Esercitazione di Martedì 28 Ottobre (Rischio-Rendimento) Esercizio n 1, Calcolo dei pesi all interno di un portafoglio costituito da 2 titoli

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1 Esercitazione di Martedì 28 Ottobre (Rischio-Rendimento) Esercizio n 1, Calcolo dei pesi all interno di un portafoglio costituito da 2 titoli Un portafoglio è costituito dal titolo A e dal titolo B. Il rendimento del portafoglio è pari a 8,88%, mentre i rendimenti del titolo A e del titolo B sono pari rispettivamente a 9,6% e a 7,8%. Qual è il peso del titolo A all interno del portafoglio considerato? Qual è il peso del titolo B? Se gli scarti quadratici medi del titolo A e del titolo B sono pari rispettivamente a 11,47% e a 7,72% e se l indice di correlazione tra i due titoli è pari a 45,32%, qual è il valore della covarianza tra i due titoli? Calcolate, infine, la varianza del portafoglio considerato. E(R) = Xa *9,6% + (1- Xa)*7,8% = 8,88% con Xa + Xb = 1 Xa = 60%, Xb = (1-Xa) = 40% Cov(a,b) = rho(a,b)*sigmaa*sigmab = 0,4532*0,1147*0,0772 = 0, Varianza(R) = 0,6^2*0,1147^2 + 0,4^2*0,0772^2 + 2*0,004013*0,6*0,4 = 0, Esercizio n 2, Covarianza e indice di correlazione Due azioni hanno uno scarto quadratico medio rispettivamente del 10% e 30%. Un portafoglio costituito da quote uguali di questi due titoli ha uno scarto quadratico medio del 16%. a) Individuate il tipo di correlazione esistente tra le due azioni; b) Misurate il loro coefficiente di correlazione. a) Var(R)=x1^2 var1+x2^2 var2+2 Cov x1 x2=0,16^2=(16%^2)=0,0256 0,0256= 0,25*0,01+0,25*0,09+2 Cov 0,50 0,50 Cov=(0, ,025)/0,5= 0,0012 La Covarianza ha un valore molto piccolo, quasi prossimo allo zero e, quindi, si può supporre che i due titoli siano quasi indipendenti con una lieve correlazione positiva. b) Rho=COV/(sigma(1)*sigma(2))= 0,0012/0,10*0,30=0,04 Esercizio n 3, Correlazione negativa perfetta Le azioni A e B hanno una correlazione negativa perfetta. Definite XA come la percentuale investita nelle azioni A e come XB la percentuale investita nelle azioni B. Gli scarti quadratici medi di A e B sono rispettivamente 0,40 e 0,20. Se il portafoglio di A e B ha varianza nulla, qual è il valore di XA? Quale quello di XB? 1

2 Correlazione perfetta negativia: rho(a,b) = -1 Varianza (R) = 0 = (XA^2*sigmaA^2+XB^2*sigmaB^2-2*XA*XB*sigmaA*sigmaB = (XA*sigmaA-XB*sigmaB)^2 Da mettere a sistema (due equazioni per due incongnite) con XA+XB = 1 XA*sigmaA=XB*sigmaB XA*0,40=(1-XA)*0,20 XA*0,60=0,20 XA = 1/3 XB = 2/3 Esercizio n 4, Rendimento e scarto quadratico medio di un portafoglio costituito da tre titoli Calcolare lo scarto quadratico medio e il rendimento atteso del seguente portafoglio. Correlazione tra azioni (rho) Azione Quota % R % Sigma ,5 0, ,5 1 0, ,3 0,1 1 Per calcolare lo scarto quadratico medio del portafoglio, abbiamo bisogno di N=3 termini di varianza e di (N^2-N)= 6 termini di Covarianza. s(1)^2=400 s(2)^2=900 s(3)^2=1600 Cov(1,2)= rho(1,2)*s(1)*s(2)= 0,5*20*30= 300 Cov(1,3)= rho(1,3)*s(1)*s(3)= 0,3*20*40= 240 Cov(2,3)= rho(2,3)*s(2)*s(3)= 0,1*30*40= 120 Matrice Varianza Covarianza Azione 1 Azione 2 Azione 3 Azione Azione Azione

