APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA PER LA CLASSE QUINTA T.G.A. (5^B) E LA CLASSE QUINTA T.I.T. (5^C) a.s. 2003/2004 a cura di prof.ssa Mina Maria Letizia

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1 \ I[ è la scrittura matematica che esprime un legame tra la variabile y e la variabile x; tale legame consiste in una serie di operazioni da eseguirsi su x per ottenere y (f indica l insieme delle operazioni che devono essere svolte sulla YDULDELOH LQGLSHQGHQWH x, che assume valori reali, al fine di ottenere uno ed un solo valore reale per la YDULDELOHGLSHQGHQWH y); il valore di y dipende dunque dal valore di x, per questo y si dice IXQ]LRQH di x. ª \ I[ è la scrittura di IXQ]LRQH UHDOH GL YDULDELOH UHDOH ed è l equazione della funzione stessa ª l insieme dei valori che possono essere assunti da x affinché y assuma anch essa uno ed un solo valore reale si chiama GRPLQLRdella funzione ª l insieme dei valori assunti da y si chiama FRGRPLQLR della funzione ª la traduzione sul piano cartesiano dell equazione f(x) è il JUDILFR della funzione (y = f(x) esprime il legame intercorrente tra le ascisse e le ordinate dei punti appartenenti alla linea che costituisce il grafico della funzione). Una IXQ]LRQH reale di variabile reale si dice DOJHEULFD UD]LRQDOH IUDWWD quando le operazioni che devono essere eseguite su x sono di tipo aritmetico (algebrica), sulla variabile x non c è da applicare l estrazione di radice (razionale) e tra le operazioni da svolgersi su x compare sempre la divisione (fratta); l equazione di una funzione algebrica razionale fratta ha dunque la seguente tipologia polinomio in x di primo grado o di secondo grado o di grado superiore al secondo polinomio in x di primo grado o di secondo grado o di grado superiore al secondo. Esempi ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 2 + x 1 4x x + 2 x x 4x 2 + 4x + 1 -x x 2-4x + 3 7x + 2 3x x - 2 x x 3 + 4x 2 1

2 ( 8 ) 5x 2-1 x 2 + 6x + 1 Assegnata l equazione di una funzione algebrica razionale fratta, l obiettivo che ci poniamo è quello di rappresentarne il grafico.,osulprsdvvr da compiere è quello di GHWHUPLQDUHLOGRPLQLRGHOODIXQ]LRQH; a tale scopo si pone sempre il denominatore della frazione scritta a secondo membro dell equazione 0, perché l eseguibilità della divisione tra la quantità che compare a numeratore e la quantità che compare a denominatore è garantita dal fatto che la seconda di esse, cioè la quantità che compare a denominatore, non assuma mai il valore nullo (ricordiamo che non è possibile dividere per zero); nella pratica, si risolve l equazione ottenuta uguagliando a zero il denominatore e si scartano per la x la/e soluzione/i ottenuta/e per questa equazione; questo primo passo porta a individuare sul piano cartesiano i punti di interruzione per il grafico della funzione, cioè i cosiddetti SXQWLGLGLVFRQWLQXLWj della funzione.,o VHFRQGR SDVVR da compiere è quello di VWXGLDUH LO VHJQR GHOOD IXQ]LRQH; a tale scopo si risolve sempre la disequazione fratta ottenuta ponendo la frazione scritta a secondo membro dell equazione della funzione > 0; risolvere tale disequazione significa determinare per quali valori di x la frazione assume valori positivi e dunque anche per quali valori di x la frazione assume valori negativi; ricordando che la frazione scritta a secondo membro dell equazione della funzione equivale alla y e che l equazione della funzione esprime il legame tra le coordinate dei punti che costituiscono il grafico della funzione stessa, determinare le x per cui y è positiva significa determinare le ascisse dei punti del grafico che hanno ordinata positiva e determinare le x per cui y è negativa significa determinare le ascisse dei punti del grafico che hanno ordinata negativa; questo secondo passo porta a individuare sul piano cartesiano le zone in cui il grafico giace al di sopra dell asse x e le zone in cui il grafico giace al di sotto dell asse x. Consideriamo la prima funzione dell elenco degli esempi precedentemente scritti e procediamo con l esecuzione del primo e del secondo passo dello studio di funzione: 2 + x 1 4x GRPLQLRGHOODIXQ]LRQH: deve essere 1 4x 0 si risolve l equazione 1 4x = 0 pertanto 1 4x = 0 [ [ [ si scarta per la x il valore 1/4 si scrive il dominio della funzione usando la notazione degli intervalli D = (- 8 si traccia sul piano cartesiano la retta di equazione x = 1/4, evidenziandola con un colore che ricordi uno stop; possiamo affermare che il grafico della funzione in esame non attraverserà tale retta VHJQRGHOODIXQ]LRQH: si scrive 2

