dato dalla non perfetta correlazone postva de rendment mensl de due ttol n portafoglo Unverstà degl Stud d Bergamo 34 7

18 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (3) L esgenza d stmare l rscho d un portafoglo mpone l rchamo dell ndcatore statstco noto come coeffcente d correlazone lneare (ρ) Esso consente nfatt d coglere n che modo vara l rendmento d un attvtà fnanzara al varare del rendmento d un altra Unverstà degl Stud d Bergamo 35 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (4) Nel caso partcolare d un portafoglo d ttol la varanza e la devazone standard sono rspettvamente ndvduate dalle seguent: P = ( X ) + ( X ) + X X ρ, = ( X X X ρ P ) + ( X ) +, Unverstà degl Stud d Bergamo 36 8

19 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (5) Rcordando che ρ, = Cov, le formule della varanza e della devazone standard possono essere anche scrtte come segue: ( ) ( ) Cov P = X + X + X X P = X ) + ( X ) + X X ( Cov,, Unverstà degl Stud d Bergamo 37 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (6) Rcordando che ρ, S rscontrano le seguent propretà: ρ, = + le varabl sono perfettamente e postvamente correlate: non c è alcun benefco d rduzone del rscho lo scarto quadratco medo è par alla meda ponderata degl scart quadratc med de due ttol ρ, < : lo scarto quadratco medo del portafoglo è mnore della meda ponderata degl scart quadratc med de sngol ttol l benefco n termn d rduzone cresce al decrescere del coeffcente d correlazone ρ, = -: esprme l caso n cu è massmo l benefco d rduzone del rscho Unverstà degl Stud d Bergamo 38 9

20 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (7) Gl esemp che seguono charranno meglo la portata delle acquszon alle qual samo pervenut per va teorca Unverstà degl Stud d Bergamo 39 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (8) Sa dato un portafoglo composto da due ttol, α e β, con le seguent caratterstche d rendmento e rscho attes Ttolo E r ) α β ( 0% 5% % 4% Unverstà degl Stud d Bergamo 40 0

21 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (9) Per ρ α,β = + Peso % ttolo α 00% 87,50% 75,00% 6,50% 50,00% 37,50% 5,00%,50% 0,00% Caso numero le combnazon rscho rendmento attes del portafoglo sono le seguent: Peso % ttolo β 0,00%,50% 5,00% 37,50% 50,00% 6,50% 75,00% 87,50% 00,00% E( R portafogl o 0,00% 0,63%,5%,88%,50% 3,3% 3,75% 4,38% 5,00% ) portafogl o,00%,5%,50%,75% 3,00% 3,5% 3,50% 3,75% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 4 E (r) (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (0) (segue): caso numero Le combnazon rscho rendmento assumono pertanto nel caso n esame la seguente confgurazone: 6% 5% β 4% 3% % % 0% 9% α,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 4

22 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo () (segue): caso numero Osservazon Nessun portafoglo appartenente alla lnea de possbl portafogl domna o è domnato da altre combnazon de medesm ttol tutt portafogl appartenent alla lnea sono portafogl effcent L nseme de portafogl fattbl concde con l nseme de portafogl effcent Unverstà degl Stud d Bergamo 43 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo () Caso numero Per ρ α,β = +0,9 le combnazon rscho rendmento attes del portafoglo sono le seguent: Peso % ttolo α Peso % ttolo β E( R portafogl o ) portafogl o 00% 0,00% 0,00%,00% 87,50%,50% 0,63%,0% 75,00% 5,00%,5%,5% 6,50% 37,50%,88%,44% 50,00% 50,00%,50%,67% 37,50% 6,50% 3,3%,95% 5,00% 75,00% 3,75% 3,6%,50% 87,50% 4,38% 3,6% 0,00% 00,00% 5,00% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 44

