COME TROVARE IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

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1 COME TROVARE IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE Ebook con spiegazioni, esempi, numerosi con risoluzione commentata Mariairene Guagnini

2 Prima edizione: gennaio 014 Sito web: Contatti: La presente opera è rilasciata secondo la licenza Creative Commons Attribuzione Non commerciale Non opere derivate 3.0 Italia License Per leggere una copia della licenza visitare il sito web

3 INDICE Schema generale condizioni di esistenza funzioni di variabile reale pag. 4 Come si trova il dominio di una funzione. Alcune indicazioni pag. 7 Esercizi di base pag 10 Risultati degli di base pag 11 Svolgimento degli di base pag 14 Esercizi pag 18 Risultati degli pag 0 Svolgimento degli pag 4

4 SCHEMA GENERALE CONDIZIONI DI ESISTENZA FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE indice funzioni polinomiale. Nessuna condizione esempi: x 3 4 x 8 ; y= 4 x 4 3 x+π ; f x = 3 x Esistono per ogni valore reale di x. funzioni razionali fratte. Condizione esistenza: denominatore 0 esempio : y= x 3 5 x. Condizione di esistenza: 5 x 0 x 5 radici di indice pari. Condizione esistenza: radicando 0 esempio : f x = x 3. Condizione di esistenza: x 3 0 x 3 radici di indice dispari. Nessuna condizione esempio : y= 5 x 3. Esiste per ogni valore reale di x. valore assoluto. Nessuna condizione esempio : y= 4 x. Esiste per ogni valore reale di x.

5 esponenziali a base costante maggiore di zero. Nessuna condizione esempio : y= x. Esiste per ogni valore reale di x. esponenziali a base variabile. Condizione esistenza: base > 0 esempio : y= x x 3 x. Condizione di esistenza: x 0 x logaritmi a base costante positiva e diversa da 1. Condizione esistenza: argomento > 0 esempio : f x =log 5 x 3. Condizione di esistenza: 5 x 3 0 x 3 5 logaritmi a base variabile. Condizioni di esistenza: argomento > 0 base > 0 base 1. esempio : y=log x x. Condizioni di esistenza: { x>0 x >0 x 1 { x>0 x> x 3 <x<3 x>3 seno, coseno. Nessuna condizione esempi : f (x)=sin( x+π) y=cos 3 x. Esistono per ogni valore reale di x. tangente (con argomento in radianti). Condizione di esistenza: argomento π +k π con k Z (cioè k=0,±1,±,...) esempio: tan ( x+ π 3 ). Condizione di esistenza: x+ π 3 π +k π x π 6 +k π x π 1 +k π k Z

6 cotangente (con argomento in radianti). Condizione di esistenza: argomento k π con k Z (cioè k =0,±1,±,...) esempio: cot( x+ π 4 ). Condizione di esistenza: x+ π 4 k π x π 4 +k π x π 8 +k π k Z arcoseno, arcocoseno. Condizioni di esistenza 1 argomento 1 cioè { argomento 1 argomento 1 esempio: arcsin 3 x Condizioni di esistenza { 3 x 1 3 x 1 { x 4 x { x 4 x x 4 arcotangente, arcocotangente. Nessuna condizione. esempio : y=arctan 3 x. Esiste per ogni valore reale di x.

7 COME SI TROVA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE ALCUNE INDICAZIONI indice Il dominio (campo di esistenza / insieme di definizione) di una funzione f (x) è l'insieme dei valori x per cui esiste la funzione. Generalmente si deve trovare il dominio di una funzione formata a partire da più funzioni base. Esempi: y=sin x+ln x (somma di due funzioni) y=ln(sin x) (composizione di due funzioni) Casi frequenti Funzione Dominio della funzione f (x)±g( x) Dominio f (x) Dominio g ( x) f (x) g (x) Dominio f (x) Dominio g( x) k f ( x) con k 0 Dominio f (x) f ( x) g (x) Dominio f (x) Dominio g( x) { x R: g(x) 0 }