3 2 + x 1 4x! e si risolve la disequazione, ponendo N = 2 + x > 0 [! D = 1 4x > 0 [! [! [ULFRUGLDPRFLFKHDYHQGRGLYLVR ambo i membri della disequazione per un numero negativo, cambia il senso della disuguaglianza) si riporta in tabella come varia il segno sia del numeratore che del denominatore per individuare come varia il segno della frazione -2 1/4 BBBBBBB BBBBBBB BBBBBBBBB ««««- dalla tabella si deduce che per valori di x minori di -2 la frazione è negativa, cioè la y è negativa, dunque i punti del grafico aventi ascisse minori di -2 hanno ordinate negative ed allora il grafico della funzione giace al di sotto dell asse x; per valori di x compresi tra -2 e 1/4 la frazione è positiva, cioè la y è positiva, dunque i punti del grafico aventi ascisse comprese tra -2 e 1/4 hanno ordinate positive ed allora il grafico della funzione giace al di sopra dell asse x; per valori di x maggiori di 1/4 la frazione è negativa, cioè la y è negativa, dunque i punti del grafico aventi ascisse maggiori di 1/4 hanno ordinate negative ed allora il grafico della funzione giace al di sotto dell asse x. Si traccia sul piano cartesiano la retta di equazione x = -2, evidenziandola con un colore che non ricordi uno stop; possiamo affermare che il grafico della funzione in esame attraverserà tale retta passando da sotto a sopra l asse delle ascisse; si evidenziano (colorandole o tratteggiandole) le zone del piano in cui non esiste grafico 3

4 Se si traccia con l utilizzo del programma matematico il grafico della funzione in esame, si osserva che a sinistra della retta x = -2 il grafico giace al di sotto dell asse delle ascisse, nel punto (-2 ; 0) il grafico attraversa l asse x, tra le rette x = -2 ed x = 1/4 il grafico giace al di sopra dell asse delle ascisse, sulla retta x = 1/4 il grafico si interrompe, a destra della retta x = 1/4 il grafico giace al di sotto dell asse delle ascisse. 4

5 Procediamo con il secondo, terzo, quarto e quinto esempio dell elenco delle funzioni precedentemente dato, e sviluppiamo per ognuno di essi i primi due passi dello studio di funzione, riportando in calce ai procedimenti di calcolo la traduzione dei risultati sul piano cartesiano e riportando per ognuna delle funzioni anche il corrispondente grafico, allo scopo di trovare coerenza tra i risultati algebrici e quelli grafici. x + 2 x GRPLQLRGHOODIXQ]LRQH: x x = 0 D E F = -4 [1,x 2 non sono reali LOGHQRPLQDWRUHVLDQQXOOD in corrispondenza di due valori non reali di x x LOGHQRPLQDWRUHQRQVLDQQXOODPDLLQDPELWRUHDOH D = (- VHJQRGHOODIXQ]LRQH: x + 2 x 2 + 1! N = x + 2 > 0 [!««««««««BBBBBBBBBBBBBBBBBB D = x > 0 x R BBBBBBBBBBBBBBBBBB