23 E (r) (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (3) (segue): caso numero Le combnazon rscho rendmento assumono pertanto nel caso n esame la seguente confgurazone: 6% 5% β 4% 3% % % 0% 9% α,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 45 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (4) (segue): caso numero Osservazon Quando l coeffcente d correlazone lneare (ρ) è nferore a +, allora la combnazone rscho rendmento de portafogl ottenut come combnazone de ttol α e β assume un andamento curvlneo (perbole) Comncano ad essere manfest prm effett benevol della dversfcazone A partà d composzone del portafoglo, una rduzone della correlazone determna una rduzone della devazone standard del portafoglo medesmo, senza però produrre effett sul rendmento atteso Unverstà degl Stud d Bergamo 46 3

24 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (5) Per ρ α,β = +0,7 Peso % ttolo α 00% 87,50% 75,00% 6,50% 50,00% 37,50% 5,00%,50% 0,00% Caso numero 3 le combnazon rscho rendmento attes del portafoglo sono le seguent: Peso % ttolo β 0,00%,50% 5,00% 37,50% 50,00% 6,50% 75,00% 87,50% 00,00% E( R portafogl o 0,00% 0,63%,5%,88%,50% 3,3% 3,75% 4,38% 5,00% ) portafogl o,00%,79%,7%,79%,99%,33%,78% 3,34% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 47 E (r) (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (6) (segue): caso numero 3 Le combnazon rscho rendmento assumono pertanto nel caso n esame la seguente confgurazone: 6% 5% β 4% 3% % % 0% 9% H T α,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 48 4

25 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (7) (segue): caso numero 3 Osservazon Anche n questo caso le combnazon rscho rendmento de portafogl ottenut combnando ttol α e β assume un andamento curvlneo (perbole) A dfferenza de cas precedent non tutt portafogl fattbl sono anche portafogl effcent Il prncpo meda varanza permette d rconoscere alcun portafogl domnat (portafogl neffcent) Unverstà degl Stud d Bergamo 49 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (8) (segue): caso numero 3 (segue): osservazon Rassumendo: l tratto d curva αβ rappresenta l nseme de portafogl fattbl l tratto d curva αh rappresenta l nseme de portafogl domnat l tratto d curva Hβ rappresenta l nseme de portafogl effcent, denomnato frontera effcente Unverstà degl Stud d Bergamo 50 5

26 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (9) Per ρ α,β = - Peso % ttolo α 00% 87,50% 75,00% 6,50% 50,00% 37,50% 5,00%,50% 0,00% Caso numero 4 le combnazon rscho rendmento attes del portafoglo sono le seguent: Peso % ttolo β 0,00%,50% 5,00% 37,50% 50,00% 6,50% 75,00% 87,50% 00,00% E( R portafogl o 0,00% 0,63%,5%,88%,50% 3,3% 3,75% 4,38% 5,00% ) portafogl o,00% 8,75% 5,50%,5%,00% 4,5% 7,50% 0,75% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 5 E (r) (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (30) (segue): caso numero 4 Le combnazon rscho rendmento assumono pertanto nel caso n esame la seguente confgurazone: 6% 5% β 4% 3% F % % 0% 9% α,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 5 6

27 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (3) (segue): caso numero 4 Osservazon In tal caso gl effett della dversfcazone sono massm La combnazone rscho rendmento de portafogl ottenut combnando ttol α e β permette d ottenere un nvestmento (F) a rscho nullo Unverstà degl Stud d Bergamo 53 (segue): la quantfcazone del rendmento e del rscho d portafoglo (3) (segue): caso numero 4 (segue): osservazon Rassumendo: l segmento αfβ rappresenta l nseme de portafogl fattbl l segmento αf rappresenta l nseme de portafogl domnat l segmento Fβ rappresenta la frontera effcente Unverstà degl Stud d Bergamo 54 7