8 Funzioni composte. Occorre analizzare la funzione come negli esempi seguenti. Esempio 1. y= ln x Lo schema di composizione è x logaritmo ln x radice ln x. x>0 esistenza logaritmo Le condizioni di esistenza sono { ln x 0 esistenza radice Esempio. y=ln (arcsin x) Lo schema di composizione è x arcoseno arcsin x logaritmo ln(arcsin x). 1 x 1 esistenza arcoseno Le condizioni di esistenza sono { arcsin x>0 esistenza logaritmo Consigli importanti. (1) Non modificare la funzione senza aver prima posto tutte le condizioni di esistenza. Esempio 3: il dominio della funzione f (x)=log(x )+log( x+3) è D=(;+ ). Se, prima di trovare il dominio, applico la prima proprietà dei logaritmi ottengo f ( x)=log[( x )( x+3)] e posso erroneamente pensare che il dominio sia D=( ; 3) (;+ ) () Scrivere prima, con cura, tutte le condizioni di esistenza e solo successivamente svolgere i calcoli relativi a tali condizioni.

9 Esempi Esempio 5. log 3 x x La funzione data è la somma di due funzioni: il logaritmo e la radice quadrata. NB. Attenzione agli =. 3 x>0 esistenza logaritmo { x 0 esistenza radice { x>0 x { x>0 x 0<x Esempio 6. f x = 3 x x 3 x La funzione data è il rapporto di una radice quadrata e di un polinomio { 3 x 0 esistenza radice x 3 x 0 esistenza frazione { x 3 x 0 x 3 x>3 Esempio 7. f x = 3 x x 5 La funzione data è la radice quadrata di una frazione. { 3 x x 5 0 esistenza radice x 5 0 esistenza frazione { 3 x<5 x 5 3 x<5 Osservazione sulla definizione di dominio Nella ricerca del dominio occorre fare attenzione al caso in cui la funzione ha delle limitazioni nella definizione. Esempio 8. E' data la funzione { f (x)=x 4 x 1 x<3. Il polinomio esiste sempre, ma ci sono le condizioni aggiuntive nella definizione della funzione. Quindi il dominio è D=[1;3 ).

10 ESERCIZI DI BASE indice Svolgere da ciascuno dei seguenti, controllando i risultati e gli svolgimenti proposti dal testo. 1) y= 3 x 4 risultato o 1 svolgimento o 1 ) y= x x risultato o svolgimento o 3) x x +3 risultato o 3 svolgimento o 3 4) y= 1 x risultato o 4 svolgimento o 4 5) y=sin 4 x risultato o 5 svolgimento o 5 6) sin x y= cos( x π risultato o 6 svolgimento o 6 4 ) 7) y=tan(x 4) risultato o 7 svolgimento o 7 8) y= sin x risultato o 8 svolgimento o 8 9) y= x x risultato o 9 svolgimento o 9 10) y=ln (x 3 x ) risultato o 10 svolgimento o 10 11) y=cot (π x) risultato o 11 svolgimento o 11 1) arccos( x 3) risultato o 1 svolgimento o 1

11 RISULTATI DEGLI ESERCIZI DI BASE indice Risultato o 1 La funzione y= 3 x 4 esiste per ogni valore di x R. D=R. svolgimento o 1 di base Risultato o La funzione y= x x esiste per 0 x. D=[0;]. svolgimento o di base Risultato o 3 La funzione x x 3 esiste per x> 3. D=( 3;+ ). svolgimento o 3 di base Risultato o 4 La funzione y= 1 x esiste per 3 x 1. D=[ 3;1]. svolgimento o 4 di base Risultato o 5 La funzione y=sin 4 x esiste per x 0. D=[0;+ ). svolgimento o 5 di base

12 Risultato o 6 La funzione sin x y= cos( x π 4 ) esiste per x 3 8 π+k π, k Z. R { 3 8 π+k π, k Z } svolgimento o 6 di base Risultato o 7 La funzione y=tan x 4 esiste per x 4+ π +k π, k Z. R { 4+ π +k π, k Z} svolgimento o 7 di base Risultato o 8 La funzione y= sin x esiste per ogni valore di x R. D=R. svolgimento o 8 di base Risultato o 9 La funzione y= x x esiste per 0 x x. D=[0;) ( ;+ ). svolgimento o 9 di base Risultato o 10 La funzione y=ln x 3 x esiste per x 0 x 3. D=( ;0) ( 3;+ ). svolgimento o 10 di base