6 3x 4x 2 + 4x + 1 GRPLQLRGHOODIXQ]LRQH: 4x 2 + 4x x 2 + 4x + 1 = 0 D E F = 0 [1,x 2 = (-b± )2a = -1/2 4x 2 + 4x [ -1/2 D = (- 8 VHJQRGHOODIXQ]LRQH: 3x 4x 2 + 4x + 1! -1/2 0 N = 3x>0 «««««««BBBBBBBBBBB D = 4x 2 + 4x + 1 > 0 BBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBB

7 -x x 2-4x + 3 GRPLQLRGHOODIXQ]LRQH: x 2-4x x 2-4x + 3 = 0 D E F [1,x 2 = (-b± D x 2-4x [ 1 ; 3 D = (- 88 VHJQRGHOODIXQ]LRQH: -x 2 + 9! x 2-4x N = -x > 0... BBBBBBBBB D = x 2-4x + 3 > 0 BBBBBBBBBB BBBBBBBBBBB

8 7x + 2 3x GRPLQLRGHOODIXQ]LRQH: 3x 0 3x = 0 [ 3x 0 [ 0 D = (- 8 VHJQRGHOODIXQ]LRQH: 7x + 2 3x! -2/7 0 N = 7x + 2 > 0 [!«««««««BBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBB D = 3x > 0 [!«««««««««««««BBBBBBBBBB

9 Il WHU]R SDVVR da compiere è quello di GHWHUPLQDUH OH HYHQWXDOL LQWHUVH]LRQL GHO JUDILFR GHOOD IXQ]LRQH FRQ JOL DVVL FRRUGLQDWL; a tale scopo si risolve dapprima il sistema costituito dall equazione della funzione e dall equazione dell asse x per determinare le eventuali intersezioni del grafico con l asse delle ascisse; successivamente si risolve il sistema costituito dall equazione della funzione e dall equazione dell asse y per determinare l eventuale intersezione del grafico con l asse delle ordinate. Consideriamo la prima funzione dell elenco degli esempi precedentemente scritti e procediamo con l esecuzione del terzo passo dello studio di funzione: 2 + x 1 4x LQWHUVH]LRQLFRQO DVVH[ scriviamo il sistema costituito dall equazione della funzione e dall equazione dell asse x 2 + x 1 4x 0 il sistema si risolve con il metodo di sostituzione (si conserva la seconda equazione e si sostituisce nella prima ad y il valore 0) 2 + x 0 = 1 4x 0 nella prima equazione (equazione fratta) osserviamo che, per essere uguale a zero la frazione, deve essere uguale a zero il numeratore, dunque 2 + x = 0 0 risolviamo la prima equazione, che è una semplice equazione di primo grado in x, ottenendo x = -2 0 concludiamo che la soluzione del sistema è (x = -2, 0), pertanto il grafico interseca l asse delle ascisse nel punto (-2,0) 9

10 LQWHUVH]LRQHFRQO DVVH\ scriviamo il sistema costituito dall equazione della funzione e dall equazione dell asse y 2 + x 1 4x x = 0 il sistema si risolve con il metodo di sostituzione (si conserva la seconda equazione e si sostituisce nella prima ad x il valore 0) x = Â x = 0 2 concludiamo che la soluzione del sistema è (x = 0, 2), pertanto il grafico interseca l asse delle ordinate nel punto (0,2) 10

11 Il TXDUWR SXQWR da compiere è quello di VWXGLDUH LO FRPSRUWDPHQWR GHOOD IXQ]LRQH DJOL HVWUHPL GHO GRPLQLR; a tale scopo si utilizza il calcolo dei limiti. Per approciarci ad esso, procederemo ora partendo dal grafico della funzione per capire come descrivere attraverso un simbolismo matematico il comportamento della funzione agli estremi del dominio, supponendo appunto di partire dalla conoscenza del grafico; vedremo successivamente di compiere il procedimento all inverso, cioè utilizzare il calcolo dei limiti per prevedere come si comporterà il grafico agli estremi del suo dominio. Consideriamo la prima funzione dell elenco degli esempi precedentemente scritti 2 + x 1 4x e riportiamone il grafico così come era stato assegnato a pag. 4 Aggiungiamo nel piano cartesiano, sul quale è riportato il grafico della funzione, la retta di equazione -1/4 (retta parallela all asse della ascisse, rappresentata anch essa di colore rosso come la retta di equazione x = 1/4) 1. Immaginiamo di muoverci lungo l asse delle x, a partire dall origine e nel verso negativo (dunque, allontanandoci sempre più dall origine verso sinistra), e di osservare contemporaneamente l andamento del grafico della funzione: possiamo dire che il grafico si avvicina sempre più alla retta di equazione -1/4, mantenendosi al di sopra di essa, senza mai attraversarla. 11