3 Var(R)=0,5^2*400+0,3^2*900+0,2^2* *0,5*0,3*300+2*0,5*0,2*240+2*0,3* 0,2*120= 397,4 s(r)=(var(r)^1/2)= 19,93 E(R)= 0,5*10%+0,3*15%+0,2*20% = 13,5% Esercizio n 5, Diversificazione La varianza media nei rendimenti annui di un titolo azionario è di 1500 circa, mentre la sua covarianza con gli altri titoli è di circa 400. Ricavate le conseguenze di questo fatto sullo scarto quadratico medio di: a) un portafoglio ben diversificato. Supponete quote uguali di tutte le azioni presenti in ciascun portafoglio. Con quote uguali di tutte le N azioni che compongono il portafoglio, abbiamo N caselle con la Varianza e (N^2-N) caselle con la Covarianza. Var(R)= N*(1/N^2)*Var.Media+(N^2-N)*(1/N^2)*Cov.Media Varianza=Cov.Media+(Var.Media-Cov.Media)/N=400+( )/N= /N a) Portafoglio ben diversificato sigma(p)=( /n)^1/2=20% poiché N tende all infinito. Il rischio sistematico è la Cov. Media di tutti i titoli. (Grafico del rischio sistematico. Sigma sulle y e N sulle x) Esercizio n 6, Security Market Line Supponiamo di tracciare la linea di mercato degli investimenti (Security Market Line, SML) per i tre titoli sotto elencati. Lo scarto quadratico medio di mercato equivale al 22%. Qual è l equazione della SML? Compilate le correlazioni e i beta mancanti nella tabella. Investimento E(R) Varianza (R) Correlazione Beta (i,m) 1 0,14 0,0400 0,8 2 0,10 0,1225 0, ,07 0,0000 Il terzo titolo ha un rendimento atteso del 7% e una varianza nulla, quindi il tasso privo di rischio è del 7%. La correlazione di questo investimento con il mercato risulta nulla, poiché il rendimento del titolo rimane invariato. Anche il beta è nullo. Il primo investimento ha un beta di 0,8 e un rendimento pari al 14%. Deve, quindi, soddisfare l equazione l equazione 14% = 7% + 0,8*(E(rm) 7%). Otteniamo E(rm) = 15,75%. 3

4 In base a tali cifre, l equazione della SML è: E(R) = rf+beta*(rm-rf) E(R) = 7% + beta*(15,75%-7%) = 7% + beta*8,75% Il secondo investimento ha un rendimento atteso del 10%, quindi il suo beta è dato dalla seguente equazione: 10%-7% = beta*8,75% ossia 0,343 Per il primo investimento, il beta è pari a 0,8. Dato che lo scarto quadratico medio del mercato è 0,22, la covarianza di questo investimento con il mercato è data dall equazione Beta1 = Cov (i,m) /var(rm) ossia 0,8 = Cov (1,m)/0,22^2 Cov (1,m) = 0,03872 Rho (1,m) = Cov (1,m)/sigma1*sigmaM= 0,03872/0,22*0,2= 0,88 Oppure Beta1=rho(1,m)*sigma1/sigmaM 0,8=rho(1,m)*0,2/0,22 rho(1,m)=0,88 Investimento E(R) Varianza (R) Correlazione Beta (i,m) 1 0,14 0,0400 0,88 0,8 2 0,10 0,1225 0,6 0, ,07 0, Esercizio n 7, Calcolo dei pesi e del beta di un portafoglio costituito da tre titoli Considerate un portafoglio P costituito da tre titoli aventi le seguenti caratteristiche: Titoli Beta Sigma A 1,4 35% B 0,9 30% C 0,7 22% 4

5 a) Se il peso desiderato del titolo C è pari al 10% determinare i restanti pesi affinchè il beta del portafoglio P sia uguale a quello di mercato. a) beta(p)=w(a)*beta(a)+w(b)*beta(b)+w(c)*beta(c)= 1 w(c)= 0,1 1= w(a)*1,4+w(b)*0,9+0,1*0,7 1,4*w(A)+0,9*w(B)= 0,93 w(b)=0,9-w(a) 1,4*w(A)+0,9*(0,9-w(A))= 0,93 w(a)= 0,24 w(b)= 0,66 w(c)= 0,1 5