13 Risultato o 11 La funzione y=cot (π x) esiste per x k, k Z. D=R Z svolgimento o 11 di base Risultato o 1 La funzione arccos x 3 esiste per x x. D=[ ; ] [ ; ]. svolgimento o 1 di base

14 SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI DI BASE indice Svolgimento o 1 La funzione y= 3 x 4 è la radice cubica di un polinomio. Il polinomio non ha condizioni di esistenza; la radice cubica è di indice dispari e quindi non presenta condizioni di esistenza. Il dominio (campo di esistenza / insieme di definizione) è quindi formato da tutti i numeri reali. D=R. di base Svolgimento o Per la funzione y= x x dobbiamo prendere in esame l'esistenza delle due radici quadrate: { x 0 x 0 { x 0 x { x 0 x 0 x D=[0 ;]. di base Svolgimento o 3 Per la funzione x x 3 dobbiamo prendere i esame l'esistenza della radice quadrata e il fatto che il denominatore deve essere diverso da zero: { x+3 0 x+3 0 { x 3 x+3 0 { x 3 x 3 x 3 D=( 3;+ ). di base

15 Svolgimento o 4 Per la funzione { 1 x 0 1 x 0 y= 1 x dobbiamo considerare l'esistenza delle due radici quadrate: { x 1 1 x { x 1 1 x { x 1 1 x 4 { x 1 x 3 { x 1 x 3 3 x 1 D=[ 3;1]. di base Svolgimento o 5 Per la funzione y=sin 4 x l'unica condizione che dobbiamo considerare è quella dell'esistenza della radice (perché ha indice pari): x 0. D=[0;+ ). di base Svolgimento o 6 Per la funzione sin x y= cos( x π 4 ) l'unica condizione è quella del denominatore diverso da zero (seno e coseno esistono perché hanno come argomento un polinomio): cos( x π 4 ) 0 x π 4 π +k π, k Z x π 4 + π +k π, k Z x 3 π 4 +k π, k Z x 3 π 8 +k π, k Z R { 3 8 π+k π, k Z }. di base

16 Svolgimento o 7 Per la funzione y=tan x 4 dobbiamo prendere in esame l'esistenza della tangente: x 4 π +k π, k Z x 4+ π +k π, k Z R { 4+ π +k π, k Z}. di base Svolgimento o 8 Data la funzione y= sin x, sin x esiste per ogni x e il valore assoluto non richiede condizioni di esistenza la funzione in esame esiste per ogni x R. D=R. di base Svolgimento o 9 Per la funzione y= x x dobbiamo considerare le condizioni dell'esistenza della radice quadrata e e del denominatore diverso da zero: { x 0 x 0 { x 0 x 0 { x 0 x 0 x x D=[0 ;) ( ;+ ). di base Svolgimento o 10 Per la funzione y=ln x 3 x dobbiamo porre la condizione di esistenza de logaritmo: x 3 x 0 x 0 x 3 D=( ;0) ( 3;+ ). di base

17 Svolgimento o 11 Per la funzione y=cot (π x) dobbiamo porre la condizione di esistenza della cotangente: π x k π, k Z x k, k Z D=R Z. di base Svolgimento o 1 Per la funzione arccos x 3 dobbiamo porre la condizione di esistenza dell'arcocoseno: 1 x 3 1 { x 3 1 x 3 1 { x x 4 { x x x x x D=[ ; ] [ ;]. di base