12 2. Immaginiamo di muoverci lungo l asse delle x, a partire dall origine e nel verso positivo (dunque, allontanandoci sempre più dall origine verso destra), e di osservare contemporaneamente l andamento del grafico della funzione: possiamo dire che il grafico si avvicina sempre più alla retta di equazione -1/4, mantenendosi al di sotto di essa, senza mai attraversarla. 3. Immaginiamo di muoverci ora verso la retta verticale di equazione x = 1/4 procedendo da sinistra, e di osservare contemporaneamente l andamento del grafico della funzione: possiamo dire che il grafico sale illimitatamente verso l alto, mantenendosi sempre più vicino alla retta verticale di equazione x = 1/4, senza mai attraversarla. 4. Immaginiamo di muoverci verso la retta verticale di equazione x = 1/4 procedendo da destra, e di osservare contemporaneamente l andamento del grafico della funzione: possiamo dire che il grafico scende illimitatamente verso il basso, mantenendosi sempre più vicino alla retta verticale di equazione x = 1/4, senza mai attraversarla. Esprimiamo ora in simbolismo matematico quanto è stato osservato sopra: 1. lim f(x) = (-1/4) + che si legge il limite della funzione f(x), per x che tende a meno x LQILQLWRè uguale a -1/4 da sopra 2. lim f(x) = (-1/4) - che si legge il limite della funzione f(x), per x che tende a più infinito, x è uguale a -1/4 da sotto 3.lim f(x) = + FKHVLOHJJH³LOOLPLWHGHOODIXQ]LRQHI[SHU[FKHWHQGHDGD x - sinistra, è uguale a più infinito 4.lim f(x) = - FKHVLOHJJH³LOOLPLWHGHOODIXQ]LRQHI[SHU[FKHWHQGHDGDGHVWUD x + è uguale a meno infinito 12

13 Procediamo con il secondo, terzo, quarto e quinto esempio dell elenco delle funzioni precedentemente dato, riportiamo per ognuna delle funzioni il corrispondente grafico e riportiamo in calce ad ogni grafico i risultati dei passi tre e quattro dello studio di funzione x + 2 x Il grafico interseca l asse delle ascisse nel punto (-2,0) il grafico interseca l asse delle ordinate nel punto (0,2) limf(x) = 0 - x limf(x) = 0 + x 13

14 3x 4x 2 + 4x + 1 Il grafico interseca l asse delle ascisse e l asse delle ordinate nell origine limf(x) = 0 - x limf(x) = 0 + x limf(x) = - x - limf(x) = - x + 14

15 -x x 2-4x + 3 Il grafico interseca l asse delle ascisse nel punto (-3,0) il grafico interseca l asse delle ordinate nel punto (0,3) limf(x) = -1 + x limf(x) = -1 - x limf(x) = + x - limf(x) = - x + limf(x) = -3 - x - limf(x) = -3 + x + 15

16 7x + 2 3x Il grafico interseca l asse delle ascisse nel punto (-2/7,0) il grafico non interseca l asse delle ordinate limf(x) = 7/3 - x limf(x) = 7/3 + x limf(x) = - x - limf(x) = + x + 16