28 Eserczo replogatvo Calcolare:. rendmento atteso. scarto quadratco medo atteso 3. covaranza (tra l ttolo A e l ttolo B e tra l ttolo C e l ttolo D) con rfermento alle seguent attvtà fnanzare: Tt. A Tt. B Scenaro Tt. C Tt. D Scenaro % 5% 5% % % % 3% 3% 0% 3% % 3% 5% % 5% 5% 3% 5% 6% 9% 0% 7% 4% 7% 7% 8% 5% 9% 5% 0% 8% 6% 5% % 7% 40% 0% 5% 7% 4% 9% 5% % % 3% 6% 0% 6% 8% % % 0% 3% % S calcol noltre: 4. l rscho assocato al portafoglo ALFA così composto: 60% A e 40% B 5. l rscho assocato al portafoglo BETA così composto: 5% C e 85% D Unverstà degl Stud d Bergamo 55 Il modello d Markowtz nel caso generale d N ttol n portafoglo Unverstà degl Stud d Bergamo 56 8

29 Il modello d Markowtz: l caso generale () Dall anals condotta su portafogl ottenut come combnazone d due sol ttol s evnce l nsegnamento fondamentale della teora d selezone del portafoglo: Combnando ttol rschos s produce un nseme d alternatve d nvestmento (nseme de portafogl fattbl); alcune d queste combnazon appaono non effcent (secondo l crtero meda varanza), altre nvece sono effcent e costtuscono, nel loro nseme, la frontera effcente Verrà ntrodotta a questo punto una generalzzazone dell anals condotta su ttol, proponendo l caso d combnazon d N ttol Unverstà degl Stud d Bergamo 57 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale () Prma d affrontare l tema dell ndentfcazone de portafogl effcent nel caso d N ttol, è necessaro trattare l tema della stma del rendmento atteso e del rscho atteso Unverstà degl Stud d Bergamo 58 9

30 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (3) La stma del rendmento atteso d un portafoglo composto da N ttol non merta alcun approfondmento: verrà calcolato come semplce meda ponderata de rendment attes de sngol ttol In termn analtc: E( r ) = p n = X E( r ) Unverstà degl Stud d Bergamo 59 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (4) Rchede nvece maggor attenzone la stma della devazone standard Al fne d coglere l effetto dversfcazone complessvo, è necessaro stmare le correlazon tra cascuna delle coppe de ttol n portafoglo Unverstà degl Stud d Bergamo 60 30

31 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (5) Ipotzzando d voler calcolare l rscho del portafoglo P composto da ttol, e 3, gl element necessar per procedere al calcolo d p sono seguent: la devazone standard de rendment de tre ttol (,, 3 ) l peso assunto n portafoglo da tre ttol (X, X, X 3 ) le correlazon tra rendment delle tre coppe d ttol (ρ, ρ, ρ 3 ) Unverstà degl Stud d Bergamo 6 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (6) La formula della devazone standard del portafoglo nel caso specfco d 3 ttol è la seguente: P = ( X ) + X X + ( X 3 ) 3 + ( X,3 3 ) ρ + X X 3 + X X 3 3 ρ ρ,3, + Unverstà degl Stud d Bergamo 6 3

32 3 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (7) p può essere alternatvamente espresso come: Dato che: La formula precedente può essere scrtta anche nel seguente modo: Unverstà degl Stud d Bergamo 63 = = = = 3 3, 3 ) ( j j j j P X X X ρ, ) ( ρ = = X X X X X = = = 3 3, j j j j P X X ρ (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (8) Rcordando che: p può essere alternatvamente espresso come: Unverstà degl Stud d Bergamo 64 j j j j j j Cov Cov ρ ρ = =,,,, = = = 3 3, j j j P Cov X X

33 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (9) Data quest ultma espressone,s rcava faclmente la formula per l calcolo del rscho d un portafoglo composto da N ttol: P = N N = j= X X j Cov, j Unverstà degl Stud d Bergamo 65 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (0) Effettuata la stma d E(r p ) e p, è ora necessaro analzzare come dall nseme delle possbl combnazon de ttol s estrapol l nseme de portafogl effcent Unverstà degl Stud d Bergamo 66 33