18 ESERCIZI indice Svolgere da ciascuno dei seguenti, controllando i risultati e gli svolgimenti proposti dal testo. 13) y=arctan x3 x+3 x risultato o 13 svolgimento o 13 14) y= log 0.5 x log 0.5 x 1 risultato o 14 svolgimento o 14 15) y= x+3 x 1 risultato o 15 svolgimento o 15 16) y=( x) (1 x) risultato o 16 svolgimento o 16 17) y=log 3 x risultato o 17 svolgimento o 17 18) y=ln (e x e x +1) risultato o 18 svolgimento o 18 19) y=ln (ln( x)) risultato o 19 svolgimento o 19 0) y=ln x risultato o 0 svolgimento o 0 1) y=log x ( x ) risultato o 1 svolgimento o 1

19 ) y=log x x risultato o svolgimento o 3) y= tan x risultato o 3 svolgimento o 3 4) y= 4x 4 x x risultato o 4 svolgimento o 4 5) y= 4x x 4 x risultato o 5 svolgimento eso 5 6) y= ln x ln x 5 risultato o 6 svolgimento o 6 7) y= log 0.5 x log 0.5 x 5 risultato o 7 svolgimento o 7 8) y=arcsin(log 1 x) risultato o 8 svolgimento o 8 9) y=arcsin x arccos(1 x ) risultato o 9 svolgimento o 9 30) y=ln ( x+1 (x 1)) risultato o 30 svolgimento o 30 31) y= sin x sin x risultato o 31 svolgimento o 31 3) y= x sin x x cos x risultato o 3 svolgimento o 3

20 RISULTATI DEGLI ESERCIZI indice Risultato o 13 La funzione y=arctan x3 x+3 x esiste per x 0. D=R { 0}=( ;0) ( 0;+ ). svolgimento o 13 Risultato o 14 La funzione y= log 0.5 x log 0.5 x 1 svolgimento o 14 esiste per 0<x<0.5 x>0. D=(0 ;0.5 ) ( 0.5 ;+ ). Risultato o 15 La funzione y= x+3 x 1 svolgimento o 15 esiste 1 x <5 x>5. D=[1;5) ( 5;+ ). Risultato o 16 La funzione y=( x) (1 x) esiste per 0 x<. D=[0;). svolgimento o 16 Risultato o 17 La funzione y=log 3 x esiste per x 3. D=R { 3}=( ;3 ) ( 3 ;+ ). svolgimento o 17

21 Risultato o 18 La funzione y=ln (e x e x +1) esiste per x 0. D=R { 0}=( ;0) ( 0;+ ). svolgimento o 18 Risultato o 19 La funzione y=ln (ln( x)) esiste per x>1. D=( 1;+ ). svolgimento o 19 Risultato o 0 La funzione y=ln x esiste per x>0. D=(0;+ ). svolgimento o 0 Risultato o 1 La funzione y=log x ( x) esiste per 0<x<1 1<x<. D=(0;1) ( 1; ). svolgimento o 1 Risultato o La funzione y=log x x esiste per 0<x<1 1<x< x>. D=(0;1) ( 1; ) ( ;+ ). svolgimento o

22 Risultato o 3 La funzione y= tan x esiste per 0+k π x< π +k π, k Z. svolgimento o 3 Risultato o 4 La funzione y= 4x 4 x x esiste per x<0 0<x 1. D=( ;0 ) ( 0; 1 ]. Risultato o 5 La funzione y= 4x x 4 x esiste per x< 1. D=( ; 1 ). Risultato o 6 La funzione y= ln x 5 ln x 5 esiste per x 1 x e 5 5. D=[ 1;e ) ( e ;+ ). Risultato o 7 La funzione y= 5 5 log 0.5 x log 0.5 x 5 esiste per 0<x< <x D=(0;0.5 4 ) ( ;1].