17 Esistono quattro tipi di limiti: OLPI[ Oillimite della funzione, per x che tende ad un valore finito, è finito [ F OLPI[ illimite della funzione, per x che tende ad un valore finito, è infinito [ F OLPI[ Oillimite della funzione, per x che tende ad infinito, è finito [ OLPI[ illimite della funzione, per x che tende ad infinito, è infinito. [ /(35235,(7$ '(,/,0,7, 7HRUHPD GL XQLFLWj GHO OLPLWH : Se una funzione f(x) ammette limite finito O per x questo è unico. F 7HRUHPDGHOODSHUPDQHQ]DGHOVHJQR : Se una funzione f(x), per x FWHQGHDGXQOLPLWH finito Onon nullo, esiste almeno un intorno del punto c per tutti i punti del quale (escluso al più il punti c) la funzione f(x) assume lo stesso segno di O. Per poter calcolare i limiti occorre tenere presente che: OLPN N con k costante reale qualsiasi [ F OLP[ F [ F 17

18 OLP[ F [ F OLPíí [ [ 18

19 OLPíí [ [ OLP[ [ inoltre, nell ipotesi che f(x) e g(x) siano due funzioni reali entrambe definite nello stesso intervallo, escluso al più un suo punto c, e che, per x FHVLVWDQRILQLWLLORUROLPLWLFLRè che lim f(x) = O e lim g(x) = O,valgono i seguenti teoremi: x F[ F 7HRUHPD GHOOD VRPPD H GLIIHUHQ]D : Il limite della somma (o della differenza) di due funzioni è uguale alla somma (o alla differenza) dei limiti delle due funzioni; in simboli OLP>I[rJ[@ OLPI[rOLPJ[ Or O [ F[ F[ F 19

20 7HRUHPDGHOSURGRWWR : Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle due funzioni; in simboli OLP>I[ J[@ OLPI[ OLPJ[ O O [ F[ F[ F In particolare: OLP>N I[@ N OLPI[ N O [ F[ F OLP>I[@ >OLPI[@ O [ F[ F 7HRUHPD GHO TXR]LHQWH : Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti delle due funzioni, supposto che il limite della funzione divisore sia non nullo; in simboli OLPI[ I[[ FO OLPíííí íííííííí ííí [ FJ[OLPJ[ O [ F In particolare: Il limite del reciproco di una funzione f(x) è uguale al reciproco del limite della funzione stessa se questo è diverso da zero; in simboli OLPííí íííííí ííí se O [ FI[OLPI[ O [ F Con l aiuto di questi teoremi si può calcolare il limite di qualche funzione. Ad esempio: lim (3x + 5) = lim 3x + lim 5 (per il teroema della somma)= 3 OLP[SHULOWHRUHPDOLP x [ [ [ GHOSURGRWWR[ = 3 lim (4x 2 + x 2) = 4 OLP[ 2 + lim x lim 2 = 4 ± ± x [ [ [ lim x 3 [± OLP[ 3 OLP[±OLP ± ± x [ [ [ 20

21 lim x 2 x 2 x lim íííííí ííííííííí íííííííííííí íííííííí íííííí ííí x [OLP[ OLP[OLP x [ [ Ai fini del calcolo dei limiti è importante tenere presente le seguenti posizioni: se a è un numero reale qualsiasi, a + (+ D a + (- D se a>0, a D a D se a<0, a D a D (+ (- (+ (- (+ (- (+ se a>0, a ííí 0 + a ííí 0 - a ííí + + a ííí - - se a<0, 21

22 a ííí 0 + a ííí 0 - a ííí - + a ííí + - Esistono delle cosiddette IRUPH LQGHWHUPLQDWH alle quali non è possibile dare un valore, ma vanno risolte con artifici; tra esse ricordiamo le forme íííhííí Il caso più frequente in cui si presenta la forma íííè quello in cui si deve calcolare il limite per x GHOUDSSRUWRIUDGXHSROLQRPL ) ad esempio, calcoliamo il lim x 2 2x + 5 x 2 2x + 5 x lim íííííííí ííííííííííííí ííí x [ 2 x + 1 lim 3x 2 x + 1 x si procede raccogliendo a fattor comune, sia a numeratore che a denominatore, la potenza di x che ha l esponente maggiore 2 5 x 2 íííííí x 2 2x + 5 x x 2 1 lim íííííííííí OLPííííííííííííííí ííí x [ 2 x + 1 x x 2 íííííí x x 2 ) calcoliamo il 22