34 E (r) (segue): l modello d Markowtz: l caso generale () S consder l seguente esempo: un nvesttore è chamato ad ndentfcare la mglore stratega d nvestmento operando una scelta fra tre ttol: α, β e γ Grafcamente: 6% 5% β 4% 3% % γ % 0% 9% α,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 67 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale () I portafogl fattbl ottenut combnando due sol ttol sono d seguto rappresentant: E (r) 6% 5% β 4% 3% % γ % 0% 9% α,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 68 34

35 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (3) Dall anals grafca s evnce che: l tratto αβ rappresenta l nseme de portafogl ottenut combnando ttol α e β l tratto αγ rappresenta l nseme de portafogl ottenut combnando ttol α e γ l tratto βγ rappresenta l nseme de portafogl ottenut combnando ttol β e γ I portafogl ottenut combnando ttol α e γ e ttol β e γ sono neffcent, n quanto domnat da portafogl ottenut combnando ttol α e β Unverstà degl Stud d Bergamo 69 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (4) E (r) Le combnazon d α, β e γ danno luogo ad una nuvola d punt rappresentant l nseme de portafogl fattbl 6% 5% β 4% 3% F % % 0% 9% α γ,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 70 35

36 (segue): l modello d Markowtz: l caso generale (5) Il ramo d perbole Fβ rappresenta la frontera effcente E (r) 6% 5% β 4% 3% F % % 0% 9% α γ,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 7 L ndvduazone d un portafoglo ottmo per un nvesttore Unverstà degl Stud d Bergamo 7 36

37 L ndvduazone d un portafoglo ottmo per un nvesttore () Seguendo l mpostazone d Markowtz s è gunt all ndvduazone della frontera effcente Tuttava non s è ancora analzzato come sa possble dentfcare l portafoglo ottmo per l nvesttore Quest ultmo dovrà selezonare uno de punt della frontera effcente n base al propro lvello d propensone al rscho Unverstà degl Stud d Bergamo 73 (segue): l ndvduazone d un portafoglo ottmo per un nvesttore () Al fne d ndvduare l portafoglo ottmo s rcorre al concetto d CURVA DI INDIFFERENZA, la quale permette d dentfcare le combnazon rscho rendmento consderate equvalent dall nvesttore In presenza d lvell dvers d soddsfazone verrà dentfcata una MAPPA d curve d ndfferenza Unverstà degl Stud d Bergamo 74 37

38 (segue): l ndvduazone d un portafoglo ottmo per un nvesttore (3) Nel caso della Portfolo Selecton analzzato da Markowtz vengono prese n esame delle curve d ndfferenza basate su una FUNZIONE DI UTILITA QUADRATICA Quest ultma nfatt ha le propretà d: esprmere le preferenze degl nvesttor esclusvamente n funzone d due sole varabl, l rendmento ed l rscho coerenza con la prma potes del modello d Markowtz rconoscere l rendmento atteso come un BENE e l rscho come un MALE coerenza con la terza potes del modello d Markowtz Unverstà degl Stud d Bergamo 75 (segue): l ndvduazone d un portafoglo ottmo per un nvesttore (4) Nel seguente grafco s rporta un esempo d mappa d curve d ndfferenza E (r) 6% 5% 4% 3% % % 0% 9%,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% Unverstà degl Stud d Bergamo 76 38

39 (segue): l ndvduazone d un portafoglo ottmo per un nvesttore (5) Come antcpato nella scorsa lezone l nclnazone postva delle curve d ndfferenza dentfca l avversone al rscho dell nvesttore Quest ultmo preferrà collocars sulle curve d ndfferenza pù n alto, n quanto a queste corrspondono superor lvell d utltà. Il punto d ottmo va però dentfcato all nterno de portafogl fattbl Unverstà degl Stud d Bergamo 77 (segue): l ndvduazone d un portafoglo ottmo per un nvesttore (6) Il punto d ottmo è dentfcable con l portafoglo K, punto d tangenza tra frontera effcente e la pù alta curva d ndfferenza raggungble E (r) 6% 5% 4% K β 3% F % γ % 0% α 9%,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% 78 39