23 Risultato o 8 La funzione y=arcsin(log 1 x) esiste per 1 x. D=[ 1 ; ]. Risultato o 9 La funzione y=arcsin x arccos(1 x ) esiste per 1 x 1. D=[ 1 ;1 ]. Risultato o 30 La funzione y=ln ( x+1 ( x 1)) esiste per 1 x<3. D=[ 1;3). Risultato o 31 La funzione y= sin x sin x esiste per x k π, k Z. R { k π, k Z} Risultato o 3 La funzione y= x sin x x cos x esiste per x ±α con α

24 SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI indice Svolgimento o 13 La funzione y=arctan x3 x+3 x è composta nel seguente modo: x frazione x 3 x+3 x arcotangente arctan x3 x+3 x. L'arcotangente esiste sempre (se esiste l'argomento), quindi l'unica condizione è relativa all'esistenza della frazione: denominatore 0 x 0 x 0 D=R { 0}=( ;0) ( 0;+ ). Svolgimento o 14 La funzione y= log 0.5 x log 0.5 x 1 è costituita dal rapporto di due espressioni, in cui compare lo stesso logaritmo. Dobbiamo quindi considerare l'esistenza di questo logaritmo e porre il denominatore della frazione diverso da zero. { x>0 esistenza logaritmo log 0,5 x 1 0 denominatore 0 { x>0 log 0.5 x 1 { x>0 log 0.5 x log { x>0 x 0.5 0<x<0.5 x>0 D=(0;0.5) ( 0.5;+ ).

25 Svolgimento o 15 La funzione y= x+3 x 1 è costituita dal rapporto di due espressioni e nel denominatore compare una radice quadrata. { x 1 0 esistenza radice x 1 0 denominatore 0 { x 1 x 1 { x 1 x 1 4 { x 1 x 5 1 x <5 x>5 D=[1;5) ( 5;+ ). Svolgimento o 16 La funzione y=( x) (1 x) è un'esponenziale con base variabile. La base è un polinomio, l'esponente contiene una radice quadrata. x>0 cond. base esponenziale { x 0 esistenza radice { x< x 0 0 x< D=[0;). Svolgimento o 17 Lo schema di composizione della funzione y=log 3 x è: x polinomio valore assoluto 3 x 3 x logaritmo log 3 x. Polinomio e valore assoluto di polinomio non richiedono condizioni, quindi dobbiamo porre solo la condizione di esistenza del logaritmo: 3 x >0 3 x 0 x 3 D=R { 3}=( ;3) ( 3;+ ).

26 Svolgimento o 18 Data la funzione y=ln (e x e x +1), i due esponenziali esistono per ogni x, quindi dobbiamo porre solo la condizione di esistenza del logaritmo: e x e x +1>0 (e x 1) >0 e x 1 0 e x 1 e x e 0 x 0 D=R { 0}=( ;0) ( 0;+ ). Svolgimento o 19 Lo schema di composizione della funzione y=ln (ln( x)) è : x logaritmo ln x logaritmo ln(ln x). Dobbiamo porre le condizioni di esistenza dei due logartimi x>0 esistenza primo logaritmo { ln x>0 esistenza secondo logaritmo { x>0 ln x>ln 1 { x>0 x>1 x>1 D=(1;+ ). Svolgimento o 0 Lo schema di composizione della funzione y=ln x è: x logaritmo ln x quadrato (ln x). L'unica condizione che dobbiamo porre è quella relativa all'esistenza del logaritmo ( il quadrato esiste sempre se esiste la sua base): x>0 D=(0;+ ).

27 Svolgimento o 1 La funzione y=log x ( x) è un logaritmo, a base variabile, di un polinomio. x>0 x 1 cond. base logaritmo { x>0 cond. argomento logaritmo { x>0 x 1 x< D=(0;1) ( 1; ). 0<x<1 1<x< Svolgimento o La funzione y=log x x è un logaritmo a base variabile. { x>0 x 1 cond. base logaritmo x >0 cond. argomento logaritmo { x>0 x 1 x 0 0<x<1 1<x< x> D=(0;1) ( 1; ) ( ;+ ). x>0 x 1 { x Svolgimento o 3 Lo schema di composizione della funzione y= tan x è: x tangente radice quadrata tan x tan x. { x +k π, k Z esistenza tangente π tan x 0 cond. esistenza radice {x π +k π, k Z 0+k π x< π +k π, k Z 0+k π x< π +k π, k Z. D={ x k π x< π +k π, k Z} video tan(x)>=0

28 Svolgimento o 4 La funzione y= 4x 4 x x è il rapporto di due espressioni e il numeratore presenta una radice quadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x. { 4x 0 esistenza radice quadrata 4 x x 0 denominatore diverso da zero { 4 x 4 x x { x 1 x x { x 1 x x { x 1 x 0 x<0 0<x 1 D=( ;0) ( 0; 1 ]. Svolgimento eso 5 La funzione y= 4x x 4 x è il rapporto di due espressioni e il denominatore presenta una radice quadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x. { 4 x 0 esistenza radice quadrata 4 x 0 condizione denominatore { 4 x 0 4 x 0 4x >0 4 x < x < 1 x<1 x< 1 D=( ; 1 ).