23 x 2 ííí 7 x 2 x 2 lim ííííííí OLPííííííííííííííí x [[ x ííí x 7 ) calcoliamo il x 2 25 ííí x 2 25 x 2 lim ííííííííí OLPíííííííííííí x 3 [ + 1 x x 3 ííí x 3 In generale, dovendo risolvere la forma indeterminata ííívlsxò applicare il seguente criterio: VHLOSROLQRPLRDQXPHUDWRUHKDJUDGRVXSHULRUHDTXHOORGHOSROLQRPLRD GHQRPLQDWRUH ííí VHLOSROLQRPLRDQXPHUDWRUHKDJUDGRLQIHULRUHDTXHOORGHOSROLQRPLRD denominatore Ose il polinomio a numeratore ha grado uguale a quello del polinomio a denominatore ed in tal caso O è il rapporto tra i coefficienti dei due monomi di grado massimo a num. e a denom. 0 La forma indeterminata ííívlsuhvhqwdglvrolwrtxdqgrvlghyhfdofroduhloolplwhshu[fkh 0 tende a un valore finito di una frazione algebrica ) ad esempio, calcoliamo lim (x 2 x 2) x 2 x 2 x lim ííííííííí íííííííííííí ííí x 2 [ 4 lim (x 2 4) 0 x 23

24 si procede fattorizzando i polinomi a numeratore e a denominatore e semplificando i fattori uguali x 2 x 2 (x 2)(x + 1) x lim ííííííííí OLPíííííííííííí OLPíííííí ííí x 2 [ 4 x [±[[ [ Abbiamo visto che esistono quattro tipi di limiti: OLPI[ O [ F OLPI[ [ F OLPI[ O [ OLPI[ [ In particolare: se siamo di fronte al limite n 2, la funzione ha un DVLQWRWRYHUWLFDOH di equazione x = c se siamo di fronte al limite n 3, la funzione ha un DVLQWRWRRUL]]RQWDOH di equazione l se siamo di fronte al limite n 4, la funzione potrebbe avere un DVLQWRWRREOLTXR; per determinare l equazione dell asintoto obliquo, si procede nel seguente modo: si calcola il f(x) lim ííí x [ se questo è un valore finito m, si calcola il lim [f(x) mx] x se questo è un valore finito q, allora l equazione dell asintoto obliquo sarà mx + q Esempio: x 3 2x Sia assegnata la funzione di equazione f(x) = íííííííííí x 2 1 innanzitutto si verifica che 24

25 x 3 (1 - íííí[íííí x 3 2x [[ 3 x x 3 lim íííííííííí ííí OLPííííííííííííí OLPííííííííííííí OLP[ x [ 2 1 [ [ [ x 2 (1 - íííí x 2 x 2 e poiché siamo di fronte al limite n 4, allora la funzione potrebbe avere un DVLQWRWRREOLTXR calcoliamo f(x) x 3 2x lim ííí OLPíííííííííí QXPHUDWRUHHGHQRPLQDWRUHVRQRGHOORVWHVVRJUDGR x [[ [ 3 x si dividono tra loro i due monomi di grado massimo a numeratore e a denominatore) m = 1 osserviamo che dividere la funzione f(x) algebrica razionale fratta per x equivale a moltiplicare il denominatore per x poiché m è finito, calcoliamo x 3 2x x 3 2x x 3 + x -2x 2 + x + 5 lim [f(x) mx] = lim [íííííííííí[@ OLPííííííííííííííí OLPíííííííí x [ 2 [ 1 x 2 [ 1 x 2 [ 1 = -2 (numeratore e denominatore sono dello stesso grado si dividono tra loro i due monomi di grado massimo a numeratore e a denominatore) q = -2 poiché q è finito, l equazione dell asintoto obliquo è x 2 x 3 2x Se si osserva il grafico della funzione di equazione íííííííííí x 2 1 e si traccia la retta di equazione x 2 25

26 si può effettivamente constatare che, per x che tende ad infinito, il grafico della funzione tende ad avvicinarsi sempre più alla retta obliqua di equazione x 2, senza però mai attraversarla. 26