29 { Svolgimento o 6 La funzione y= ln x ln x 5 è il rapporto di due espressioni, il denominatore presenta una radice quadrata e compare due volte ln x. { x>0 condizione esistenza logaritmo ln x 0 condizione esistenza radice ln x 5 0 condizione denominatore {x>0 ln x ln 1 ln x 5 {x>0 x 1 ln x 5 ln e {x>0 x 1 ln x ln e 5 {x>0 x 1 5 x e x 1 x e 5 5 D=[ 1;e ) ( e ;+ ). Svolgimento o 7 La funzione y= log 0.5 x log 0.5 x 5 è un rapporto e compare due volte log 0.5 x. {x>0 condizione esistenza logaritmo log 0.5 x 0 condizione esistenza radice log 0.5 x 5 0 condizione denominatore {x>0 log 0.5 x log log 0.5 x 5 {x>0 x 1 (base minore di 1) log 0.5 x 5 4 x>0 x 1 log 0.5 x 5 4 log {x>0 x 1 log 0.5 x log {x>0 x 1 x , <x< <x 1 D=(0 ;0.5 4 ) ( ;1 ].

30 Svolgimento o 8 Lo schema di composizione della funzione y=arcsin(log 1 x) è: x logaritmo log 1 x arcoseno arcsin(log 1 x). { x>0 esistenza logaritmo 1 log 1 x 1 condizione arcoseno {x>0 log 1 x 1 log 1 x 1 {x>0 log 1 log 1 x log 1 x log {x>0 log 1 x log 1 ( 1 1 ) x 1 {x>0 x ( 1 1 ) x 1 {x>0 x x 1 1 x D=[ 1 ; ]. Svolgimento o 9 E' data la funzione y=arcsin x arccos(1 x ). { 1 x 1 esistenza arcoseno 1 1 x 1 esistenza arcocoseno { 1 x 1 1 x 1 1 x 1 { 1 x 1 x x 0 { 1 x 1 x 1 x 0 { 1 x 1 1 x 1 x R 1 x 1 D=[ 1;1].

31 Svolgimento o 30 E' data la funzione y=ln ( x+1 (x 1)). { x+1 0 esistenza radice qu. x+1 (x 1)>0 esistenza logaritmo x 1 { x+1>x 1 (*) (*) x+1> x 1 { x 1<0 x+1 0 { x 1 0 x+1>( x 1) { x<1 x 1 x 1 { x+1>x +1 x 1 x<1 { x 1 x 3 x<0 1 x<3 1 x<1 { x 1 0<x<3 1 x<1 1 x<3 Riprendiamo il sistema iniziale { x 1 1 x<3 1 x<3 D=[ 1 ;3). Svolgimento o 31 La funzione y= sin x sin x è il rapporto di due espressioni. L'unica condizione che dobbiamo porre è la condizione del denominatore: sin x 0 x k π, k Z x k π, k Z. D=R { x=k π, k Z } Osservazione. Non è corretto il seguente procedimento: y= sin x sin x y= sin x sin x cos x y= 1 cos x x π +k π, k Z, perché non si può semplificare prima di porre le condizioni di esistenza.

32 Svolgimento o 3 La funzione y= x sin x x cos x è il rapporto di due espressioni. L'unica condizione che dobbiamo porre è la condizione del denominatore: x cos x 0 cos x x. Risolviamo l'equazione associata cos x=x con un metodo grafico: video metodo grafico { y=cos x y= x x=α, α Quindi la funzione esiste per x ±α con α